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 #1 - 30-03-2012 18:53:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
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duagonale de cantor

Bonsoir à tous.
Je suis un peu sceptique sur la démonstration (simple) de Cantor sur l'indénombrabilité des nombres réels. S'il est clair que, par la modification en diagonale de 1 chiffre de chacun des nombres réels écrit en développement décimal illimité, il crée un nouveau nombre, forcément différent des nombres lus, en quoi est ce gênant de déclarer que ce nouveau nombre est bien toujours présent dans la liste des nombres réels, mais pas encore lu ?  A partir du moment ou la liste est infinie, ce nombre ne sera jamais atteint.

Je perçois bien la différence entre l'ensemble des naturels et celui des réels, mais ne suis pas convaincu par la démo de Cantor.

Quelqu'un pour argumenter en sa faveur ?



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 #2 - 30-03-2012 19:59:08

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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diagonale dz cantor

Je ne sais pas quelle est la démo de Cantor mais :

Dans les nombres réels il y a les nombres algébriques, solutions du équation polynomiale de la forme [latex]\sum_{i=0}^n a_iX^i =0[/latex] (1)

L'ensemble des nombres algébrique [latex]\mathbb{A}[/latex] est dénombrable, il peut être mis en relation biunivoque avec [latex]\mathbb{N}[/latex].

Une manière simple de s'en convaincre est de noter que l'ensemble des équations algébriques est dénombrables et que chacune d'elle a un nombre finis de solutions, l'ensemble de ces solutions c'est à dire l'ensemble des nombres algébrique est donc dénombrable.

De manière plus rigoureuse :
A chaque nombre solution équation algébrique, on associe un nombre entier différent, on arrive donc à dénombrer les nombres algébriques. De plus le théorème fondamental de l'arithmétique affirme :

[latex]\forall n \in \mathbb{N}[/latex] n est décomposable en produit de nombres premiers.

Ainsi à chaque racine réelles de (1) on associe un nombre entier composé de la sorte :
[TeX]2^k*{3^{a_0^'}}*{5^{a_0^{''}}*{7^{a_1'}}[/TeX]
[TeX]*{11^{a_1^{''}}}*...*{p_{2n+2}^{a_n^'}}*...[/TeX]
où Pn est le n-ième nombre premier, et [latex]k \in \mathbb{N}[/latex] permettant de couvrir par excès l'ensemble des solutions de (1).
Comme les coefficients [latex]a_0, a_1, ...[/latex] peuvent avoir un signe différent, on pose :
Si [latex]a_n>0[/latex] alors [latex]a_{n'}=a_n[/latex] et [latex]a_{n{''}}=0[/latex]
Si [latex]a_n<0[/latex] alors [latex]a_{n'}=0[/latex] et [latex]a_{n{''}}=-a_n[/latex] ; On affecte ainsi les nombres premiers de rang pair comme 3, 7, 13 ... aux coefs positifs de (1) et 5, 11, 17 ... au coefs négatifs.

Conclusion :
[TeX]\mathbb{R}=\mathbb{A}+\mathbb{\bar{A}}[/TeX]
Or les nombres non-algébriques ne sont pas dénombrables, car non solution d'une équation, donc [latex]\mathbb{R}[/latex] n'est pas dénombrable.

Pour citer M.Boll : "Les nombres algébriques sont comme les étoiles sur le fond du ciel, et l'obscurité épaisse est le firmament des nombres transcendants."

Shadock

PS : Cette démo n'a s'en doute rien avoir avec la diagonale de Cantor, mais c'est une approche différente du caractère indénombrable de R.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 30-03-2012 20:07:58

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Diaggonale de Cantor

Pour montrer la non dénombrabilité d'un ensemble E, tu dois montrer que pour toute partie dénombrable D de l'ensemble E, il existe un élément de E qui n'est pas dans D. Ceci prouve que tu ne peux pas énumérer les éléments de E, tu en oublieras toujours.

Dans l'exemple de Cantor, qui se limite à [0;1] (ça suffit par bijection), si tu supposes qu'il existe un ensemble dénombrable D (c'est là que tu fixes l'ensemble de tes nombres que tu sais dénombrer), alors en prenant comme tu le dis des décimales différentes dans la diagonale des éléments de D, tu construis un nombre qui ne peut pas être dans D.
Ainsi, ta partie dénombrable ne dénombre pas tous les éléments de [0;1], donc [0;1] n'est pas dénombrable.

