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 #1 - 19-10-2012 17:07:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Diiviser pour régner (2)

Je vous propose le jeu suivant :

Vous disposez de 64 kg de poudre de coco, que vous devez diviser en plusieurs tas.

Votre score est alors donné par le produit des poids (en kg) de chaque tas.

Par exemple, si je décide de faire un tas de 20 kg, un tas de 30 et un tas de 14, mon score est de 20 x 30 x 14 = 8400.

Alors, Jean-Luc, c'est quoi ton score ?

Edit : Précision : vous disposez d'une balance précise au gramme près.



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 #2 - 19-10-2012 17:23:16

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

diciser pour régner (2)

Je tente une première réponse:
Je fais 22 tas de 2,718 kg (à quelle précision s'arrêter?). Il reste 4,204kg. Je fais 2 tas de 2,102kg.

Cela donne environ (arrondi à l'entier le plus proche): 15 803 503 469.

Qui est Jean-Luc?

EDIT: Le maximum serait atteint pour des paquets de e kg. Mais 64/e=23,5 qui n'est pas entier. En premier approximation j'ai fait des paquets de e et travaillé sur le reste. Mais en fait l'inégalité isopérimétrique n'est pas à oublier. Il vaut mieux faire des paquets tous de même taille (ou le plus proche possible), soit donc 23 ou 24 paquets.

Pour 23 paquets, il faut faire 22 paquets de 2,782 et 1 de 2,796 soit un total de 16 687 601 932 (à 1 prêt)
Pour 24 paquets, il faut faire 23 paquets de 2,666 et 1 de 2,682 soit un total de 16 720 224 729.

C'est donc mon meilleur score.

Pour montrer qu'il faut faire des paquets de 'e':
Considérons le total T et k paquets (k réel).
Le résultat est [latex]f(x)=(\dfrac{T}{k})^k[/latex].
Posons [latex]x=\dfrac{T}{k}, f(x)=x^{(\dfrac{T}{x})}=e^{\dfrac{T}{x}ln(x)}[/latex].
[latex]f'(x)=\dfrac{T}{x^2}x^{\dfrac{T}{x}}[1-ln(x)][/latex].
Qui s'annule bien pour x=e qui représente un maximum.

 #3 - 19-10-2012 17:27:21

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Diviser pour égner (2)

Maintenant que l'on n'est pas obligé de faire des tas entiers, je remets ma démo de l'énigme précédente wink


En effet l'idéal est que tous les nombres soient identiques on cherche donc le maximum de la fonction :

nombre d'éléments d'un tas ^(nombre de tas)

f(x)= x^(64/x) = e^(64/x * ln(x))

f'(x) = (64*(1-ln(x))/x² * e^(64/x * ln(x))

signe de f'(x) = signe de 1-ln(x) donc f'(x) positif sur ]0;e] et négatif sur ]e;64]

f(x) atteint donc son maximum pour x=e

L'idéal serait donc de faire (64/e) environ égal à 23,5 tas de (e) environ égal à 2,72kg de poudre

Dans ce cas on trouve 16 793 944 886

 #4 - 19-10-2012 17:56:00

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

diviser poyr régner (2)

Partant du principe que c'est le cube qui donne la meilleure contenance en fonction de ses arêtes, je propose 64/3 x 64/ x 64/3 = 9709.037037...037...

Si les tas doivent être des nombres entiers, je choisis 21*21*23 = 9702

======

Et tout ça c'est pour 3 tas!
Je n'avais pas bien lu que le nombre de tas n'était pas fixé roll

Je retourne chercher, il y a beaucoup mieux évidemment!

En partant toujours du principe que des tas de même taille sont préférables, j'en arrive à analyser la fonction m^(64/m) (m est la masse d'un tas).
Cette fonction a un maximum en m=e (2,71828...).

Ceci donnerait avec la précision demandée : 23,5467255 tas de 2.718 kg.
Le problème c'est que le nombre de tas doit être entier (23 ou 24)

Si on garde le nombre de 24 tas, on doit faire des tas de 2,666...6... kg

Pour rester dans la précision de 1g on peut faire 8 x 2,666 + 16 x 2,667

On obtient un produit de 2,666^8 x 2,667^16 = 16 720 505 831, c'est ma proposition.

 #5 - 19-10-2012 18:05:02

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Diviser pour régner (2

Au bluff : 24 tas de 2 kg 2/3 chacun.
Cela me donne environ 1,672.10^10.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 19-10-2012 18:07:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

diviszr pour régner (2)

Bravo rivas, c'est toi qui a le meilleur score pour l'instant.

rivas a écrit:

à quelle précision s'arrêter?

