Enigmes

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 #1 - 12-02-2011 01:17:35

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

un peu de ohysique...

Deux balles sont placées au point A à une hauteur h du plan horizontal BC. La 1ère balle roule sur la surface inclinée AC, la seconde tombe librement suivant la verticale AB.

La balle qui roule se déplace avec une vitesse de ... % inférieure/supérieure à celle de la balle qui tombe en chute libre.

La question est de remplacer les pointillés par une valeur numérique et de choisir entre inférieure et supérieure.

Comme dans beaucoup de problèmes de ce type, on néglige les frottements.



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 #2 - 12-02-2011 02:33:39

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2006
Lieu: Paris

Un peuu de physique...

On suppose aucun frottement dans l'air, et que la bille roule et ne glisse pas sur le plan.

Chute libre axe Bz orienté verticalement vers le haut
a=-g (pesanteur seule force)
v=-gt
[TeX]z=-\frac12gt^2+h[/TeX]
On cherche t tel que z=0 : [latex]t=\sqrt{\frac{2h}g}[/latex]
Donc la vitesse vaut en B : [latex]v_1=\sqrt{2hg}[/latex]

Roulement plan incliné
Je choisis pour axes : (AC) axe des x (orienté de A vers C), et l'axe y orthogonal au plan incliné (vers le haut). Mon repère est donc (A,Ax,Ay)

http://www.prise2tete.fr/upload/L00ping007-planincline.jpg

Raisonnons de manière énergétique
m masse de la bille, [latex]x[/latex],[latex]\dot x[/latex],[latex]\ddot x[/latex] les position,vitesse,accélération du centre de la bille.
[TeX]E_p=mgx.\sin(\alpha)[/latex] (le poids est la seule force qui travaille)
[latex]E_c=\frac12m\dot x^2+\frac12I_G\omega^2[/TeX]
où [latex]\omega[/latex] vitesse angulaire de rotation de la bille
et [latex]I_G[/latex] est le moment d'inertie de la boule par rapport à son axe de rotation.
Ca peut se calculer, sinon on cherche et on trouve : [latex]I_G=\frac25mR^2[/latex] avec R rayon de la bille

En dérivant l'énergie mécanique (énergie potentielle + énergie cinétique), qui doit être constante :
[TeX]0=\frac{d}{dt}\left ( \frac12m\dot x^2+\frac12\frac25mR^2\omega^2 - mgx.\sin(\alpha) \right )[/TeX]
donc [latex]0=m\dot x\ddot x + \frac25mR^2\dot \omega \omega - mg\dot x \sin(\alpha)[/latex]
La condition de non glissement est : [latex]\dot x=-R\omega[/latex] (vitesse nulle au point de contact O), donc on peut diviser par [latex]\dot x[/latex] (cas pas très intéressant ...) et par m :
[TeX]0=\ddot x + \frac25\ddot x -g\sin(\alpha)[/TeX]
et finalement [latex]\frac75\ddot x = g\sin(\alpha)[/latex]
[TeX]\frac75\dot x = g\sin(\alpha)t[/TeX]
[TeX]\frac75 x = \frac12g\sin(\alpha)t^2[/TeX]
On cherche t tel que x vaut [latex]\frac h{\sin(\alpha)}[/latex]
[TeX]t=\sqrt{\frac{14h}{5g}}\frac1{\sin(\alpha)}[/TeX]
A cet instant, la vitesse vaut :
[TeX]v_2 = \sqrt{\frac57}\sqrt{2hg}[/TeX]
On voit donc que le rapport des 2 vitesses vaut [latex]r=\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac57}[/latex]

La bille sur le plan incliné a une vitesse qui vaut 84,5% de celle de la bille en chute libre.
La billle sur le plan incliné a donc une vitesse 15,5% inférieure à celle de la bille en chute libre



L'astuce est de ne pas considérer la boule comme un point matériel, du coup ça introduit le moment d'inertie et le rapport [latex]\frac25[/latex]

 #3 - 12-02-2011 02:47:38

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

un pei de physique...

Euh, sauf faute de ma part. Tu es sûr qu'avec ton énoncé actuel on peut répondre à la question ?
On a pas l'angle que fait AC avec BC, on ne sait pas si les balles ont une vitesse initiales.

