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 #1 - 25-04-2011 12:04:49

SaintPierre
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Pâques et de fractions ??

Ajoutez un demi, un tiers puis un quart, un cinquième, un sixième, etc. jusqu'à arriver à 5. Croyez-vous qu'il vous faudra, pour cela, utiliser plus ou moins de 100 fractions différentes ?



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 #2 - 25-04-2011 12:23:36

emmaenne
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pâques et de fractiins ?

plus


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 25-04-2011 13:16:47

kosmogol
Banni
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pâques et de fravtions ?

"Je crois pas moi !"


http://enigmusique.blogspot.com/

 #4 - 25-04-2011 13:26:01

franck9525
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Lieu: UK

pâques et de fracrions ?

moins de 100 car [latex]H_{100}\approx 5.19[/latex]

Edit: et plus de 100 si on oublie la première fraction 1/1


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 25-04-2011 13:59:21

gwen27
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Pâqus et de fractions ?

En ayant calculé, il en faut 225. maintenant, comment le démontrer sans le faire ?

 #6 - 25-04-2011 14:42:26

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Pâques et de fractionns ?

Vous n'êtes pas d'accord. Moi non plus ! lol


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #7 - 25-04-2011 15:20:20

Nombrilist
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Pâques eet de fractions ?

Il en faudra plus. Mais j'ai triché.

 #8 - 25-04-2011 15:28:17

shadock
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pâques et de fraxtions ?

Non je ne suis pas d'accord !!! Bon alors si on résume ça nous fais :
[TeX]\sum_{i=2}^n \frac{1}{i}=5[/latex] et on cherche [latex]n[/TeX]
Pour se donner un ordre d'idée on peut calculer une intégrale :
[TeX]\int_2^{100} \frac{1}{x}=[ln(x)]_2^{100}[/TeX]
[TeX]=ln(100)-ln(2)[/TeX]
[TeX]=ln(50)[/TeX]
[TeX]=3.912023...[/TeX]
Donc [latex]\sum_{i=2}^{100} \frac{1}{i}<5[/latex]
Wolfram alpha confirme que [latex]n>226[/latex]

Ne connaissant pas grand chose sur le calcul intégral (je me suis renseigné sur internet) mais je ne sais pas si ce que je fais est juste smile

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 25-04-2011 15:32:58

debutant1
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Pâqus et de fractions ?

je pense qu'il faut plus de 150 termes car ln100= 4.605 et ln150= 5.1

 #10 - 25-04-2011 15:50:09

Jackv
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Lieu: 94110

Pâques et de ffractions ?

100 fractions sont très loin de suffire, même si on a effectué alors plus de 80 % du parcours.
Un petit passage par Excel me dit qu'il faudra utiliser 226 fractions pour dépasser la valeur de 5.

 #11 - 25-04-2011 16:22:30

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
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Pâquues et de fractions ?

Plus de 100.

Je trouve 227. (Merci M. Villemin tongue)

Si on a :[latex]H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\approx \ln(n) + 0,5772156 + \dfrac{1}{2n}[/latex]

Alors: [latex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots = H_n -1[/latex]

Et Donc: [latex]H_n -1 \;>\; 5 \Rightarrow H_n \;>\; 6 \Rightarrow \ln(n)+0,577215+\dfrac{1}{2n} \;>\; 6[/latex]

Qu'on approxime à [latex]n \;>\; e^{6-0.5772156} \Rightarrow n\;>\; 226,508937[/latex]

Ce que me confirme Wolfram


There's no scientific consensus that life is important

 #12 - 25-04-2011 18:15:19

olyon
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Pâquse et de fractions ?

Il faut plus de 100 fractions. il en faut entre 148 et 294.
http://img715.imageshack.us/i/fractions.jpg/

 #13 - 25-04-2011 18:42:11

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Pâques et de fractions

D'instinct, je dirai bien plus. Maintenant, un peu de calcul :

Trouver [latex]k[/latex] tel que [latex]\sum_{i=2}^k \frac1i \ge 5[/latex].

Wolfram|Alpha me donne 227 par essais successifs ; je ne sais pas comment le calculer, a vrai dire...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 26-04-2011 10:29:06

halloduda
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Lieu: Ardèche

pâques rt de fractions ?

[TeX]\sum_2^{101} \frac 1 n \approx {-1+\ln {(101)}+0.577...+\frac 1 {202}\approx 4.09}<5[/TeX]
(Approximation de la série harmonique)

Oui, il faudra plus de 100 fractions.
Il en faudra environ 226.

 #15 - 26-04-2011 10:39:24

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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âPques et de fractions ?

Je dirais 226, pour ma part.

 #16 - 26-04-2011 17:06:22

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Pâques et de fractionss ?

Un rapide calcul (dans excel par exemple) montre que la somme des inverses des entiers de 1 à 100 dépasse 5 (~5,187).

Je suppose qu'on veut le montrer smile
Avec N inverses d'entiers différentes la somme la plus grande s'obtient en prenant les N premiers entiers évidemment. On va donc considérer [latex]S_N=\sum_1^N{\dfrac1n}[/latex].

La méthode classique des encadrements de série (méthode des rectangles) donne:
[TeX]S_N \ge \int_1^{n+1}\dfrac{dt}t=ln(n+1)-ln(1)=ln(n+1)[/TeX]
Donc si ln(n+1) est >5, [latex]S_N[/latex] aussi, ce qui est le cas pour [latex]N>=148[/latex].

