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 #26 - 07-11-2012 17:05:11

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

parcours rn vtt

On peut considérer qu'on part du milieu du champ et alors la route se trouve bien sur le côté.
@titoufred Il n'y a pas d'erreur, j'ai juste minimisé la longueur du réseau.
En plus j'ai minimisé la distance à travers le champ, comme ça si Monsieur a des problèmes de souffle il se fatiguera moins big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

#0 Pub

 #27 - 07-11-2012 17:09:16

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

parcourq en vtt

titoufred a écrit:

Que se passe-t-il si la route va de A à B puis de B à C ?

là tu changes les données du problème et ce n'est plus la même chose.

un parcours route-champ-route

Pourquoi pas ! ça nécessite un moment de réflexion ! pourquoi ne pas poser une énigme de ce genre Titou ?


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #28 - 07-11-2012 18:11:23

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Parcors en VTT

Je ne pense pas qu'une telle solution puisse exister.

Si on coupe au milieu des deux routes, par homothétie, autant couper depuis un des points de départ.

 #29 - 07-11-2012 18:40:04

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

Parcours enn VTT

Bon ça me semble aussi évident que c'est la meilleure stratégie. Mais il me semble moins évident de le montrer rigoureusement.

Et puis l'intérêt de mon post était dans la seconde partie: la vitesse linéairement décroissante dans le champ smile

 #30 - 07-11-2012 18:51:58

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

parcours rn vtt

gwen27 a écrit:

Je ne pense pas qu'une telle solution puisse exister.

Si on coupe au milieu des deux routes, par homothétie, autant couper depuis un des points de départ.

Mais bien sûr ! Raisonnement brillant. Je précise que "au milieu" doit être compris au sens large comme "quelque part entre les extrémités".
Donc, ça sera soit que de la route, soit on ignore la moins longue des routes.

 #31 - 07-11-2012 18:57:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Parcours en TT

Et si on coupe après b-a on peut aussi faire une rotation donc le point est situé entre 0   et    b-a
Pour le reste, aucune idée.

 #32 - 07-11-2012 19:03:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

parxours en vtt

Pour moi le problème a une solution géométrique mais je n'ai pas trop cherché vu que globalement tout le monde s'en fout smile

Vasimolo

 #33 - 07-11-2012 21:05:39

franck9525
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Messages : 1922
Lieu: UK

parcours en btt

Pas moi tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #34 - 07-11-2012 23:12:56

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Coutiches

Pacours en VTT

Ben moi non plus wink... J'ai cherché aussi de mon côté, mais sans résultat !

 #35 - 08-11-2012 00:27:39

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

parcours en btt

J'ai peut-être une similitude avec un rayon lumineux passant d'un milieu à un autre.
Si j'appelle a l'angle incident entrant et b l'angle incident sortant, j'aurai:
(1/30).sin(a) = (1/18).sin(b)
Comme a=90° (angle droit), il en découle: sin(b) = 0,6 et donc b.

Si le milieu était homogène (c'est à dire vitesse identique sur route et champ), alors
on aurait a=b et la route optimale serait la ligne droite.
Mais ce qui précède est un truc de physicien, très loin de la rigueur mathématicienne: bon ok, je sors.

 #36 - 08-11-2012 05:18:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

arcours en VTT

Bon j'ai trouvé une interprétation géométrique .

http://img9.imageshack.us/img9/7540/deuxvitesses.jpg

On remarque que la vitesse sur la longueur du rectangle est 5/3 de celle pratiquée à l'intérieur du rectangle d'où l'idée de coller un triangle semblable au 345 sur la longueur du rectangle . Minimiser la durée du parcours revient à minimiser la longueur du chemin vert+rouge . Cette longueur est minimale quand le chemin est rectiligne c'est à dire quand les triangles bleus et rouges sont semblables au triangle 345 . Le triangle rouge a donc des côtés de 9, 12 et 15 .

Vasimolo

 #37 - 08-11-2012 10:10:39

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

Parcour sen VTT

J'aime bien la solution de Vasimolo.

Elle correspond bien à l'optimisation de la marche d'un rayon lumineux à laquelle je faisais allusion et reprise par Franky.

Dans cette analogie, l'inverse de la vitesse correspond à l'indice de refraction et donc n1.sin(i1)=n2.sin(i2).
Ici sin(i2)=1 et on connait n1 et n2 (puisqu'on connait les vitesses hors du champ et dans le champ) on peut donc en déduire l'angle à utiliser à travers le champ.

