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 #1 - 23-11-2012 00:19:56

Autleaf
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 69
Lieu: Toulouse

Digiicode

Bonjour à tous,

Il y a bien longtemps que je n'ai pas fait un petit tour sur le forum (depuis que je me suis lancé dans la 49 et lamentablement écrasé contre la E...).

Et je me décide enfin à vous proposer un petit problème, qui m'est venu ce matin en allant au boulot.

J'habite dans une résidence dont le portail s'ouvre par un digicode à chiffres.
Le code comporte uniquement 4 chiffres de 0 à 9 (pas forcément tous différents).
Ce digicode ne possède pas de bouton de validation, c'est-à-dire qu'on peut taper autant de chiffres que l'on veut :

Petit exemple: Le code est 1234
Je tape : 573820748673081234 et le portail s'ouvre !

Mais j'ai alors testé 15 combinaisons différentes : 5738, 7382, 3820, etc.

D'où ma question :
Quel est le nombre minimal de chiffres à taper pour tester toutes les combinaisons ?

Et 2 questions subsidiaires :

Peut-on calculer ce nombre pour un code à N chiffres ?
Peut-on trouver une suite répondant au critère ci-dessus, et où aucune séquence de N chiffres n'est répétée, quel que soit N ?


A vous de jouer !

Spoiler : [Afficher le message] Au fait... Je n'ai pas la réponse ! smile 



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 #2 - 23-11-2012 01:41:12

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

igicode

J'ai posé la question pour 2 chiffres il y a peu.

La réponse à ta question est 10 003 chiffres.

Pour N quelconque, c'est [latex]10^N+N-1[/latex].

le principe de fabrication de la séquence est donné sur le fil dont j'ai mis le lien.

 #3 - 23-11-2012 08:30:35

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 641

Diigcode

Peut-on calculer ce nombre pour un code à N chiffres ?
10^N + (N-1)

Peut-on trouver une suite répondant au critère ci-dessus, et où aucune séquence de N chiffres n'est répétée, quel que soit N ?
Si la formule ci dessus est juste, alors aucune sequence n'est répétée.

Pour la super démo qui met tout le monde le cul par terre, je laisse les experts faire smile

 #4 - 23-11-2012 09:35:19

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

digivode

Pour 4 chiffres
Tout code de 0000 à 9999 (soit en tout 10000 nombres) est candidat. Comme j’ai exactement 1000 nombres commençant par i (i variant de 0 à 9) et également 1000 nombres finissant par i (i variant de 0 à 9), je suis sûr de pouvoir mettre ces 10000 nombres bout à bout avec un chiffre en commun (sauf pour le premier et le dernier). J’aurais donc écrit: 3 x 10000 + 1 = 30001 chiffres.

Pour N chiffres
J’extrapole mon raisonnement pour un code à N chiffres. J’ai en tout 10^N nombres et finalement écrit: (N-1).10^N + 1 chiffres. Comme j’ai pris soin d’écrire tous les codes possibles (pas un de plus et pas un de moins), je suis sûr qu’aucune séquence ne sera répétée.

Remarque
Pour une énigme de titoufred http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=10807, on avait écrit cette chaîne pour N=2 et trouvé 101 chiffres. Attention : cela ne signifie pas que mon raisonnement est bon.

Edit: Après réflexion, il y a certainement des redondances (dans les deux cas: avec 4 et N chifffes). Je fais de l'ordre dans mes idées et je reviendrai.

 #5 - 23-11-2012 16:23:40

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2214

Digiode

Je dirais :

- 10003
- [latex]10^{N}+N-1[/latex]
- oui

 #6 - 23-11-2012 23:15:40

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 420

digicose

Salut,

Alors si je tape par exemple :

0000100020003000400050006000700080009

J'ai tapé 37 chiffres et cela me donne (37-3) nombres de 4 chiffres, en effet 0001000 me donne 0001 0010 0100 et 1000 mais je ne peux pas compter les trois dernières combinaisons (000 00 et 0)

En faisant donc bien attention d'éviter de retaper les nombres en doubles je dirais (999-3) = 996 chiffres.

Mais j'ai un doute sur l'optimisation.

 #7 - 24-11-2012 14:18:51

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Digcode

Une énigme similaire a déjà été proposée pour deux chiffres, et la réponse était 101, puisqu'il faut au moins 101 chiffres pour contenir 100 nombres à deux chiffres différents, et qu'on peut la construire de façon à ce que ces 100 nombres soient tous différents (j'avais pour ma part opté pour la preuve constructive après avoir trouvé une méthode de construction très simple, la même que FRiZ d'ailleurs, fier).

Avec le même raisonnement, il faut au moins 10003 chiffres pour trouver un code à quatre chiffres. Comment prouver que c'est ce nombre qu'il faut retenir, et peut-on généraliser à [latex]N[/latex] chiffres avec [latex]10^N+N-1[/latex] chiffres ? Grande question... Je bloque dessus pour l'instant.

Nodgim avait l'air d'avoir un semblant de piste, parlant d'une "grande propriété des nombres univers". J'attends la suite.


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 #8 - 24-11-2012 14:34:04

golgot59
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dihicode

Il y a 10.000 combinaisons possibles, donc au mieux on peut écrire la première combinaison, puis ajouter une proposition avec chaque nouveau chiffre ajouté.

Il faudra donc au minimum entrer 4+9.999 = 10.003 chiffres dans la machine.