Ai-je été clair ? big_smile

 #4 - 30-03-2012 20:24:15

shadock
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Diaognale de Cantor

Si je suis le raisonnement de L00ping007, je m'aperçois que c'est tout simple, en effet :
Raisonnons par l'absurde en supposant que [0;1] est dénombrable.
Cela signifie qu'à chaque entier naturel positif on peut associer un réel compris en 0 et 1.
Par exemple :

1 correspond à 0,3456459...
2 correspond à 0,4289573...
3 correspond à 0,6742305...
4 correspond à 0,0563972...
5 correspond à 0,4855219...

On forme alors le réel suivant : sa première décimale après 0 est la première du premier (soit 3) à laquelle on ajoute 1, la seconde décimale est la seconde décimale du deuxième (soit 2) à laquelle on ajoute 1, etc...
Dans ce cas on obtient 0.43543... on a donc un réels compris entre 0 et 1 dont on est sur qu'il n'est pas dans la liste puisque sa première décimale n'est pas celle du premier, sa seconde décimale n'est pas celle du second..

D'où le résultat de Cantor.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 31-03-2012 08:35:46

nodgim
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Diaognale de Cantor

Ben moi je bute alors sur cette partie de E dénombrable alors. Comment vous vous fixez cette partie ? J'ai rien compris à cette nouvelle approche, en toute honnêteté. Comment distinguer, par la méthode de Cantor, que N est dénombrable ?

 #6 - 31-03-2012 10:08:49

L00ping007
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diafonale de cantor

N est dénombrable par définition !
Un ensemble dénombrable est un ensemble que tu peux mettre en bijection avec ... N, justement smile

 #7 - 31-03-2012 10:48:45

nodgim
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diagonale dr cantor

Réponse correcte pour cette partie. Mais pour la partie de R à considérer ? Il me semble d'ailleurs que cette notion de partition n'est pas dans la démo....

 #8 - 31-03-2012 10:54:09

nodgim
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diagonale de cantot

Je fais comme Cantor avec les entiers:
0001
0002
0003
0004

J'ajoute 1 aux 4 premiers nombres, ça donne 1111
Il n'est pas dans la liste des 4 premiers nombres.
Cet ensemble n'est pas dénombrable

 #9 - 31-03-2012 10:59:53

L00ping007
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iDagonale de Cantor

Je pense que tu te mélanges les pinceaux...

Si tu veux montrer que N n'est pas dénombrable, il faut que pour TOUTE partie dénombrable D de N tu puisses trouver un élément dans N qui ne soit pas dans D.
Mais comme N est lui-même dénombrable pas définition, tu auras du mal...

 #10 - 31-03-2012 11:46:03

nodgim
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DDiagonale de Cantor

Voila un extrait curieux de Wikipédia sur le dénombrable que je viens de lire:

"En distinguant le premier deux infinis distincts, et en en déduisant de façon simple un résultat mathématique déjà obtenu de façon différente par Joseph Liouville, Cantor donne des arguments[9] pour l'infini complet, qu'aujourd'hui ne songent même plus à discuter la très grande majorité des mathématiciens."

C'est "très grande majorité des mathématiciens" qui laisse songeur. Cela voudrait il dire que la preuve n'est pas complète ?

 #11 - 31-03-2012 11:51:33

nodgim
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Diagonal ede Cantor

L00ping007 a écrit:

Pour montrer la non dénombrabilité d'un ensemble E, tu dois montrer que pour toute partie dénombrable D de l'ensemble E, il existe un élément de E qui n'est pas dans D. Ceci prouve que tu ne peux pas énumérer les éléments de E, tu en oublieras toujours.

Dans l'exemple de Cantor, qui se limite à [0;1] (ça suffit par bijection), si tu supposes qu'il existe un ensemble dénombrable D (c'est là que tu fixes l'ensemble de tes nombres que tu sais dénombrer), alors en prenant comme tu le dis des décimales différentes dans la diagonale des éléments de D, tu construis un nombre qui ne peut pas être dans D.
Ainsi, ta partie dénombrable ne dénombre pas tous les éléments de [0;1], donc [0;1] n'est pas dénombrable.