On peut aussi noter que la solution n'est pas unique, puisque toutes celles se déduisant par translation répondent au problème: on peut commencer à traverser le champ avant du moment qu'on traverse avec le bon angle, il suffira de longer celui-ci de l'autre côté. C'est pour cela que je parlais de stratégie.

 #38 - 08-11-2012 11:31:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Parcours en VT

Je n'avais pas lu le parallèle avec la loi de la diffraction et il est vrai que la ressemblance est troublante , à se demander s'il elle n'a pas inspirée le problème .

Vasimolo

 #39 - 08-11-2012 11:44:20

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Paarcours en VTT

La solution de Vasimolo est magnifique ! J'adore !

La solution "physique" de Franky et rivas est très intéressante aussi. Je connaissais quand on ne partait pas en bordure du champ mais apparamment ça marche aussi dans le cas limite d'un rayon rasant, je ne savais pas. Bravo à toi Franky !

@rivas : dans ce cas, il y a bien une unique solution, relis l'énoncé : il n'y a qu'une route.

 #40 - 08-11-2012 11:58:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Parcors en VTT

Quand j'avais proposé ce probléme à mes élèves (en 1985 !!), je ne pensais pas du tout à la similitude avec un rayon lumineux changeant de milieu.
Je voulais juste répondre à la question de mes élèves: "Ouais ok, mais ça sert à quoi d'annuler la dérivée d'une fonction dans la vraie vie ?", et je leur ai dit: "Mais voyons, c'est évident: ça sert à faire du VTT plus vite !!".
lol
En tous cas, mes élèves semblaient surpris que des maths pouvaient avoir une vraie utilité et n'étaient pas seulement là pour faire ch... des élèves. Ce jour-là, j'ai marqué des points.

 #41 - 08-11-2012 12:11:32

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

patcours en vtt

titoufred a écrit:

@rivas : dans ce cas, il y a bien une unique solution, relis l'énoncé : il n'y a qu'une route.

Vu qu'on traverse le champ, j'en déduis qu'on n'est pas obligé de suivre les routes... smile On est en VTT non?

 #42 - 08-11-2012 13:32:51

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

pzrcours en vtt

Je crois qu'il y a un malentendu Rivas.

Ce que dit Titou c'est que seul le côté AB est une route. Les 3 autres côtés se parcours à vitesse lente. Du coup je ne pense pas qu'il y ait vraiment de stratégie ici...

Ou alors je ne comprend pas ce que tu veux dire. sad

 #43 - 08-11-2012 14:12:09

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Parcours en TVT

OK. Je comprends pour les 2 routes (je pensais que c'était uniquement à l'intérieur du champ qu'on allait plus lentement).

Par contre pour la "stratégie", c'est une question de preuve rigoureuse.
Il arrive parfois lors d'une démonstration, qu'un élément de la démonstration semble évident et ne soit pas démontré. Ici c'est le fait que le chemin le plus court se fait forcément en suivant d'abord la route puis en coupant à travers le champ vers l'arrivée.

On considère comme acquis (sans le démontrer) que c'est bien ce type de chemin qui sera le plus court et on détermine ensuite le point où on sort de la route en direction de l'arrivée.

Ici, c'est assez évident. Mais personne n'a MONTRE que c'est bien le type de parcours qui donne la solution la plus courte. C'était ça le point que je voulais faire ressortir. Et pas tellement pour cet exercice vu que ça semble évident à tous.

Ceci étant dit, démontrer que c'est bien un chemin de ce type qui donne la solution la plus courte n'est pas évident. Vasimolo donne une démonstration géométrique de ce fait en trouvant un chemin équivalent à celui que l'on cherche et que l'on peut optimiser en utilisant un résultat connu. On s'en approche en donnant l'analogie du rayon lumineux pour lequel le plus court chemin est connu.

 #44 - 08-11-2012 14:19:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

Parcours en VT

Non mais rivas, la démonstration est très simple. Si tu quittes la route pour y revenir, c'est clair que tu perds du temps. D'autre part, au moment où tu la quittes pour entrer dans le champ, le plus court trajet pour rejoindre l'arrivée est en ligne droite.

 #45 - 08-11-2012 14:23:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,466E+3

arcours en VTT

Ca , ce n'est pas difficile. Le plus court chemin est une ligne droite.
Donc soit on part par les champs et on va tout droit (si on rejoint la route plus loin et que c'est moins long ,  ça revient à dire que l'on va plus vite dans le champ )

Soit on part par la route et dès qu'on emprunte le champ, on revient au raisonnement précédent.

