Enigmes

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 #1 - 23-02-2015 01:15:11

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

pike ou face pour des € !

Vous avez une pièce de 1€ en poche et décidez de jouer à Pile ou Face pour de l'argent avec un copain. Lui possède 99 pièces de 1€ et va jouer le rôle de la banque.

A chaque tour, vous décidez de combien de pièces de 1€ vous allez miser sur un Pile ou Face (minimum : 1, maximum : ce que vous possédez, mais toujours un montant inférieur ou égal à la réserve de la banque).

Le jeu s'arrête lorsque vous êtes ruiné ou lorsque vous avez les 100€ en poche.

Quelle est la meilleure tactique à adopter pour espérer atteindre les 100€ ?



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 #2 - 23-02-2015 10:17:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Piile ou Face pour des € !

Quand on mise 1 € et qu'on gagne, on gagne quoi ?

 #3 - 23-02-2015 12:12:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pile ou Face pour des €

@nodgim : Au premier tour, tu mises 1€. Si tu perds, tu perds ta mise, tu es ruiné et le jeu s'arrête. Si tu gagnes, tu gagnes ta mise et tu te retrouves avec 2€. Pour le deuxième tour, tu as alors le choix entre miser 1€ ou 2€...

 #4 - 23-02-2015 14:34:36

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Pille ou Face pour des € !

Bonjour,

Il n'y a aucune stratégie meilleure qu'une autre, sinon, il y aurait des martingales qui marchent au casino !

Regardons par exemple ce qui se passe si l'objectif est d'avoir 4 pièces (et non pas 100). On va opposer 2 méthodes : mét1 on mise 1 € à chaque fois et mét2 on mise le maximum.

Mét1 : après 3 tirages, on est dans la situation P1 (1 chance sur 2), P3(1/8), 2 pièces (2/8) ou 4 pièces (1/8) (en construisant l'arbre et en notant Px le fait de perdre son dernier €uro après le coup x).

Lorsque l'on a 2 pièces, la situation est symétrique et l'on a autant de chance de gagner que de perdre, donc au final, l'espérance de gain est de 1/4 et l'espérance de perte est de 3/4.

Mét2 : après 2 coups, soit on a gagné les 2 fois et c'est fini (4 pièces), avec 1 chance sur 4. Soit on perd, 3 chances sur 4.

Dans les 2 cas, les chances de gains sont de 1/4. Pas de stratégie favorables.

La différence entre les 2 méthodes réside dans le nombre de coups moyens joués Nm :
mét2 : on a  systématiquement Nm = 2 coups.
mét1 : Nm = 1/2 x 1 + 1/4 x (N2+1)
où N2 est le nombre moyen de coups joués en partant de 2 €uros.

Or, si on part de 2€, 1 fois sur 2, ça arrête après 2 coups (à 0 ou 4) et 1 fois sur 2, on revient à 2 €uros, donc N2= 1/2 x 2 + 1/2 x (N2+2), donc N2 = 4.
Soit Nm = 3 coups.

Comme on pouvait s'y attendre, la méthode 1 permet de jouer plus longtemps.

 #5 - 23-02-2015 15:42:18

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Pile ou Face pur des € !

J'ai du mal comprendre l'énoncé: si on doit toujours miser moins que la réserve de la banque, comment peut-on finir avec 100 euros en poche (tout l'argent disponible selon l'énoncé)?

 #6 - 23-02-2015 18:14:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pile ou FFace pour des € !

@dylasse : tu compares 2 méthodes parmi d'autres et tu le fais pour 4€ seulement. Ce qui ne répond pas au problème.

@Nombrilist : il faut miser moins que la réserve de la banque au sens large, c'est-à-dire un montant inférieur ou égal.

 #7 - 23-02-2015 18:52:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

pile oy face pour des € !

As tu mieux que 1 chance sur 99 pour gagner, en jouant un seul pion à la fois ?

 #8 - 23-02-2015 19:21:34

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Pile ou aFce pour des € !

Je vois 3 techniques

Technique 1 : quitte ou double
C'est la plus rapide, il suffit de gagner 7 fois de suite (et encore, après 6 victoires de suite, je peux perdre une fois !)

Technique 2 : Je mise 1 tout le temps, et avec un peu de chance, je peux espérer avoir les 100 pièces après un très grand nombre de lancer

Technique 3 :
Dès que j'ai 3 pièces, j'utilise la stratégie de la martingale classique pour la roulette
http://fr.wikipedia.org/wiki/Martingale
C'est à dire, jouer 1 pièce et si je perd, je double !

Bref, pour les 3 techniques, je ne sais pas laquelle déchire et laquelle est ridicule smile

 #9 - 23-02-2015 20:12:49

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

pile iu face pour des € !

@nodgim : Je ne vais pas te dire ! big_smile Comment trouves-tu ce nombre ?

@godisdead : Ok, ce sont 3 stratégies parmi d'autres. Laquelle est la meilleure selon toi ?

 #10 - 24-02-2015 08:17:43

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Pil ou Face pour des € !