Disons que l'on possède une balance précise au gramme près.

rivas a écrit:

Qui est Jean-Luc?

C'est une énigme dans l'énigme...

 #7 - 19-10-2012 18:14:24

SHTF47
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Lieu: Autre nom du colin

divisrr pour régner (2)

On nepérien sans casser des e

A moins que je me trompe, la différence avec la version (1) du problème est qu'on peut ici utiliser des nombres décimaux. Disons qu'on peut peser la coke poudre de cocaïne coco au gramme près (ce qui est déjà cher...), alors on a tout intérêt à faire un maximum de sacs pesant 2,718 kg (approximation de e)

Correction :
Je trouve avec 22 sacs de 2,718 kg : 64 = 22*2,718+2,102+2,102 et le produit vaut, au millième près : (2,718)^22*2,102² = 15 803 503 469,050


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #8 - 19-10-2012 19:27:28

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Divier pour régner (2)

Dans les [latex]1,672 \times 10^{10}[/latex]. Détail plus tard smile

Et Jean-Luc, je pense que c'est un hommage à Delarue, qui adorait tellement la noix de coco râpée qu'il la prenait directement à la paille.

Je détaille : je suis parti du principe qu'il faudrait partager en tas de la même masse, vu que c'est souvent la solution optimale dans les problèmes de type "somme constante, produit maximal". Par conséquent, si je sépare en [latex]n[/latex] tas, j'obtiens un produit qui vaut
[TeX]\left( \frac{64}{n} \right)^n = e^{n \left( \ln(64) - \ln(n) \right)}[/TeX]
L'exponentielle étant strictement croissante, j'étudie uniquement la fonction en [latex]n \left( \ln(64) - \ln(n) \right)[/latex], et le résultat obtenu est que le maximum de la fonction est quand les tas ont un poids de [latex]e[/latex] -- dans mon cas, proche de [latex]e[/latex].

Pour cela, je dois séparer en 23 ou 24 tas, et la valeur de la fonction est plus grande pour 24 que pour 23. Je considère donc 24 tas, et vu qu'on est au gramme près, je dois faire 8 tas de 2666 grammes et 16 tas de 2667 grammes.

Ca me donne un score, arrondi à l'unité, de 16 720 505 832.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 19-10-2012 19:57:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Diviser pour régner 2()

En 24 tas, 8 de 2.666kg et 16 de 2.667kg
2.666^8*2.667^16=1.672..*10^10.

 #10 - 19-10-2012 20:32:38

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Diviser pour régnre (2)

16 tas de 2667 et 8 de 2666 grammes.
Le produit des tas en kilo est 16 720 505 832 (1.67 E 10)


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 19-10-2012 20:40:24

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

Diviser pour régnerr (2)

Je pars du principe (qui reste à être démontré) que les tas auront le même poids.
Soient P le poids de poudre de coco, n le nombre de tas et f(n) mon score.
On aura: f(n) = (P/n)^n = exp[n.(log P - log n)], optimal pour n0 tel que f'(n0) = 0
f'(n) = f(n).[log P - log n - 1] ==> f'(n0) = 0 pour: log n0 = log P - 1, ou: n0 = P/e
n0 = 64/e = 23,54 donnera: n0 = 23 ou n0 = 24, et une vérification validera n0 = 24
On aura 24 tas: 8 de 2,666 kg et 16 de 2,667 kg avec un score de: 16 720 505 832

 #12 - 19-10-2012 20:47:23

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Divisser pour régner (2)

Déjà , entre l'énoncé et la précision, il faudrait dire clairement si on garde l'unité KG

Si c'est ça j'irai voir du côté de chez "e" je pense.

 #13 - 19-10-2012 21:48:42

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Divsier pour régner (2)

premier essai :
Je fais 8 tas de 2.666 kg et 16 tas de 2.667 kg

ça me fait un score d'environ : 16720505831,9126

 #14 - 19-10-2012 23:19:52

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

doviser pour régner (2)

Je propose de faire 23 tas répartis en 9 tas de 2.782 kg et 14 tas de 2.783 kg, qui me donnent un score de :

16 687 797 440 . 933 et des clopinettes

C'est bon ? smile

 #15 - 20-10-2012 00:30:16

Jackv
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Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Diviser pour régner (2))

Sans trop réfléchir ni calculer, j'aurais tendance à faire 8 tas de 8 kg, ce qui me donnerais un score de 8 à la puissance 8, soit pas loin de 16777216.

