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 #1 - 13-10-2010 15:23:32

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Recoouvrement d'un disque.

J'ai à ma disposition quatre feuilles de papier de forme carré de coté 1.
Quel est le rayon de la plus grande surface circulaire que l'on peut couvrir avec une, deux, trois, puis quatre feuilles.
Je vous demande des valeurs exactes.
Bonne chance.



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 #2 - 13-10-2010 18:18:58

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Recouvrement d'un disqque.

bon bin 1 feuille, rayon 1/2, et 4 feuilles rayon 1.

2 feuilles avec la symmetrie qu'il doit y avoir je dirais qu'il faut placer les feuilles sur leurs diagonales, donc en prenant le probleme a l'enevers, ca revient a retirer un petit carre d'aire maximale dans l'angle d'un carre contenant le cercle insrcit. si le rayon du cercle est 1, alors [latex]1 - \cos(\pi/4) = 1-1/\sqrt2[/latex] est le cote du carre dans l'angle, et le cote de nos fictives feuilles seraient  [latex]2\cos(\pi/4)=\sqrt2[/latex]

Donc pour 2 feuilles, ma reponse est [latex]1/\sqrt2\approx0.7[/latex]

pour trois feuilles, par symmetrie je mettrai une rotation autour d'un des points du carre, de maniere a former une espece de triangle a cotes tordus vers l'exterieur... dont les 6 cotes touchent le cercle (mais pas en leur milieu). les angles de ce polygone sont 30,90,30,90,30,90. on fait donc en (x,y) en placant un angle droit en bas a gauche, le centre du cercle est sur la diagonale. en parcourant les cotes je peux determiner les coordonnes de tous les points, donc :

[latex](0,0),(1,0),(1+\sqrt3/2,1/2)(1/2+\sqrt3/2,1/2+\sqrt3/2)(1/2,1+\sqrt3/2)(0,1)[/latex] le centre de cette figure et donc du cercle est donne par le point de la diagonale d'abscisse egale au tiers de la somme de n'importe quelle triplet d'une coordonne alternee. cest a dire par exemple somme des abscisses des points 1,3,5:
[latex]0+1+\sqrt3/2 +1/2=3/2+\sqrt3/2=\frac{3+\sqrt3}{2}[/latex]  qui divise par 3 donne
[latex]\frac{1+1/\sqrt3}2\approx 0.79[/latex], et c'est aussi le rayon !

 #3 - 13-10-2010 18:19:52

Emigme
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 318

recouvrement f'un disque.

Bonjour,

Alors, j'ai trouvé :

1) Rayon de la plus grande surface circulaire que l'on peut couvrir avec une feuilles = 0,5
http://www.prise2tete.fr/upload/Emigme-r=0,5.PNG

3) Rayon de la plus grande surface circulaire que l'on peut couvrir avec trois feuilles = EDIT : paraît qu'on peut faire mieux...

4) Rayon de la plus grande surface circulaire que l'on peut couvrir avec quatre feuilles = 1
http://www.prise2tete.fr/upload/Emigme-r=1.PNG

J'ai pas trouvé pour 2 feuilles, je pense qu'il y a un piège...
J'espère que je ne me suis pas trompé... !


Il n'y a pas de problèmes : il n'y a que des solutions. Si il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.

 #4 - 13-10-2010 18:36:52

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Recouvremeent d'un disque.

1,2
cercle 0,58333333333333cm de rayon
3
0,625 rayon
4
cercle 1cm rayon

merci pour cette enigme!


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 13-10-2010 18:48:59

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

rrcouvrement d'un disque.

McFlambi:
Pour deux feuilles, je suis d'accord avec toi pour le début de ta première phrase, après la virgule, j'suis largué... Sinon ton résultat est plus grand que le mien... je demande à voir, tu peux donner une figure?
Pour trois feuilles, je suis largué dès le début, et j'ai mieux que toi...
Emigme:
Pour trois feuilles, on peut faire mieux.
Promath:
Pour deux et trois feuilles, on peut faire mieux.
Bonne continuation.