Ai-je été clair ? big_smile

Je répète: le nombre construit par Cantor existe dans sa liste, mais comme la liste est bien longue, infinie, il n'a pas encore atteint le nombre. D'ailleurs, on peut remarquer qu'il construit un nombre fini, puiqu'il ajoute à chaque fois une décimale à son nombre, et donc, débarrassé de la virgule, ce nombre est bien un entier !

 #12 - 31-03-2012 12:22:14

shadock
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Diagonale de Cntor

Non parce que tu créés une liste infini, de nombre compris entre 0 et 1 dont le développement décimal est infini, et avec cette première liste de nombre infini tu ajoutes 1 à chaque décimale dans une diagonale, tu es donc sur et certain que ce nombre même si ta liste est infinie, n'y figure pas.
Si tu répètes cette opération une infinité de fois, sur une infinité de segment 0-1 tu auras une infinité non dénombrable de nombre réel.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 31-03-2012 12:34:26

L00ping007
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Diagonle de Cantor

nodgim a écrit:

Je répète: le nombre construit par Cantor existe dans sa liste

Comme le dit si bien shadock, non il n'existe pas dans la liste, il a au moins une décimale de différente par rapport à chacun des éléments de la liste.
Je ne suis pas sûr qu'il soit utile d'argumenter beaucoup plus roll

 #14 - 31-03-2012 13:09:52

MthS-MlndN
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Diagonale e Cantor

Absolument. Le post de Shadock est très clair : le nombre créé ne peut pas appartenir à l'ensemble dénombrable que nous avions au départ, donc la bijection avec l'ensemble N est impossible, donc [0;1] n'est pas dénombrable. Tout contre-argument que tu pourrais trouver sera une erreur de ta part, et montrera que tu te mélanges encore les pinceaux pour rien smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 31-03-2012 16:04:34

nodgim
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Diagonale de Cantorr

shadock a écrit:

tu es donc sur et certain que ce nombre même si ta liste est infinie, n'y figure pas.

Moi, je suis sûr et certain qu'il y figure, il est caché quelque part dans les nombres que Cantor n'a pas vu.
Quand Cantor réalise sa diagonale, au bout de n lignes, le nombre formé comporte n chiffres. Le nombre de nombres de n chiffres qui restent non lus est de 10^n. La partie qu'il a donc lue est donc de n/10^n, partie qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

 #16 - 31-03-2012 16:11:50

nodgim
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diahonale de cantor

MthS-MlndN a écrit:

Absolument. Le post de Shadock est très clair : le nombre créé ne peut pas appartenir à l'ensemble dénombrable que nous avions au départ, donc la bijection avec l'ensemble N est impossible, donc [0;1] n'est pas dénombrable. Tout contre-argument que tu pourrais trouver sera une erreur de ta part, et montrera que tu te mélanges encore les pinceaux pour rien smile

Ensemble dénombrable mais infini, il faut bien le préciser. Aussi sa lecture ne peut finir.

 #17 - 31-03-2012 16:22:11

MthS-MlndN
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Diagonale de Canto

nodgim a écrit:

Moi, je suis sûr et certain qu'il y figure, il est caché quelque part dans les nombres que Cantor n'a pas vu.

Non, et c'est ce que Shadock explique...

Et c'est là qu'on distingue un infini dénombrable d'un infini non dénombrable.

Mais si tu préfères t'obstiner...

Peut-être n'as-tu pas saisi que c'est une démonstration par l'absurde ? On suppose que [0;1] est dénombrable, on prouve que cela aboutit à une contradiction (on peut créer un nombre de [0;1] qui n'est pas dans la liste infinie précédente), ce qui invalide l'hypothèse de travail, ce qui prouve que [0;1] n'est pas dénombrable.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #18 - 31-03-2012 17:03:29

shadock
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diagobale de cantor

Bon je vais faire encore plus simple :
On pose pour ta compréhension que l'infini = 3
L'ensemble des entiers naturels devient 0 1 2 3
0 désigne 0.123456...
1 désigne 0.787466...
2 désigne 0.256437...
3 désigne 0.152468...