 #4 - 12-02-2011 02:57:41

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

un peu de physiquz...

Et puis la balle en chute libre accélère jusqu'à une vitesse limite dépendant du coefficient de frottement avec l'air. Bref pour moi c'est énigme est utopique sans les informations nécessaires.

 #5 - 12-02-2011 06:22:42

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 481
Lieu: Ardèche

Un peu d ephysique...

La balle qui tombe subit l'accélération g.

Celle qui roule subit une accélération [latex]^{g*sin{\hat{ACB}}}[/latex], répartie entre la descente et la rotation.

Elle va donc aller moins vite que si elle glissait.

Car elle transforme l'énergie potentielle à la fois en énergie cinétique de translation et en énergie cinétique de rotation, les deux étant liées par la condition de non-glissement [latex]v=R*\omega[/latex] (où [latex]\omega[/latex]=vitesse angulaire)

Au bout du temps t, sa vitesse v est telle que :
[TeX]\frac 1 2 *(m*v^2+I\omega^2)= m*g*h = m*g*l*sin{\hat {ACB}}[/latex],
où [latex]v=\frac {dl} {dt}[/latex], m représente la masse,
et [latex]I=\frac {2*m*R^2} 5[/latex] moment d'inertie de rotation d'une sphère pleine.
[latex]\frac 7 {10}*v^2=\frac 7 {10}*\gamma^2*t^2=\frac 1 2 *g*\gamma*t^2*sin{\hat {ACB}[/TeX]
Accélération [latex]\gamma={\frac 5 7}*g*sin{\hat {ACB}}[/latex], et par intégration :
[latex]v=\gamma*t=\frac 5 7 *sin{\hat {ACB}}[/latex] fois celle de la balle qui tombe, qui vaut g*t.

 #6 - 12-02-2011 09:24:46

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2018
Lieu: 94110

U npeu de physique...

Si il s'agit bien d'une balle (creuse) et non d'une boule (pleine), la réponse n'est pas la même mais elle dépend encore de l'épaisseur de la paroi. A moins que l'on suppose que la masse soit entièrement répartie à la surface de la balle (épaisseur de paroi tendant vers 0) ...

 #7 - 12-02-2011 09:30:18

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Un peu d physique...

Soit alpha l'angle de AC par rapport à l'horizontal.

Si on néglige les forces de frottement, la balle roulant sur la surface inclinée AC subit une accélération égale à cos(alpha).P, où P est le poids s'appliquant à la balle.

Donc la balle qui roule se déplace avec une vitesse de 100(1-cos(alpha)) % inférieure à celle de la balle qui tombe en chute libre.


Edit:
Faut pas t'arrêter là St-Pierre... Qu'est-ce qui ne va pas dans nos réponses?

 #8 - 12-02-2011 10:27:49

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1923
Lieu: UK

Un peu d physique...

La vitesse de la balle sur le plan inclinée est égale à celle de la balle en chute libre affecté d'un coefficient égal au sinus de la pente du plan incliné. La balle qui roule se déplace avec une vitesse de [latex](1-sin\alpha)[/latex] % inférieure à celle de la balle qui tombe en chute libre.

exemple:
un plan à 20% a une pente de 11,3º. Après une seconde, la balle en chute libre a une vitesse de 9.81 m/s, cette vitesse est verticale. La balle qui roule une vitesse de sin(11,3)*10=1.96m/s sur le plan incliné; cette vitesse est (1-sin(11.3))=80% inférieure à celle qui tombe librement.
Pour une pente à 100%, la vitesse de la balle qui roule serait 29% inférieure a celle de la balle qui chute.


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 12-02-2011 10:55:04

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Un peu de physiqe...

Grand bravo à L00ping, qui est le seul à avoir répondu parfaitement à la question !
Bon samedi.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #10 - 12-02-2011 11:50:14

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

un pru de physique...

Donc c'est faisable ?
etrange...

 #11 - 12-02-2011 15:15:10

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

un peu de physisue...

Il faudrait savoir si la surface inclinée AC opère des frottements sur la balle !
De même la chute libre signifie-t-elle sans frottement ??