 #6 - 13-10-2010 18:49:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Recouvremennt d'un disque.

J'ai trouvé pour une et deux feuilles

Pour une feuille [latex]R=0,5[/latex] de façon évidente et pour deux feuilles [latex]R=2-\sqrt{2}[/latex]

http://img221.imageshack.us/img221/7766/2carrs.jpg

J'ai l'impression que pour trois et quatre , ça ne va pas être de la tarte yikes

Beau problème en tout cas smile

Vasimolo

 #7 - 13-10-2010 18:51:51

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Recouvremment d'un disque.

euh bon j'y reflechirais plus tard il est 4h du mat ici.... je vais me coucher

mais juste un truc...

effectivement pour 3 feuilles je peux encore les separer un peu(les feuilles), de maniere a refaire toucher le cercle aux trous que creent la separation, donc tu dois avoir tres proche de moi qd meme.

je pensais a un truc du genre ca pour le 2 feuilles

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 #8 - 13-10-2010 18:58:37

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

recouvrement d'un disqur.

Un énoncé tout simple, mais un vrai problème !
Ce n'est pas de la chance que tu devrais nous souhaiter luthin, mais du courage wink

Voici mes solutions, sans être convaincu qu'elles soient optimales (avec 2 et 3 feuilles).
A noter qu'avec 3 feuilles, je pense au feeling que c'est la meilleure représentation, mais j'ai du mal à calculer le rayon du disque hmm J'éditerai donc si j'avance.

http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-Recouvrement_D_Un_Disque.PNG


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #9 - 13-10-2010 19:00:10

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

recouvrelent d'un disque.

ah oui je me suis trompe dans le calcul, c'est donc [latex]\frac1{1+\sqrt2/2}[/latex]

 #10 - 13-10-2010 19:08:39

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Recouvrement d'un disque

ok pour ta "figure" big_smile McFlambi, et ton résultat pour deux feuilles.
LeSingeMalicieux, j'ai les mêmes figures. Les résultats sont corrects pour une et deux feuilles. Bon courage, alors. wink

 #11 - 14-10-2010 05:16:53

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

recouvrement d'un disquz.

alors je reprends pour le 3 feuilles avec un joli dessin et tout et tout...
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-figp2t_recouvredisque.pdf


On voit bien sur cette forme que je peux encore disons tirer la feuille d'en bas a gauche un petit peu. Alors apparaitront aux points B,D,F des petits trous, jusqu'a toucher le cercle. Donc je garde cette forme sauf que je dis que le cote des feuilles est en fait ici [latex]1+\varepsilon[/latex] et je vais chercher a enlever le petit morceau qui va bien.

Plus precisement, la droite qui passe par B et G coupe le cercle en un point dont l'abscisse sera 1, ce qui determinera [latex]\varepsilon[/latex].

j'ai donc les coordonnes des points :
[TeX]A=(0,0)[/TeX]
[TeX]B=(1+\varepsilon,0)[/TeX]
[TeX]C=((1+\varepsilon)(1+\frac{\sqrt{3}}2),\frac{1+\varepsilon}2)[/TeX]
[TeX]D=(\frac{(1+\varepsilon)(1+\sqrt3)}2,\frac{(1+\varepsilon)(1+\sqrt3)}2)[/TeX]
[TeX]E=(\frac{1+\varepsilon}2,(1+\varepsilon)(1+\frac{\sqrt{3}}2))[/TeX]
[TeX]F=(0,1+\varepsilon)[/TeX]
et celles du centre, en notant [latex]\phi = \frac{1+1/\sqrt3}2[/latex],
[TeX]G=\frac{x_A+x_C+x_E}3(1,1)=(1+\varepsilon)\frac{1+1/\sqrt3}{2}(1,1)=\phi(1+\varepsilon)(1,1)[/TeX]
Je cherche l'intersection H avec [latex]x_H=1[/latex] entre le cercle et (BG) :

