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 #1 - 09-08-2013 15:43:11

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

est ve vrai?

J'ai lu ceci dans un review scientifique américain. Il parait que moins d'1% des diplômés américains en maths, ingénierie et en informatique sont capables de trouver la réponse en moins d'une heure sans utiliser un logiciel graphique. Vérifions. Combien de temps allons-nous mettre en France? J'ai mis moins d'1min et vous? lol

Voici le sujet en image. Deux barres de longueurs 10 m et 8 m sont posées entre 2 mûrs parallèles distantes de 6 m. Trouvez la hauteur h du point de croisement entre les 2 barres.

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Bare.JPG

Réponse à valider avec 5 chiffres après la virgule; le point est utilisé comme séparateur décimal.
La forme réelle du résultat est requise dans les réponses smile

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 #2 - 09-08-2013 17:10:36

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

eqt ce vrai?

C'est plutôt simple.
Soit x la distance du point au bord gauche.

On a les égalités : [latex]\frac h 8 = \frac {6-x} 6\ et\ \frac h {2\sqrt7}=\frac x 6[/latex]

D'où par addition l'élimination de x et le résultat :
[TeX]h=\frac{8\sqrt7}{4+\sqrt7}=\frac{32\sqrt7-56}9  \approx 3.18489355... m[/TeX]

 #3 - 09-08-2013 18:20:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Est ec vrai?

Avec Pythagore, on trouve les hauteurs auxquelles culminent les deux barres : on trouve 8 et [latex]\sqrt{28}[/latex].

On note [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] les distances du croisement des barres à chacun des deux murs.

D'après Thalès : [latex]\frac{h}{8}=\frac{y}{x+y}[/latex] et [latex]\frac{h}{\sqrt{28}}=\frac{x}{x+y}[/latex]

En ajoutant ces deux égalités, on trouve [latex]\frac{h}{8}+\frac{h}{\sqrt{28}}= 1[/latex]

donc
[TeX]h=\frac{1}{\frac{1}{8}+\frac{1}{\sqrt{28}}}[/TeX]

 #4 - 09-08-2013 18:24:00

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

est ce crai?

Que bonnes réponses smile

Oui halloduda, c'est plutôt simple je trouve aussi.

 #5 - 09-08-2013 18:37:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Est cce vrai?

[TeX]h=\frac{32\sqrt{7}-56}9[/TeX]
Juste un peu de Pythagore et de triangles semblables .

Il n'y a rien de déshonorant d'y passer une petite heure ou plus smile

Vasimolo

 #6 - 09-08-2013 19:09:09

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Ets ce vrai?

Equation de la courte échelle: y = x.V7/3
Equation de la longue échelle: y = 8-4.x/3
A l'intersection: x0 = 24/(4+V7) = 8.(4-V7)/3
Et donc: h = y0 = 8.(-7+4V7)/9 = env. 3,18489
Mais il m'a fallu plus d'une minute.

 #7 - 09-08-2013 19:26:59

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Est ce vai?

Début 19:20

On calcule d'abord les hauteur sur les deux mur par Pythagore :

L=√(10²-6²)=8
l=√(8²-6²)=√28=2√7

Ensuite on utilise la trigo :
α est l'angle en bas à gauche entre la barre et le sol
β le même à droite

Tanα=2√7/6=h/d1 donc d1=3h/√7
Tanβ=8/6=h/d2 donc d2=3h/4

et d1+d2=6
donc h(3/√7+3/4)=6
h=6/(3/√7+3/4)
h=3.18489355

Il est 19:31, 11 minutes en comptant la rédaction.

 #8 - 09-08-2013 20:02:25

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Est ce vrai

ça doit faire quelque chose comme 8rac7/(rac7+4)

En 1 mn, c'est très bien. Il m'a tout de même fallu refaire le dessin et poser l'équation. En principe, accessible aux 1ères, voire secondes.

Après coup, je me suis souvenu que dans ce problème, l'inverse de la hauteur du croisement est égale à la somme des inverses des hauteurs des hauts des 2 échelles (8 et 2rac7 ici).