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #12 - 12-02-2011 16:37:41

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2018
Lieu: 94110

Un peu de hysique...

Essayons de rassembler mes vieux souvenirs ...

Soient Vcl la vitesse de la balle en chute libre, Vr la vitesse de la balle qui roule, R le rayon de la balle, m sa masse, I son moment d'inertie, [latex]w[/latex] sa vitesse de rotation.

Au bout d'un certain temps, l'énergie potentielle W = m*g*h de la balle se sera transformée en énergie cinétique :
Wcl = 1/2 *(m*Vcl²) pour la balle en chutte libre
et Wr = 1/2 *(m*Vr² + I*[latex]w[/latex]²) pour la balle sur le plan inclinée.

(à condition bien sûr, que l'on néglige le coëfficient de résistance au roulement et le frottement visqueux de l'air, d'une part, et, d'autre part que l'angle du plan incliné soit inférieur à l'angle d'adhérence balle/plan.)

Avec I = 2/3 (m*R²)  et  [latex]w[/latex] = Vr/R on obtient :
Wr = 1/2 *m*(Vr² + 2/3 *Vr²)
Donc Vcl² = 5/3 * Vr²    et  [latex]Vr = sqrt{3/5}*Vcl[/latex]

Sauf erreur de ma part, la vitesse de la balle qui roule sera donc 22.54 % inférieure à celle de la balle en chutte libre.

Remarque : Avec une shère pleine, le terme 2/3 devient 2/5 et la vitesse de la balle qui roule sera 15.48 % inférieure à celle de la balle en chutte libre.
Avec une balle d'épaisseur non nulle, la valeur recherchée sera intermédiaire entre ces 2 valeurs.

 #13 - 12-02-2011 17:05:00

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Un pu de physique...

Sans tenir compte des forces de frottements sur le plan incliné ni dans l'air puisqu'on n'a aucune information permettant de le faire (volume de la balle, matière, poids, ...), on néglige les forces de frottements.

Dans ce cas la conservation de l'énergie le long du trajet donne:
Ec+Ep=constante.
Ec, l'énergie cinétique est nulle en A dans les 2 cas et vaut 1/2mv^2 à l'arrivée sur le plan BC. v peut être différent dans chaque cas pour le moment.
L'énergie potentielle est choisie pour valoir 0 sur le plan BC. Elle vaut donc mgh en A dans les 2 cas. On voit donc que dans les 2 cas, l'énergie cinétique est la même sur le plan BC: mgh. Donc la vitesse de la balle, vitesse linéaire le long de sa trajectoire, est la même en arrivant en BC (et tout le long du trajet en fait).

La vitesse verticale par contre n'est pas la même (à un sin(t) près).

Merci pour un peu de physique smile

 #14 - 12-02-2011 20:13:29

vitox
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 7
Messages : 2

un peu de ohysique...

264 m, valeur bien supérieure à 62,5 m calculée en 1. Il faut prendre en compte la résistance de l'air. Le modèle de la chute libre n'est pas correct. smile

 #15 - 12-02-2011 21:03:05

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

un peu fe physique...

J'ai très envie de m'y coller smile

Mais, au juste, quelle est la question ?
Calculer le rapport entre les vitesses des deux balles ? Déterminer quelle vitesse est supérieure à l'autre ? Ou trouver un piège ?

Question bonus : doit-on tenir compte de quelconques forces de frottement ?


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #16 - 13-02-2011 07:37:28

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Un peu de physiqque...

Au fait un plan comporte au moins 3 points. Je sais je suis chiant. Mais il est tellement bizarre cet énoncé.
J'attends la réponse avec impatience !

 #17 - 14-02-2011 19:23:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2753
Lieu: Luxembourg

ub peu de physique...

Bonjour,
Je tente une réponse qui me semble pourtant trop simpliste: s'il n'y a pas de frottement et peu importe leur masse, les deux balles arrivent en même temps.
Donc la balle qui roule se déplace avec une vitesse supérieure à celle de la balle qui tombe en chute libre de 100 x (AC/AB - 1) %, soit 100 x (1/sinA - 1) %, A étant l'angle entre la trajectoire de la balle qui roule avec l'horizontale.
Bonne soirée.
Frank

 #18 - 14-02-2011 19:49:22

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Un peu de physiuqe...