L'exemple avec 4 €uros était là juste pour montrer que l'intérêt d'une stratégie par rapport à une autre ne résidait pas dans l'espérance de gains mais pouvait influer, par exemple, sur la durée du jeu.

LA réponse à ta question est : toute les stratégie sont équivalentes.
En effet, à chaque coup, et quelque soit la mise, l'espérance de mon pot après le lancer ne varie pas :  E(PotAprès) = (PotAvant - Mise) + 1/2 x 0 + 1/2 x (2 x Mise) = PotAvant.

Lorsque le jeu s'arrête (et il s'arrêtera toujours, au bout d'un certain nombre de coups, qui en moyenne dépend de la stratégie), soit j'ai 100€ dans mon pot, soit j'ai 0€. L'espérance de mon pot est toujours de 1 € (sa valeur de départ), donc 1€ = Chance de gagner x 100€ + Chance de perdre x 0€.
D'où, chance de gagner = 1/100. Cette chance de succès ne dépend que de la valeur de mon pot initial et de mon objectif de gain, pas de ma stratégie.

 #11 - 24-02-2015 08:57:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

pile oi face pour des € !

En fait je voulais dire 1 chance sur 100. Je n'ai pas essayé autre chose, mais je soupçonne fortement que, quelle que soit la stratégie choisie, on arrivera tjs à 1 chance sur 100.
Plus généralement, si ton capital de départ est n € et celui de la banque m €, alors tes chances de gagner sont n/(n+m).

Après quelques essais sur tableur, je confirme qu'il n'y pas de stratégie pour augmenter la proba de gagner. Elle est fixe.

D'une manière plus générale, dans un intervalle [0;1], si x est la valeur de départ, x est aussi la proba da gagner, 1-x est la proba de la banque de gagner, l'intervalle est la somme des capitaux en jeu. On pourra juste aller plus vite en choisissant un déplacement plus grand, c'est tout.

 #12 - 24-02-2015 11:20:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Pile ou Face pour eds € !

J'ai dû me tromper quelque part car je trouve qu'avec n pièces en poche la probabilité de gagner est P(n)=n.P(1) quelle que soit la stratégie adoptée . Comme P(100)=1, les chances de gain seraient extrêmement faible : 1% .

Vasimolo

 #13 - 24-02-2015 13:27:50

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

pilr ou face pour des € !

@dylasse : Oui, bravo ! Tu as même souligné un point extrêmement important dans la démonstration (A la place de "s'arrêtera toujours", j'aurais quand même dit "s'arrêtera avec une probabilité qui tend vers 1").

@nodgim : C'est une jolie conjecture. Pourrais-tu essayer de la prouver ?

@Vasimolo : Quel est ton raisonnement ?

 #14 - 24-02-2015 19:51:10

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Pile ou Face pour des €

Bonjour,

Si on appelle P(k) la probabilité de plumer la banque lorsque on a un avoir de k (N-k pour la banque) :

P(0) = 0 * P(1)
P(1) = 1 * P(1)

Il faut montrer par récurrence que P(k) = k * P(1)
Si on a une somme k, et qu'on mise m (m ≤ k et m ≤ N-k) :

P(k) = 1/2*P(k+m) + 1/2*P(k-m)
D'où P(k+m) = 2*P(k) - P(k-m)

On suppose P(k) = k * P(1) et P(k-m) = (k-m) * P(1),
on en déduit P(k+m) = 2*k*P(1) - (k-m)*P(1) = (k+m)*P(1)

Donc P(1) = P(N)/N = 1/N

La probabilité de gagner dans l'énigme est de 1/100, et ne dépend pas de la stratégie. C'est la durée de la partie qui en dépend.

Voici les résultats de simulations de 10**7 parties, avec 3 stratégies différentes :

1) Mise maximum à chaque fois

Code:

proba gain | proba perte | longueur moyenne d'une partie | d'une partie gagnante | d'une partie perdante
1.0034E-02   9.8997E-01                        2.0001         7.5476                  1.9439

2) Mise limitée à 13

Code:

proba gain | proba perte | longueur moyenne d'une partie | d'une partie gagnante | d'une partie perdante
9.9933E-03   9.9001E-01                        2.4597        24.5040                  2.2371

3) Mise limitée à 1

Code:

proba gain | proba perte | longueur moyenne d'une partie | d'une partie gagnante | d'une partie perdante
1.0003E-02   9.9000E-01                       99.1272      3333.8996                 66.4422

 #15 - 25-02-2015 00:45:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Pile ou Face pur des € !

Petit problème enigmatus : il te faut fixer une stratégie au départ.

Une stratégie étant fixée, là tu peux parler de P(k) la probabilité de plumer la banque avec cette stratégie lorsqu'on a un avoir de k €.

Ensuite tu ne connais pas le m associé au k, et donc tu ne peux pas savoir si ce m vaut 1 ou autre chose, ce n'est pas toi qui le fixe comme tu veux (il est fixé par la stratégie), et donc tu ne peux pas conclure pour l'hérédité.

 #16 - 25-02-2015 07:07:45

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Piile ou Face pour des € !