 #9 - 09-08-2013 20:06:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Est ce vari?

Maintenant, je suis assez surpris que les matheux américains aient échoué là dessus. Je doute de la véracité du renseignement.

 #10 - 09-08-2013 21:15:19

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

eqt ce vrai?

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-fig-Bare.png

Dans la figure ci-dessus on a Pythagore qui nous donne [latex]AB = 8[/latex]  et [latex]CD = 2\sqrt3[/latex]

C' et D' sont respectivement les symétriques de C et D par rapport à E.
Les triangles EC'D' et ECD sont donc isométriques.

Soit h' la hauteur du triangle EAB passant par E et h'' la hauteur du triangle EDC qui passe par E.

Alors on a d'une part : [latex]h' + h" = 6[/latex]  (1).

D'autre part on a :
Aire(ABC) - Aire(BCD) = Aire(EAB) - Aire(ECD) = Aire(EAB) - Aire(EC'D') = Aire(C'D'AB). Autrement dit on a :
[TeX]24 - 6\sqrt3 = (h' - h")(4 +\sqrt3) \Leftrightarrow h' - h" = {{6(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/latex]   (2).

(1) et (2) donnent :

[latex]h' = 3 +{{3(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/latex]   et

[latex]h" = 3 -{{3(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/TeX]
On a donc :

Aire(EAB) = h' * AB /2 = 4h' = [latex]12 +{{12(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/latex]

et Aire (ECD) = h" * CD /2 = [latex]{\sqrt 3}h" = 3\sqrt 3 -{{3\sqrt 3(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/latex]

Ainsi on a Aire(ABC) + Aire(BCD) = Aire(EAB) + Aire(ECD) + 2 * Aire(EBC).
et donc 6h = 2 * Aire(EBC) = Aire(ABC) + Aire(BCD) - Aire(EAB) - Aire(ECD)

On obtient donc :
[TeX]
h = {1\over 6}(24 + 6\sqrt 3 - (12 +{{12(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}) - (3\sqrt 3 -{{3\sqrt 3(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}))[/TeX]
Ce qui fait si je ne me suis pas trompé dans mes calculs :
[TeX]h = {{32\sqrt3 - 24}\over 13} \simeq2,417[/TeX]
P.S : Il doit sûrement y avoir plus astucieux pour trouver le résultat car la valeur de h trouvée est (AB * CD)/(AB + CD).

EDIT : Oui, il y a légèrement plus simple, avec Thalès on a directement h = AB * h"/6, qui donne le même résultat smile.

EDIT2 : Pourquoi faire simple quand on peut faire compliquer !  big_smile
Si on utilise Thalès dans le triangle ABC on obtient  h"/6 = h/AB = h/8.
Si on utilise Thalès dans le triangle BCD on obtient  h"/6 = DE/BD = DE/8.
Donc DE = h.
Et maintenant si on utilise Thalès dans le quadrilatère papillon ABDC on obtient
CD/AB = DE/BE, autrement dit  [latex]{{\sqrt 3}\over 4} = {h\over{8-h}}[/latex].


Il y a sûrement plus simple.

 #11 - 09-08-2013 22:31:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

est cr vrai?

Un élève de quatrième peut le faire...

En utilisant Thalès uniquement on trouve le système suivant :
[TeX]\frac{x}{6}=\frac{h}{2\sqrt{7}}[/TeX]
[TeX]\frac{6-x}{6}=\frac{h}{8}[/TeX]
On en déduit [latex]h=8-\frac{32\sqrt{7}}{7+4\sqrt{7}}=3.18489...[/latex]

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 09-08-2013 22:50:52

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

Es tce vrai?