Cela ne suffit pas à démontrer notre résultat. Il faut affiner la minoration, on perd trop de surface entre la courbe et les premiers rectangles.

En isolant le premier rectangle, on a:
[TeX]S_N \ge 1+\int_2^{n+1}\dfrac{dt}t=ln(n+1)-ln(2)+1[/TeX]
On trouve que pour [latex]N \ge 2e^4-1[/latex] (soit 109 pour N entier) [latex]S_N[/latex]est supérieur à 5, mais cela reste trop grand.

En appliquant la même méthode mais en isolant les 2 premiers rectangles, on trouve que [latex]S_N[/latex] est supérieur à 5 pour [latex]N \ge 3e^{\dfrac72}-1[/latex], soit N=99. Cette fois-ci on a bien montré que les 99 premiers inverses d'entiers suffisent à dépasser 5.

On dépasse 5 à partir de la somme des inverses des 83 premiers entiers.

Merci pour cette énigme.

 #17 - 26-04-2011 22:23:25

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2009
Lieu: Paris

Pâqes et de fractions ?

Je vais encadrer la somme des inverses des entiers compris entre 2 et n.
Je prends k entier entre 2 et n, et t réel entre k et k+1
[TeX]k \le t \le k+1[/TeX][TeX]\frac1{k+1} \le \frac1t \le \frac1k[/TeX][TeX]\int_k^{k+1}\frac{dt}{k+1} \le \int_k^{k+1}\frac{dt}t \le \int_k^{k+1}\frac{dt}k[/TeX][TeX]\frac1{k+1} \le \ln(k+1)-\ln(k) \le \frac1k[/TeX][TeX]\sum_{k=2}^n\frac1{k+1} \le \ln(n+1)-\ln(2) \le \sum_{k=2}^n\frac1k[/TeX]
Si je note S_n=\sum_{k=2}^n\frac1k, les inégalités s'écrivent :
[TeX]S_n+\frac1n-\frac12 \le \ln(n+1)-\ln(2) \le S_n[/TeX][TeX]\ln(n+1)-\ln(2) \le S_n \le \ln(n+1)-\ln(2)+\frac12-\frac1n[/TeX]
Si je prends n=100 :
[TeX]3,92 < \ln(101)-\ln(2) \le S_{100} \le \ln(101)-\ln(2)+\frac12-\frac1{100} < 4,42[/TeX]
J'en déduis donc qu'il faut + de 100 fractions pour dépasser 5 smile

 #18 - 27-04-2011 20:15:34

Ajita
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
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Pâques et de factions ?

plus que 100 ^^
puisque les valeur vont être de plus en plus faible à ajouter et la centième  valeur nous sommes à peu près à 4.1 donc il en manque pas mal ^^

 #19 - 28-04-2011 14:32:46

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

oâques et de fractions ?

rivas a écrit:

Un rapide calcul (dans excel par exemple) montre que la somme des inverses des entiers de 1 à 100 dépasse 5 (~5,187).

Je suppose qu'on veut le montrer smile
Avec N inverses d'entiers différentes la somme la plus grande s'obtient en prenant les N premiers entiers évidemment. On va donc considérer [latex]S_N=\sum_1^N{\dfrac1n}[/latex].

La méthode classique des encadrements de série (méthode des rectangles) donne:
[TeX]S_N \ge \int_1^{n+1}\dfrac{dt}t=ln(n+1)-ln(1)=ln(n+1)[/TeX]
Donc si ln(n+1) est >5, [latex]S_N[/latex] aussi, ce qui est le cas pour [latex]N>=148[/latex].

Cela ne suffit pas à démontrer notre résultat. Il faut affiner la minoration, on perd trop de surface entre la courbe et les premiers rectangles.

En isolant le premier rectangle, on a:
[TeX]S_N \ge 1+\int_2^{n+1}\dfrac{dt}t=ln(n+1)-ln(2)+1[/TeX]
On trouve que pour [latex]N \ge 2e^4-1[/latex] (soit 109 pour N entier) [latex]S_N[/latex]est supérieur à 5, mais cela reste trop grand.

En appliquant la même méthode mais en isolant les 2 premiers rectangles, on trouve que [latex]S_N[/latex] est supérieur à 5 pour [latex]N \ge 3e^{\dfrac72}-1[/latex], soit N=99. Cette fois-ci on a bien montré que les 99 premiers inverses d'entiers suffisent à dépasser 5.

On dépasse 5 à partir de la somme des inverses des 83 premiers entiers.

Merci pour cette énigme.

J'ai rien compris à la démonstration de @rivas qui démontre qu'on a tous faux, alors où est son erreur ? yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 28-04-2011 14:46:17

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,540E+3

pâques et de fractoons ?

Son erreur est de sommer à partir de 1/1 et non de 1/2.

Effectivement, 4 est atteint en 83 coups.

 #21 - 28-04-2011 14:47:05

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

pâques zt de fractions ?

Il somme à partir de n=1, or la question part pour n=2.

Edit: grillé par gwen

 #22 - 28-04-2011 14:59:17

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

pâques zt de fractions ?

Désolé, j'ai mal lu. Je suis en effet parti de 1/1 et non 1/2.
Le raisonnement reste bon quand même smile

 

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