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 #1 - 18-02-2011 19:02:14

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

disque et colume

Avec un disque en fer-blanc, il faut fabriquer un entonnoir, en découpant un secteur de ce disque et en pliant le reste en forme de cône.
Quel doit être en degrés l'arc du secteur découpé pour que le cône soit de capacité maximum ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 18-02-2011 19:57:46

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 491
Lieu: Ardèche

Disque t volume

On peut supposer le rayon égal à 1 sans nuire à la généralité.
Si on découpe un secteur d'angle [latex]2\pi (1-x)[/latex], 0<x<1, le cône formé a pour base un cercle de rayon x.
La hauteur du cône est alors [latex]sqrt{1-x^2}[/latex].
Le volume est, au facteur [latex]\frac \pi 3[/latex]près, [latex] x^2sqrt{1-x^2}[/latex].
On doit trouver le maximum de [latex]x^4(1-x^2)=x^4-x^6[/latex].
La dérivée est [latex]4x^3-6x^5=2x^3(2-3x^2)[/latex].
Elle s'annule pour [latex]x=sqrt{\frac 2 3}[/latex].
L'angle découpé est donc [latex]360(1-sqrt{\frac 2 3})\approx[/latex]66°03'40".

 #3 - 18-02-2011 23:07:55

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

Disqeu et volume

Imaginons le disque de rayon 1.
Soient h la hauteur du cône, R le rayon de la base et V le volume du cône.
On a:
h²+R²=1
V est proportionnel à R².h.
Donc V² est proportionnel à R^4.h²=R^4.(1-R²).
Il faut maximiser V² (en fait V mais c'est pareil) avec R entre 0 et 1.
Un tableau de variation sur V² donne que le max est atteint pour R=racine²(2/3). (l'intérêt de prendre V² plutôt que V est que ça donne un polynôme: c'est facile de le dériver et de voir où la dérivée s'annule)
Pour avoir un tel rayon, il a fallu garder 360.racine²(2/3) degré du disque.
Autrement dit, on en a coupé 360.(1-racine²(2/3)) degré du disque, soit environ 66°.

 #4 - 18-02-2011 23:22:12

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Dsique et volume

Bravo Irmo et... Halloduda!


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #5 - 19-02-2011 03:06:48

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Dissque et volume

Bon alors j'ai trouvé 3 résultats dont  un seul me semble logique, je détaille mais j'avoue que j'ai fais ça comme un idiot qui va de A à B sans chercher plus loin...

Soit a le rayon du disque. le périmètre est donc : [latex]P_d=2\pi a[/latex]
Soit [latex]\theta[/latex] l'angle de l'arc que l'on enlève. on a donc comme longueur de cet arc : [latex]l_{arc}=a\theta[/latex]
Ainsi le périmètre de la base du cône sera :
[TeX]P_c=P_d-l_{arc} \Rightarrow P_c=a(2\pi-\theta)\\ [/TeX]
Le rayon de la base du cône sera donc :
[TeX]R=\frac{a}{2\pi}(2\pi-\theta)[/TeX]
Le volume du cône est :
[TeX]V=\frac{1}{3}\pi R^2 h \,=\, \frac{a^3}{12\pi}(2\pi-\theta)^2 \sqrt{1-\frac{2\pi-\theta}{4\pi^2}}\\[/TeX]
Pour trouver le volume idéal, il faut résoudre [latex]\frac{dV}{d\theta}=0[/latex]

Je passe les calculs qui sont trop longs :
[TeX]-3\theta^3+18\pi\theta^2-28\pi^3\theta+8\pi^3=0[/TeX]
Avec une très bonne intuition on remarque que [latex]2\pi[/latex] est solution, on peut donc factoriser :
[TeX](\theta-2\pi)(-3\theta^2+12\pi\theta-4\pi^2)=0[/TeX]
On obtient 3 solutions :
[TeX]\theta_1=2\pi \,\approx \, 6,15 rad \, = \, 360^\circ \\
\theta_2=\frac{2\pi\sqrt{6}+6\pi}{3} \, \approx \, 11,41 rad \, \approx \, 653^\circ\\
\theta_3=\frac{-2\pi\sqrt{6}+6\pi}{3} \, \approx \, 1,153 rad \, \approx \, 66^\circ [/TeX]
On retient donc la 3eme valeur, l'angle sera donc de 66°.

 #6 - 19-02-2011 03:09:00

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

disque et vomume

Mais attention, quand tu dis entonnoir, ça laisse penser qu'il y a un trou à la pointe du cône. Tu devrais changer ça.