Deux équations du second degré:
[TeX]y = x * \sqrt 28  / 6[/TeX]
[TeX]y = (6 - x) * 8 / 6[/TeX][TeX]x * \sqrt 28  / 6 = (6 - x) * 8 / 6[/TeX][TeX]x * \sqrt 28  / 6 = 8 - ( 8 x / 6 ) [/TeX][TeX]x * \sqrt 28  = 48 - 8 x [/TeX][TeX](8 + \sqrt 28) x  = 48 [/TeX][TeX]x = 48 / (8 + \sqrt 28) [/TeX][TeX]y = ( 48 / (8 + \sqrt 28) ) * \sqrt 28  / 6 [/TeX][TeX]y = ( 8 * \sqrt 28 )  /  (8 + \sqrt 28) [/TeX][TeX]y = 3.184893550...[/TeX]
On peut certainement faire plus clair, mais c'est vendredi soir ... lol


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #13 - 10-08-2013 12:20:07

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Est ce vvrai?

On utilise le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore
on a h/rac(10²-6²) = a/6     et   h/sqrt (8² - 6²) = (6-a)/6
d'où a= 6h/8
donc h/rac 28 = 1 - h/8
enfin h ( 8 + rac 28)/8 rac28 = 1

donc h = 8 rac 28/(8+rac 28)

 #14 - 10-08-2013 15:21:43

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

est ce vrzi?

Moins d'une minute, chapeau big_smile !
C'est à peu près le temps qu'il m'a fallu pour trouver la stratégie de résolution.
Mais j'ai eu encore besoin de quelques minutes supplémentaires pour poser l'équation, trouver une calculette et obtenir le résultat wink .

Après avoir calculé les 2 hauteurs des triangles rectangles 8 et 2 rac(7), on obtient l'équation :

                          x  /(2 * rac (7)) = (8 - x) / 8
d'où                                x = 3.18489

Pas très forts ces américains lol ...

 #15 - 10-08-2013 16:28:25

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Est ce vraai?

Pythagore nous donne le segment de gauche 8 et le segment de droite [latex]2 \sqrt{7}[/latex]

Le segment de longueur h détermine sur les triangles 6-8-10 et 6- [latex]2 \sqrt{7}[/latex]-10 deux plus petits triangles semblables aux deux grands.

Si j'appelle x la partie droite de la base (déterminée par le segment de longueur h), j'obtiens deux égalités de rapports de similitudes :
[TeX]\frac{8}{h}=\frac{6}{x}[/latex]  et  [latex]\frac{2 \sqrt{7}}{h}=\frac{6}{6-x}[/TeX]
En éliminant x de ces deux équations, on obtient [latex]h=\frac{8 \sqrt{7}}{4+\sqrt{7}}[/latex]

A mon avis, on est plus fort de ce côté-ci de l'Atlantique wink

 #16 - 10-08-2013 18:37:21

Autleaf
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 69
Lieu: Toulouse

Est ce vari?

Allons-y alors pour voir si on fait mieux que les américains.

Besoin de rajouter quelques noms sur le dessin histoire de simplifier la lecture des calculs.

http://www.prise2tete.fr/upload/Autleaf-echelles.png

On calcule e facilement avec Pythagore : e=2*rac(7)

Ensuite, Thalès nous permet d'exprimer c et d en fonction de h :
c=8*h/e ; d=10*h/8

Et encore Pythagore pour calculer a et b :
a=rac(c²-h²) ; b=rac(d²-h²)

On finit avec a+b=6 et on remplace tout :
h=6 / [rac(8²/e² -1)+rac(10²/8² -1)]

Et hop : h=3.18489355

Validé par la case réponse ! smile
L'honneur est sauf...

 #17 - 10-08-2013 19:04:30

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

eqt ce vrai?

Que de bonnes réponses avec une belle variété de méthodes smile
Bravo à tous.

 #18 - 10-08-2013 21:27:01

vladimir37
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 503
Lieu: nantes

Est ce vai?

Soient D la taille du montant de droite et G la taille du montant de gauche.
D'après le théorème du Pythagore,on a les expressions suivantes:
[TeX]D²+6²=8²[/latex] et
[latex]G²+6²=10²[/TeX]
Donc, on a:
[TeX]D=2\sqrt7[/TeX]
et [latex]G=8[/latex]

Soient d la longueur de la partie située à droite du "croisement" et g la a longueur de la partie située à gauche du "croisement".