Reste à savoir si c'est possible avec seulement 10.003 chiffres.

Pour une combinaison à n chiffres, il y aura 10^n combinaisons possibles, il faudra donc entrer le premier nombre à N chiffre, puis ajouter les 10^n-1 combinaisons restantes, c'est à dire un minimum de 4+10^n-1=n-1+10^n chiffres à entrer.

Pour la dernière question, je cède ma place...

 #9 - 27-11-2012 19:26:50

nodgim
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Messages : 3136

Diigicode

Non Matthias, je n'ai pas de solution miracle pour écrire un nombre universel sans redondance. Je vais p'ete y regarder de près...

 #10 - 27-11-2012 19:36:41

Autleaf
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Dgicode

Bonsoir à tous,

Merci pour vos réponses et désolé à titoufred pour la redondance du post. J'avais fait une recherche il y a plusieurs semaines sur ce sujet, mais pas juste avant de poster...

En ce qui concerne notre sujet, la réponse aux deux premières questions était assez facile. Vous l'avez presque tous donnée :

10003 chiffres pour une combinaison de 4 chiffres
10^N + N-1 pour une combinaison à N chiffres.

Mais ce nombre n'est que théorique, et la dernière question était finalement le vrai problème : Est-il possible de créer ce nombre quel que soit N ?

La piste des nombres univers ? Je ne crois pas qu'il soit question de répétition des combinaisons, uniquement que chaque combinaison est contenue dans le nombre.

Je laisse la question ouverte, si quelqu'un a une idée... Avis aux experts !

 #11 - 27-11-2012 19:49:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Digiocde

titoufred a écrit:

le principe de fabrication de la séquence est donné sur le fil dont j'ai mis le lien.

Peux-tu le détailler pour 4, voire N chiffres ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 27-11-2012 20:43:39

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Digciode

Je donne un exemple pour 3 chiffres :

Code:

0001002003004005006007008009011012013....019021...0991112113114115116117118119122123...1992223224225...77787797887897987998889899900

On a écrit dans l'ordre, sans répétition et en utilisant quand on peut les derniers chiffres du code précédent :

-"000", puis les codes commençant par "0" mais ne finissant pas par "0". On en a fini avec les "0" (sauf pour les deux "0" à la toute fin).

-"111", puis les codes commençant par "1" mais ne finissant pas par "1". On en a fini avec les "1".

-"222", puis les codes commençant par "2" mais ne finissant pas par "2". On en a fini avec les "2".

-Idem avec les "3", les "4", ... , les "9"

-On finit par "00"

On a donc écrit 000, puis 001 mais en utilisant les deux derniers chiffres du code précédent, puis 002, ..., puis 009, pas 010, mais 011, 012, 019, pas 020, mais 021, ..., 099, 111, 112 en utilisant les deux derniers chiffres du code précédent, 113..., etc...

 #13 - 27-11-2012 20:55:52

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

dihicode

Est-on sûr que ça marche toujours ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 28-11-2012 00:03:49

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Diigcode

@Mathias : Je crois bien que oui, mais je me suis peut-être un peu avancé...

Pour N>3, on pourrait définir la séquence ainsi (?):

La séquence est obtenue en écrivant dans l'ordre et à la suite :
les codes commençant par "a" ne contenant pas de chiffre strictement inférieur à "a", tels que les parties du code commençant par un "a" soient rangés dans l'ordre lexicographique. Ainsi, on n'écrira pas 1312 pour N=4.

Ceci pour a variant de 0 à 9, et en optimisant dès que possible : par exemple 121213 pour écrire 1213 à la suite de 1212.

Il faut voir pourquoi avec une telle séquence on obtient tous les codes, et sans répétition.

 #15 - 28-11-2012 00:15:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

dificode

Pour ce qui est d'une démonstration, je me concentre sur le cas n=3 pour l'instant :

Je dirai qu'un code est directement écrit dans la séquence s'il est d'une des 2 formes citées pour la construction de la séquence : autrement dit s'il est de la forme "aaa" ou de la forme "abc" avec [latex]a \leq b[/latex] et [latex]a<c[/latex].

Pour un code composé de 3 chiffres a, b, c avec [latex]a \leq b[/latex] et [latex]a \leq c[/latex]:

1) Si [latex]a=b=c[/latex] :

Le code "aaa" est directement écrit dans la séquence, et il ne peut apparaitre que là.

2) Sinon :

i)Pour un code du type "abc" :
Il est directement écrit dans la séquence et il ne peut apparaitre que là.

ii)Pour un code du type "bca" :
Pour [latex]bc \neq 99[/latex], il apparait entre "abc" et le code suivant "axx" et il ne peut apparaitre que là.
Pour [latex]bc = 99[/latex], "99a" apparait juste avant "aaa" pour [latex]a>0[/latex] et à la fin pour "990", et il ne peut apparaitre que là.

iii)Pour un code du type "bac" :
Pour [latex]b \neq 9[/latex], il apparait entre "acb" et "ac(b+1)" et il ne peut apparaitre que là.
Pour b=9 et [latex]c\neq 0[/latex], "9ac" apparait entre "a(c-1)9" et "ac(a+1)" et il ne peut apparaitre que là.
Pour b=9 et c=0, alors a=0 : "900" apparaît à la fin de la séquence, et seulement là.

Ouf !

Je pense avoir démontré que ça marche pour N=3. Reste à le faire pour N quelconque si quelqu'un voit...

 

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