 #7 - 19-02-2011 03:53:40

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2010
Lieu: Paris

disque et volime

Notations :
- x secteur angulaire du cône (en radians)
- R rayon du disque
- r rayon de la base du cône
- h hauteur du cône

Le secteur angulaire x du cône vaut : [latex]x=\frac{2\pi r}R[/latex] , car la circonférence de la base est égale à la longueur de l'arc de secteur angulaire a.

D'après Pythagore, [latex]h=\sqrt{R^2-r^2}[/latex]
Le volume du cône vaut : [latex]V=\frac{\pi r^2h}3[/latex]
[TeX]V=\frac{\pi}3\left(\frac{Rx}{2\pi})^2\sqrt{R^2-(\frac{Rx}{2\pi})^2}[/TeX]
Je simplifie un peu en prenant [latex]t=\frac{x}{2\pi}
[/latex]
[TeX]V(t)=\frac{\pi R^3}3t^2\sqrt{1-t^2}[/TeX]
Il ne reste plus qu'à étudier la fonction f définie sur [0;1] :
[TeX]f(t)=t^2\sqrt{1-t^2}
f'(t)=\frac{x(2-3x^2)}{\sqrt{1-x^2}}[/latex] (je vous passe le calcul)

Cette dérivée s'annule pour x=0 (c'est clairement un minimum, le volume est nul), et pour [latex]t=\sqrt{\frac23}[/latex], c'est bien un maximum si on dresse le tableau de variation de f sur [0;1]

Ainsi, notre arc angulaire cherché vaut :
[latex]x=2\pi \sqrt{\frac23} \approx 293,94^o[/TeX]
Le volume correspondant est :
[TeX]V=\frac{2\pi R^3}{3\sqrt3}[/TeX]

 #8 - 19-02-2011 10:34:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Disqeu et volume

On note A l'angle du secteur ciculaire réalisant la surface conique et 1 son rayon .

Le périmètre de la base : [latex]\frac{\pi A}{180}[/latex]
Le rayon de la base : [latex]\frac{A}{360}[/latex]
La hauteur du cône : [latex]\frac{\sqrt{129600-A^2}}{360}[/latex]
L'aire de base : [latex]\frac{\pi A^2}{129600}[/latex]
Le volume du cône : [latex]\frac{\pi}{139968000}A^2\sqrt{129600-A^2}[/latex]

Pour [latex]x[/latex] positif le maximum de [latex]f(x)=x\sqrt{1296400-x}[/latex] est atteint quand [latex]x=86400[/latex] qui correspond à [latex]A=\sqrt{x}=120\sqrt{6}[/latex] . L'angle de la coupe est donc [latex]C=120(3-\sqrt{6})\approx 66^{\circ}[/latex]

Sans les calculs j'aurais plutôt dit 60 smile

Vasimolo

 #9 - 19-02-2011 12:48:08

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Disque et volumee

Soit [latex]\alpha[/latex] l'angle du secteur découpé et [latex]R_1[/latex] le rayon du disque.

On note que le rayon du disque se retrouve sur la couture du cône et que le périmètre du disque amputé devient la circonférence de la base du cône.

La circonférence est donc [latex]R_1(2\pi-\alpha)[/latex], ce qui donne un rayon pour la base du cône égale à [latex]R_2=R_1(1-\frac{\alpha}{2\pi})[/latex]. Utilisant Pythagore avec cette valeur et la longueur de couture [latex]r_1[/latex], on obtient la hauteur du cône [latex]H=\sqrt{R_1^2-R_2^2}=R_1\sqrt{1-(1-\frac{\alpha}{2\pi})^2}[/latex]

Le volume du cône est
[TeX]V=\frac{BH}{3}=\frac{R_1^2(2\pi-\alpha)\sqrt{1-(1-\frac{\alpha}{2\pi})^2}}{3}[/TeX]
Soit [latex]x=\frac{\alpha}{2\pi}[/latex]
[TeX]V=k(1-x)\sqrt{x(2-x)}[/latex] avec [latex]k=\frac{2\pi R_1^2}{3}[/TeX]
qui admet un maximum en [latex]x=0.291[/latex] soit [latex]\alpha=105[/latex]º

Je verifierai avec la réponse des autres tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 19-02-2011 14:16:59

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

DDisque et volume

C'est ce qu'on appelle une bonne question.

Le disque de base est de rayon [latex]R[/latex] (et donc de périmètre [latex]2 \pi R[/latex]). On va découper un "petit quelque chose", pour ne garder qu'une portion de disque de périmètre [latex]\alpha \times 2 \pi R[/latex] (l'angle découpé en degrés sera alors [latex](1 - \alpha) \times 360[/latex]).

On construit avec cette portion de disque un cône dont le périmètre de la base est [latex]2 \pi \alpha R[/latex] (la base est donc de rayon [latex]\alpha R[/latex]), et le chemin rectiligne reliant un point quelconque de sa base à son sommet sera de longueur [latex]R[/latex]. Pythagore nous donne sa hauteur : [latex]\sqrt{R^2 - (\alpha R)^2} = R \sqrt{1 - \alpha^2}[/latex].