D'abord H est sur BG, donc
[TeX]\mathbf{BG}\times\mathbf{BH}=0[/TeX]
soit
[TeX]0=(1+\varepsilon)\left(\begin{array}{c}\phi - 1\\ \phi\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-\varepsilon\\ y_H \end{array}\right)[/TeX]
donc
[TeX](\phi-1)y+\varepsilon\phi=0[/TeX]
Et puis H est sur le cercle de centre G de rayon [latex]r=(1+\varepsilon)\phi[/latex] donc
[TeX]r^2=\mathbf{GH}^2=(1+\varepsilon)^2\phi^2[/TeX]
soit
[TeX](1-r)^2+(y-r )^2=r^2[/TeX]
la premiere equation donne aussi
[TeX](\phi-1)y+\varepsilon\phi+\phi=\phi[/TeX]
soit
[TeX](\phi-1)y+r=\phi[/TeX]
en multipliant l'equation du cercle par [latex](\phi-1)^2[/latex], on a
[TeX](\phi-1)^2(1-r)^2+(\underbrace{y(\phi-1)}_{=\phi-r}-r(\phi-1))^2=r^2(\phi-1)^2[/TeX]
et on a plus qu'a trouver r en fonction de [latex]\phi[/latex] , ce qui donne
[TeX](\phi-1)^2(1-r)^2+\phi^2(1-r)^2=r^2(\phi-1)^2[/TeX]
soit
[TeX]((\phi-1)^2+\phi^2)(1-r)^2=r^2(\phi-1)^2[/TeX]
d'ou l'elimination du membre de droite
[TeX]((\phi-1)^2+\phi^2)(r^2-2r+1)=r^2(\phi-1)^2 [/TeX]
[TeX]\phi^2 r^2 -2 ((\phi-1)^2+\phi^2) r + ((\phi-1)^2+\phi^2) =0[/TeX]
et on resoud
[TeX]\Delta = 4((\phi-1)^2+\phi^2)^2-4\phi^2((\phi-1)^2+\phi^2)=4((\phi-1)^2+\phi^2)(\phi-1)^2[/TeX]
et
[latex]r=\frac{2((\phi-1)^2+\phi^2)\pm 2(\phi-1)\sqrt{(\phi-1)^2+\phi^2}}{2\phi^2}=\frac{((\phi-1)^2+\phi^2)\pm (\phi-1)\sqrt{(\phi-1)^2+\phi^2}}{\phi^2}[/latex]...

y a peut etre plus simple... et je sais toujours pas si j'ai bon...

 #12 - 14-10-2010 10:13:53

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

recouvrrment d'un disque.

ok McFlambi, c'est pas évident de te suivre! big_smile Ta figure n'est pas celle de la configuration optimale et tu arrives à trouver le bon résultat... yikes Cela dit, on peut voir les choses de façon beaucoup plus simple avec de la trigonométrie de base. Ton résultat peut se simplifier énormément!

 #13 - 14-10-2010 19:30:27

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1926
Lieu: UK

recouvrement s'un disque.

Initial constant: les feuilles doivent être disposées de manière symétrique

une feuille -> résultat immédiat r=0.5

deux feuilles -> symétrie à 180 degrés, chaque feuille contient un demi-cercle
la hauteur passant par le centre du cercle a une longueur égale au cote du rectangle c = 1. c est aussi la somme du rayon du cercle + la hauteur du triangle rectangle dont les deux petits cotes mesurent également r
[TeX]c=r(1+\frac{sqrt2}{2})[/TeX]
[TeX]r=c(2-sqrt2)=0.586[/TeX]
trois feuilles -> symétrie à 120deg de centre c/3 => r=0.667

quatre feuilles -> symétrie à 90deg => r=1 cool

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-inscribedcircle.png


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 14-10-2010 19:38:33

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

recoucrement d'un disque.