Donc on a: [latex]g+d=6[/latex]

D'après le théorème de Thalès, on a les relations suivantes:
[TeX]g/6=h/D[/TeX]
et
[TeX]d/6=h/G[/TeX]
Donc on a:
[TeX]h/D+h/G=1[/TeX]
D'où:
[TeX]h=(DG)/(D+G)[/TeX]
Soit [latex]h=(16\sqrt7)/(8+2\sqrt7)[/latex]

ou approximativement:
[TeX]h=3.18489[/TeX]

 #19 - 10-08-2013 22:59:30

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

est ce veai?

Je ne sais pas où je fais une erreur : je ne valide pas.
Ce qui me console que je fais partie de la majorité écrasante wink

La barre de 10 m touche le mur de gauche à 8 m de haut (Pythagore).
La barre de 8 m touche l'autre mur à sqrt(28) m de haut (re-Pythagore).

Et par Thales on a (avec x la distance au mur de droite du point d'intersection des barres) :
h/sqrt(28) = (6-x)/6 = 1- x/6
h/8 = x/6

D'où on trouve :
h = 8*sqrt(28)/(8+sqrt(28)) = 8*sqrt(7)/(4+sqrt(7))

soit approximativement 3,18489...

"le point est utilisé comme séparateur décimal" !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #20 - 11-08-2013 12:53:24

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

est ce crai?

@fix33 : tu as la bonne réponse, la case réponse ne valide pas parce que tu utilises la virgule comme séparateur décimal au lieu du point. Mets ta réponse sous forme "X.Y" où Y est la partie décimale smile

 #21 - 11-08-2013 19:07:33

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

esy ce vrai?

5 bonnes minutes pour une méthode qui je pense est loin d'être la plus rapide smile
hauteur du premier triangle => Pythagore => 8m
hauteur du deuxième triangle => Pythagore => 2v7
Pour la première barre : f(x) = -4/3 x + 8
Pour la deuxième barre : f(x) = (v7/3) x

Calcul de x pour le point de croisement
-4/3 x + 8 = (v7/3) x
x = 24 / (v7 + 4)

donc h = (v7/3) * (24 / (v7 + 4))
calculatrice windows smile
h = 3,1848935504518776551168560129396

 #22 - 12-08-2013 13:20:07

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Est ce rvai?

Amusant comme variante du problème des échelles dans un couloir pour un retour de vacances.

La hauteur du point de contact à gauche vaut évidemment 8 et celle de droite [latex]\sqrt{28}[/latex].
Je travaille avec les surfaces des triangles: S1 est le triangle en haut à gauche, S2 en haut à droite et S3 celui du bas dont la hauteur est h.
[TeX]S2+S3=24[/TeX]
[TeX]S1+S3=3\sqrt{28}[/TeX]
[latex]S1=(\dfrac{\sqrt{28}}{8})^2.S2[/latex].

Une substitution directe donne [latex]S3=\dfrac{32\sqrt{7}-56}{3}[/latex].

Et comme S3=3h, on trouve le résultat final.
Confirmation de la case réponse: 3.18489.

On pourrait utiliser la virgule comme séparateur en France. smile

Merci pour cette énigme.

 #23 - 12-08-2013 15:40:50

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

est cr vrai?

Oui rivas, l'usage du point comme séparateur est une fâcheuse habitude d'utilisation de langages de programmation, tous anglophonisés smile

 #24 - 12-08-2013 19:38:28

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

rst ce vrai?

Hum..., oui en effet, 8² = 64 et pas 48 big_smile donc du coup, il faut remplacer mes racines de 3 par des racines de 7 ce sera mieux (sans doute une erreur de frappe, ... ) wink

Ce problème me rappelle un problème similaire ou la longueur des barres étaient
2m et 3m, on savait que le point de croisement était à 1m du sol, et il fallait trouver la distance qui séparait les murs, et ça dans mes souvenirs c'était beaucoup moins trivial !


Il y a sûrement plus simple.

 #25 - 12-08-2013 19:44:09

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

est ce vrao?

@cogito : Ce problème, notre classe l'a eu en Devoir Maison sur le chapitre de Thalès cette année (en 3e).

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