Donc c'est soit CHAMP soit ROUTE - CHAMP. => lignes droites

 #46 - 08-11-2012 14:31:42

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Parcourrs en VTT

Il faut bien comprendre que c'est un point théorique sur la rigueur des démonstrations mathématiques et pourquoi par exemple lors des grosses démonstrations, il faut plusieurs mois pour vérifier que tous les points énoncés sont bien démontrés où proviennent de résultats déjà démontrés.

J'ai simplement illustré le fait que même dans de petits exercices comme ceux-ci, une tendance naturelle est de parfois oublier de démontrer ce qui semble très évident.

Je suis d'accord qu'on peut trouver une démonstration simple mais l'énoncé précisemment contient des pièges.

La phrase "Si tu quittes la route pour y revenir, c'est clair que tu perds du temps" par exemple, n'est pas totalement précise. Si on quitte la route pour y revenir, on perd du temps par rapport à ne pas la quitter du tout jusqu'au point où on y revient. Il faut dire par rapport à quoi on perd du temps. Le c'est clair est justement le point que je veux montrer. Ce n'est pas parce que c'est clair que c'est forcément vrai smile On peut donc dire qu'une fois la route quittée, il ne faut pas y revenir et que donc le plus court chemin est la ligne droite jusqu'à l'arrivée.

On pourrait dire dans une démonstration erronée:
Il est clair que le plus court chemin entre 2 points est la ligne droite je rejoins donc le départ directement à l'arrivée. Et ça ne serait pas vrai.

 #47 - 08-11-2012 14:56:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

parcoyrs en vtt

rivas, il y a toujours des implicites dans une démonstration. On expose les étapes importantes, les points délicats. Après, on peut détailler plus ou moins (tout dépend du niveau du lecteur). Dans la démonstration de Vasimolo, il utilise le fait que le chemin le plus court entre un point et une droite est un segment perpendiculaire à la droite, sans le mentionner par exemple...

Je ne sais pas quel est le but de tes messages. Nous dire "Hé les gars, vous vous êtes pas demandé s'il y avait d'autres trajets ?". Je te rassure : si, pendant une demie-seconde, avant d'écarter l'hypothèse. On n'a juste pas estimé intéressant d'exposer le raisonnement.

 #48 - 08-11-2012 15:05:11

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Parcours en VT

@titoufred:Je ne parle pas d'implicite mais d'assertions justifiées par "c'est clair", ou "c'est évident".

J'ai écrit au moins 3 fois quel était mon but dans mes messages: de la pédagogie à l'intention de ceux que ça intéresse.

Ce problème est totalement trivial. Il n'y a aucune difficulté sauf justement de contourner l'argument d'évidence que le plus court chemin est forcément, évidemment de suivre le bord de la route puis de couper à travers.

Voila c'est tout. Ceux que ça n'intéresse pas ne sont pas obligés de répondre des tartines, surtout pour essayer de me convaincre que c'est bien le plus court chemin. Je le sais.

Ceux que ça intéresse peuvent se demander si ça leur arrive parfois d'utiliser cet argument "d'évidence" et s'ils ne prennent pas un risque en faisant cela.

Je me souviens de pas mal de discussions ici parce qu'il semblait évident à certains certaines choses fausses sur l'infini par exemple...

 #49 - 08-11-2012 15:18:52

Azdod
Expert de Prise2Tete
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parxours en vtt

Bon, Si vous discutez le cas de l'exercice avec les 2 vitesses une sur AB et l'autre sur le reste du champ, je pense que c'est "plié" lol
Par contre, pour un cas général avec une autre vitesse sur BC (3 vitesses) ou avec des données différentes, on peut discuter alors tout ça !
Au passage je veux féliciter Vasimolo pour sa magnifique démo ! smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #50 - 08-11-2012 15:28:47

titoufred
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Parcuors en VTT

Si l'on quitte la route en un point E pour y revenir en un point F, le trajet effectué est de longueur plus grande que le segment [EF], et il est effectué à une vitesse plus petite que sur la route : par conséquent ce trajet prend plus de temps que le trajet qui consiste à rester sur la route pour joindre E à F. Donc, pour un trajet le plus rapide possible, on ne doit quitter la route qu'une seule fois. Au moment où on la quitte, le trajet le plus court pour rejoindre l'arrivée est alors une ligne droite. Ça te va comme ça ?

C'est ça que tu trouves pas évident du tout alors que tout le reste est selon toi trivial ?

Je comprends un peu ce que tu veux dire, mais là je trouve que ça tombe un peu mal : on vient juste de nous donner 2 raisonnements hyper intéressants (celui de Vasimolo, et celui du rayon réfracté) et toi tu viens nous dire que la vraie difficulté est ailleurs...

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