Pas besoin de connaître la valeur de l'angle A. smile


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 14-02-2011 23:18:27

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3321

Un ppeu de physique...

Sans y avoir réfléchit, à première vue la balle qui roule va un pourcentage moins vite, mais si on concidère qu'il n'y a que le poids qui travaille, alors la balle arrive à la même vitesse en bas, car d'après de Th. de l'énergie cinétique :
[TeX]\sum W(\vec{F_{ext}}) = \Delta E_c[/latex] d'où
[latex]mgh=\Delta E_c[/TeX]
et en simplifiant on obtient :
[TeX]V_f=\sqrt{2gh}[/TeX]
Si on se fait un petit dessin :
http://www.prise2tete.fr/upload/shadock-p.png
Je pense que je me suis planté, mais pour moi dans ce cas, les balles vont à la même vitesse.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 16-02-2011 10:23:49

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 481
Lieu: Ardèche

Un peu de phsyique...

Si on compare les vitesses de passage à hauteur donnée, Gazole a évidemment raison.
Mais ces vitesses ne seront pas atteintes à un même instant.

L'énoncé laisse entendre que la comparaison porte sur les vitesses à un même instant.
Il est évident que l'angle A intervient, pour s'en convaincre, mettez-le à 89° et attendez !

Vous vous êtes tous plantés, même l'auteur, ou alors il a mal rédigé l'énoncé.
Il aurait dû dire "vitesses à l'arrivée en bas" au lieu de "se déplace avec une vitesse".

 #21 - 16-02-2011 10:44:08

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 198

Un peeu de physique...

C'est clair que l'énoncé était plus que imprécis.
Il manquait pas mal de choses:
- le fait que l'on prenne les vitesses en bas et pas à un instant donné,
- la balle est-elle pleine ou creuse,
- le fait que les frottements sont négligés sauf ceux qui font rouler la balle (si on néglige tous les frottements alors la balle glisse, c'est ce que beaucoup ont considéré).

 #22 - 16-02-2011 11:01:06

gasole
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Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Un peu de phhysique...

Je ne m'y suis pas mis sur celui-là,
- d'une part parce que l'énoncé était pas clair (il fallait deviner qu'on parlait des vitesses en bout de course), ça n'est plus de la physique mais de la psychologie ("trouver la logique de SaintPierre)
- et d'autre part, je trouve que Saint-Pierre n'assure pas beaucoup le SAV (sans doute occupé à autre chose j'imagine)... pas très cool

 #23 - 16-02-2011 12:01:06

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Un pu de physique...

+1 !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #24 - 16-02-2011 12:29:41

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2018
Lieu: 94110

Un peu de hysique...

Je suis d'accord pour dire avec gazole que l'énoncé n'était pas très clair et qu'il fallait d'abord faire preuve de logique pour deviner quelle pouvait être la seule question complète raisonnable. Mais, à mon humble avis, cela ne fait que rajouter du sel à la résolution d'une énigme.

Un peu d'accord aussi pour dire que SaintPierre n'assure pas toujours un suivi régulier...
Alors, je vais essayer d'y remédier.

Je constate que :
- pour que le problème ait un sens, il fallait le compléter par : vitesse ... au moment où le centre de gravité de la balle passe par le plan horizontal dont la trace sur le plan vertical des chutes est BC.

- LOOping et halloduda, les seuls à avoir envisagé le moment d'inertie, parlent et utilisent celui d'une boule pleine et non d'une balle (en général, creuse).

-  je trouve exactement le même résultat que LOOping (-15.48 %) dans le cas qu'il a considéré.

- que c'était un bon problème (avec les réserves déjà citées) pas du tout insoluble puisque certains y sont arrivés. Merci SaintPierre.

 #25 - 16-02-2011 12:43:05

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

un peu de phydique...

Vous êtes du genre chipoteur les gars !

Mais je suis entièrement d'accord avec vous.

Cependant d'autres personnes ont trouvé, donc la vérité est qu'on a pas assez réfléchis sur cette énigme, car malgré l'énoncé incomplet, plusieurs ont trouvé la bonne réponse.

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