@titoufred #15

On peut, si c'est plus clair, démontrer d'abord la relation P(k) = k * P(1) = k / N avec uniquement des mises de 1 €.

Ensuite, pour passer de k à k+m, on remplace les mises de 1 par une mise de m, et il me semble que j'ai montré en #14 que P(k+m), calculé directement à partir de P(k) et P(k-m), est conforme à la relation ci-dessus, soit P(k+m) = (k+m) * P(1) = (k+m) / N.

Ce qui fait que la stratégie n'a aucune importance quant à la probabilité de gagner.

 #17 - 25-02-2015 17:02:02

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

pile ou face pour ded € !

Ta démonstration est valable pour la stratégie qui consiste à miser 1€ tout le temps, mais pas pour une stratégie quelconque.

Dans une démonstration par récurrence d'une propriété P(k), tu dois montrer que P(k) implique P(k+1), et non pas que P(k) implique P(k+m) pour un m que tu ne maitrises pas.

Par exemple considérons la stratégie où :
1) si on a 4€, on mise 1€
2) dans tous les autres cas, on mise le max possible

Comment fais-tu pour établir ta formule pour P(3) ? Tu vois bien que ta récurrence ne marche pas ici.

 #18 - 26-02-2015 03:38:53

titoufred
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Pile ou Face pour dess € !

Voilà, vous pouvez à présent admirer la solution donnée par dylasse, qui est le seul à avoir trouvé. On pourrait lui opposer qu'un passage de la démonstration est avancé sans preuve, quand il dit qu'une partie va toujours s'arrêter (comprendre avec une probabilité qui tend vers 1). Mais cela se prouve assez facilement. Qui voit comment ?

enigmatus a raisonné différemment, mais il n'a pas avancé de démonstration convaincante selon moi. Vasimolo semble avoir emprunté la même voie. Tu ne veux pas faire partager ton raisonnement Vasimolo ?

Petite prolongation : et si jamais on enlevait la contrainte de miser uniquement un nombre entier d'euros, et que les mises puissent être n'importe quel nombre réel positif, ça changerait radicalement la conclusion ou pas du tout ?

 #19 - 26-02-2015 10:12:38

nodgim
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Pile ou Facee pour des € !

Pour moi le msg 14 d'énigmatus est pour l'instant un magnifique sophisme.
P0)=0
P(1)=1*P(1)=P(1)
n'est pas suffisant pour enclencher une récurrence.

Je serais convaincu avec au moins P(2)=2*P(1).

 #20 - 26-02-2015 14:29:43

titoufred
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Pile ou aFce pour des € !

Ce n'est pas l'initialisation qui pose problème mais l'hérédité.

 #21 - 26-02-2015 15:35:41

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
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Pil eou Face pour des € !

Pourquoi le jeu s'arrête ?
Quelle que soit la stratégie, la mise étant au minimum 1€, nous sommes certains qu'une séquence de 100 piles consécutifs mettra fin au jeu.
Dans une suite infinie aléatoire de piles ou faces, cette séquence va apparaître avec une probabilité très faible mais non nulle (supérieure à 1/2^100, qui correspond à la fréquence moyenne d'apparition de 100 piles dans un découpage en paquets successifs de 100 lancers).
Donc le jeu va s'arrêter un jour.

Cas d'absence de mise minimale
Si on donne le droit de diminuer la mise, on peut choisir une stratégie qui empêche de perdre : par exemple, on mise à chaque fois la moitié de son pot au maximum. Il nous restera toujours au minimum 1/2^n au bout de n coups.
Cette stratégie qui assure de ne pas perdre, n'assure cependant pas que l'on rentrera à la maison avec les 100 € à tous les coups !

D'une façon générale, si pour une stratégie donnée, on note Pg, Pp et Pi les probabilités de gagner, de perdre ou d'avoir une partie infinie et M la valeur moyenne du pot dans une partie infinie, on a : 1 € = 100 Pg + 0 Pp + M Pi.
D'où Pg = 1/100 - Pi M/100

La probabilité de gagner restera toujours inférieure ou égale à 1/100.

On peut aussi imaginer la stratégie où l'on mise le minimum entre la moitié de son pot et la moitié du pot de la banque. On ne gagnera jamais, on ne perdra jamais, avec un pot moyen toujours égal à 1 €. Dans ce cas, on a Pg=Pp=0, Pi=1 et M = 1€.

 #22 - 26-02-2015 16:17:02

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Pile ou Face pour dees € !

Oui bravo dylasse !

 #23 - 28-02-2015 20:13:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

pule ou face pour des € !

Un peu pour donner un éclairage sur le calcul de proba relatif à ce problème:
On entre la valeur 1 dans la case C1 d'un automate. Il est configuré ainsi:
C1---->C2 et C0
C2---->C1 et C3
C3---->C2 et C4
C4---->C5 et C3
C5---->C6 et C4

Calculer les différentes valeurs à l'équilibre du système. le "Ci et Cj" signifie que Ci et Cj reçoivent chacun la même quantité de l'émetteur.

 

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