On a deux diagonale possible soit 0.752... qui devient par ajout de 1 : 0.863...
soit 0.283 qui par ajout de 1 devient 0.394...
Tu vois bien que ces nombres ne font pas parti de la liste. Et bien maintenant tu imagines exactement le même raisonnement avec une liste infinie.

Shadock wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 31-03-2012 17:07:15

L00ping007
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siagonale de cantor

nodgim a écrit:

Ensemble dénombrable mais infini, il faut bien le préciser. Aussi sa lecture ne peut finir.

Certes, mais le nombre que l'on construit a une décimale différente pour CHACUN des nombres de la liste infinie. Donc même si à un moment tu tombes sur un nombre qui a les mêmes n premières décimales que le nombre construit avec la diagonale, la n+1-ème décimale sera différente ! AUCUN nombre de la liste infinie ne peut donc être égal au nombre que tu construis.
Je ne comprends pas trop ce qui te pose problème hmm

 #20 - 31-03-2012 17:22:50

nodgim
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Diagonale de Cntor

Certes, c'est de l'obstination, je ne peux pas le nier...
Je vous donne ci dessous une construction d'une partie dénombrable des nombres réels compris dans l'intervalle [0 , 1[
Les nombres décimaux à 1 chiffre dans l'ordre:
0, 1 à 9
puis les nombres décimaux à 2 chiffres: 0.01 à 0.99
puis à 3 chiffres: 0.001 à 0.999
etc...
J'associe à chacun de ces nombres un entier: sa lecture à l'envers.

Cantor construit son nombre: 0.21111....

Or, il est évident que ce nombre est dans ma liste. non ?

 #21 - 31-03-2012 17:31:49

L00ping007
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diafonale de cantor

Exactement comme je viens de le dire juste au-dessus, il va y avoir une décimale de différente, qui se situe dans les points de suspension ... Au moment où tu crois rencontrer ton nombre, en position n, alors la n-ème décimale du nombre que l'on construit sera différente de celle du nombre en position n. Tu n'as donc pas rencontré ton nombre, car il y a une décimale qui diffère !

 #22 - 31-03-2012 18:24:57

nodgim
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Diagoanle de Cantor

Alors, tu viens de tomber dans le piège que je t'ai involontairement tendu, car j'ai bien précisé que je ne mettais que la partie strictement dénombrable des décimaux, et tu me dis qu'il y a aussi un nombre supplémentaire. Il faudrait savoir si la méthode Cantor contredit aussi l'ensemble N, ce qui contredit aussi donc sa méthode !

 #23 - 31-03-2012 18:52:50

L00ping007
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Diagonale de CCantor

Il n'y a aucune contradiction, le nombre que l'on construit n'est en fait pas pas un nombre décimal. Il sera effectivement différent de tous les nombres décimaux (au moins une décimale différente à chaque fois). Donc il n'appartient pas à la liste de tes décimaux dénombrables : ça tombe bien, c'est précisément ce que l'on veut montrer ! Sauf que Cantor le fait sur TOUTES les parties dénombrables de [0,1[.
Bref, c'est mon dernier message sur le sujet, tout a été dit et redit wink

 #24 - 31-03-2012 19:13:56

nodgim
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diagonale dz cantor

Il y a quelque d'absolument extraordinaire dans ta logique. ça décoiffe.

 #25 - 31-03-2012 19:24:35

papiauche
Sa Sainteté
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Digaonale de Cantor

nodgim a écrit:

Alors, tu viens de tomber dans le piège que je t'ai involontairement tendu

@ Nodgim, vouloir piéger Cantor, c'est courageux, mais surtout téméraire.

En ces matières complexes, tu as le droit de dire : "je ne comprends pas".
Mais respecte l'adversaire avant de le vouloir le disqualifier.

La diagonale de Cantor est une expérience par la pensée qui a fait date dans l'histoire des mathématiques.

Je rejoins ceux qui t'ont répondu pour l'expliquer.

Admiratif de cette construction et des puissants développements qu'elle a permis.
Admiratif en général des Fermat, Euler, Galois, Fermi et tant d'autres dont j'ai eu le bonheur (et pas la faiblesse) d'admettre à quels points ils étaient géniaux, puis de tenter de manger quelques miettes du gâteau qu'ils me laissaient...


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

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