EDIT : Après réflexion, je ferais 24 tas, 8 tas de 2.666 kg et 16 tas de 2.667 kg.
J'obtiens ainsi un score de 16 720 505 832 smile ! J'espère qu'il n'y a pas mieux ...
Impressionnant ! Merci et chapeau big_smile pour ce petit calcul !

 #16 - 20-10-2012 11:59:42

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Diviser poru régner (2)

Jean-Luc Delarue?

 #17 - 20-10-2012 11:59:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

diviser oour régner (2)

Bonnes réponses de nodgim, looozer, franck9525, Franky1103 et godisdead.

@golgot59, SHFT47 : on peut faire mieux.

@Jackv : on peut faire 1000 fois mieux.

@gwen27 : on compte le poids en kg comme sur l'exemple. Par contre, on prendra un nombre entier de grammes pour chaque tas.

@scrablor : c'est ça mais il faut un nombre entier de grammes pour le poids de chaque tas.

@rivas : on peut faire un chouïa mieux.

@gilles355 : je ne peux accepter ta réponse.

 #18 - 20-10-2012 12:17:44

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Divise rpour régner (2)

titoufred a écrit:

@scrablor : c'est ça mais il faut un nombre entier de grammes pour le poids de chaque tas.

Comme je suis de mauvaise foi, je pèse chaque tas et je trouve 2,667 pour tous lol
Et j'améliore mon score : environ 1,67707458 × 10^10

Pour Jean-Luc, je propose Mélenchon et son Front de Gauche saupoudré de coco lol


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #19 - 20-10-2012 13:35:13

MthS-MlndN
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Lieu: Rouen

diviser oour régner (2)

J'ai mis ma réponse à jour. Je peux savoir si elle est bonne ? smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #20 - 20-10-2012 13:41:06

golgot59
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Diviserr pour régner (2)

OK, j'ai trouvé un petit peu mieux :

24 tas en : 8 tas de 2.666 et 16 tas de 2.667

J'obtiens : 16 720 505 831.912 et quelques

C'est assez ? smile

 #21 - 20-10-2012 14:50:07

titoufred
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diciser pour régner (2)

Bonnes réponses de scrablor, Mathias et golgot59.

 #22 - 20-10-2012 17:31:13

rivas
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Lieu: Jacou

Diviser pour régnerr (2)

@rivas : on peut faire un chouïa mieux.

Evidemment smile J'ai conclu trop vite.

Dans la solution à 24 paquets: 23 de 2,666 et 1 de 2,682, je ne suis pas logique puisque l'inégalité isopérimétrique que j'utilise pourtant dans ma démonstration m'indique que les paquets doivent être "le plus égaux possible". Il faut donc répartir les 16 grammes excédentaires par 1 gramme sur 16 paquets (puisque 1 gramme est la résolution).

On fait donc 16 paquets de 2,667 et 8 de 2,666 et on obtient 16 720 505 831 par défaut, 832 arrondi au plus proche.

J'ai trouvé pour Jean-Luc je crois smile

 #23 - 20-10-2012 20:38:39

sukdoz
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Enigmes résolues : 35
Messages : 3

Diviser por régner (2)

32 tas de 2 kg= 4294967296 Kg (2 a la puissance de 32)

 #24 - 22-10-2012 17:29:08

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
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Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Diviser pour régnerr (2)

J'avais pô cherché assez... et pis j'avais pô capté pour Jean-Luc...


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #25 - 22-10-2012 21:18:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

diviset pour régner (2)

Bravo à tous pour les réponses et les quelques démonstrations.

Le score maximal était donc d'environ 16 720 505 832 en faisant 16 tas de 2,667 kg et 8 tas de 2,666 kg comme l'ont trouvé looozer, scrablor, Mathias, nodgim, franck9525, Franky1103, godisdead, Jackv, golgot59 et rivas.

Pour ce qui est du fait que dans la solution théorique, tous les tas doivent être égaux, je donne ici la démonstration qui est simplissime :
imaginons que deux tas pèsent [latex]x[/latex] kg et [latex]y[/latex] kg avec [latex]x \neq y[/latex]. Alors on trouve un meilleur score que [latex]xy[/latex] en remplaçant ces deux tas par deux tas égaux au même poids [latex]\frac{x+y}2[/latex].
En effet, [latex]\left(\frac{x+y}2\right)^2-xy=\left(\frac{x-y}2\right)^2>0[/latex]

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