De là, on calcule le volume : [latex]\frac{\pi}3 (\alpha R)^2 R \sqrt{1 - \alpha^2} = \frac{\pi}3 R^3 \alpha^2 \sqrt{1 - \alpha^2}[/latex]. Le plus grand volume est obtenu en maximisant la quantité [latex]\alpha^2 \sqrt{1 - \alpha^2}[/latex] sur l'intervalle [latex]]0;1[[/latex].

On l'obtient grâce à une dérivation : la dérivée de [latex]\alpha^2 \sqrt{1 - \alpha^2}[/latex] est [latex]\frac{2\alpha-3\alpha^3}{\sqrt{1 - \alpha^2}}[/latex] et elle s'annule sur [latex]]0;1[[/latex] seulement pour [latex]2 - 3 \alpha^2 = 0[/latex]. Donc :

[latex]\alpha = \sqrt{\frac 23}[/latex] (résultat confirmé par Wolfram|Alpha)

L'angle du secteur découpé vaut donc [latex]\left( 1 - \sqrt{\frac 23} \right) \times 360[/latex] soit environ 66 degrés.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 19-02-2011 18:41:50

looozer
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Disque et vloume

[TeX]360*(1-sqrt{6}/3)[/TeX]

 #12 - 19-02-2011 19:49:27

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Disque et vlume

Ceux qui trouvent une solution inférieure à 70° sont dans le vrai. winklolsmile


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 #13 - 20-02-2011 02:17:47

L00ping007
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Lieu: Paris

sisque et volume

Après relecture de l'énoncé, la réponse tout à fait exacte est (tu chipotes Saint-Pierre !!!) :
[TeX]x=2\pi (1-\sqrt{\frac23}) \approx 66,06^o[/TeX]

 #14 - 20-02-2011 02:25:28

SaintPierre
Banni
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DDisque et volume

@L00ping: lol voilà la bonne réponse ! lol


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 #15 - 21-02-2011 13:03:45

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,710E+3

dusque et volume

Le volume du cône est 1/3 pi r^2 h, on veut donc r^2.h maximum

......

Je recommence : avec R le rayon du cercle de base Faisons confiance aux proportions et prenons un cercle de base de rayon 1


r = rac ( 1 - h^2)

V= 1/3 pi (1 - h^2) h

V= 1/3 pi (h - h^3 )


V= pi/3  h - pi/3 h^3

Et là, je dérive : V' = pi/3 -pi h^2 = 0   ce qui fait h= 1/rac(3)

r =rac( 1 - 1/3) = rac (2/3) =( 2 pi - angle ) .....(x R=1)

Angle =1 - [  2 pi - rac (2/3) ] / 2 pi * 360



2 pi rac(2/3) = 2pi – angle
angle = 2 pi ( 1 - rac(2/3))  x 360/2pi
66,06 °

 #16 - 21-02-2011 16:53:34

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Disuqe et volume

Bonjour,
On enlève 360 x (1-k) ° et on cherche k compris entre 0 et 1.
Le secteur restant fait 360 x k °.
Soient p et r le périmètre et le rayon du cône obtenu (et P et R ceux du disque initial): on aura p=kP et (en divisant par pi) r=kR.
Soit h la hauteur du cône: on aura R2=r2+h2 soit h=RV(1-k2).
Le volume du cône est: V=pi x r2 x h / 3 donc V = pi x R3 x k2 x V(1-k2).
Soit f(k) = k2 x V(1-k2) qu'on cherche à maximiser.
On calcule f'(k) = (k3 + 2k2 - 2) x k / V(1-k2).
f'(k) = 0 => k3 + 2k2 - 2 = 0 équation de dégré 3 sans solution évidente.
Avec Excel, on trouve k=0,8393 environ.
On a donc enlevé 360 x (1 - 0,8393) = 57,85 °.
Bonne journée.
Frank

 #17 - 21-02-2011 19:53:03

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

disque et colume

La solution de Mathias me plaît bien. Elle peut faire office de correction.wink


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 #18 - 22-02-2011 08:47:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2844
Lieu: Luxembourg

Disque et ovlume

Bonjour,
J'ai suivi le même raisonnement que LOOpingOO7.
Mais je me suis planté en dérivant la fonction à maximiser.
Il faut dire que mon bac date de plus de 30 ans !!!
Merci donc à LOOpingOO7 de m'avoir permis de voir mon erreur.
Bonne journée à tous.
Frank

 #19 - 22-02-2011 11:04:28

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Disque et olume

Euh, de rien, si j'peux rendre service lol

 

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