Franck, ta configuration à trois feuilles n'est pas optimale. Tu peux faire plus symétrique...
Bonne continuation. smile

 #15 - 15-10-2010 00:03:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Recouvrrement d'un disque.

J'ai trouvé un peu de temps pour les 3 feuilles , les calculs devront attendre smile

http://img98.imageshack.us/img98/4003/3carrs.jpg

Vasimolo

Edit : [latex]R=\frac{\sin45^\circ}{\sin120^\circ}.\cos15^{\circ}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}[/latex]

 #16 - 15-10-2010 17:15:36

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

eecouvrement d'un disque.

oui mais ma figure serre de base à trouver la réponse, c'est la figure opitmale divisée par [latex](1+\varepsilon)[/latex], où il faut séparer encore un peu les feuilles carrées et créer des petits trous à chaque angle de 30 degrés

 #17 - 15-10-2010 18:27:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Recouvrement d'unn disque.

Pour quatre plaques , 1 cm de rayon smile

http://img842.imageshack.us/img842/6392/4carrs.jpg

Vasimolo

 #18 - 16-10-2010 00:37:52

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

recouvrelent d'un disque.

Vasimolo, j'avais pas vu ta réponse pour trois feuilles...
Sur ta figure, les traits sont un peu épais... Ca cacherait pas des petits morceaux de disque par hasard... big_smilebig_smile C'est bien tenté en tout cas!

 #19 - 16-10-2010 11:05:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Recoouvrement d'un disque.

Pour trois disques en plus grand et avec des traits moins épais :

http://img42.imageshack.us/img42/5761/3carrs2.jpg

Vasimolo

 #20 - 16-10-2010 11:25:23

luthin
Professionnel de Prise2Tete
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Recouverment d'un disque.

Vasimolo, c'est mieux, mais tu peux encore optimiser la configuration d'un petit chouille.
Bonne continuation. smile

 #21 - 16-10-2010 13:35:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

recoivrement d'un disque.

J'ai l'image , le son viendra smile

http://img697.imageshack.us/img697/4820/3carrs3.jpg

Vasimolo

 #22 - 16-10-2010 13:56:31

luthin
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 124

recouvrement d'un disqie.

Vasimolo, tu as changé quelque chose sur ta figure? Elle n'est pas assez grande pour que je puisse voir si la configuration est optimale...

 #23 - 16-10-2010 17:36:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Recoouvrement d'un disque.

J'ai changé de point de vue mais je suis retombé sur la même figure mad

Une subtilité a du m'échapper smile

Vasimolo

 #24 - 16-10-2010 17:51:05

luthin
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 124

eRcouvrement d'un disque.

Vasimolo, On peut écarter encore les feuilles (d'un poil)...

 #25 - 16-10-2010 18:51:57

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1926
Lieu: UK

Recouvrement d'un disque

J'ai revu ma copie avec 3 feuilles.

le centre de symetrie ideal se trouve en fait sur la diagonale de la premiere feuille carre. avec une symetrie de 120deg, le coin en bas a droite passe en haut a gauche.

la relation des sinus donne
[TeX]\rm\frac{cote~vert}{sin(15)}=\frac{cote de feuille}{sin(120)} ~~\Longrightarrow~~ c_{vert}=\frac{sin(15)}{sin(120)}=\frac{sqrt3-1}{sqrt6}[/latex] merci Wolfram

Thales nous donne maintenant

[latex]\rm\frac{cote~vert}{diagonale}=\frac{cote de feuille-r}{cote de feuille}~~\Longrightarrow~~\frac{sqrt3-1}{2sqrt3}=1-r~~\Longrightarrow~~r=\frac{3+sqrt3}{6}\approx 0.789[/TeX]
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-3squares.png


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avec trois petits disques forain (1) — Jeux du cercle a remplire dans les fetes foraines (1) — Jeux couvrir un gros cercle avec 6 petits cercles (1) — Jeux fete foraine cercle 8 palet (1) — Couvrir un cercle avec 5 palets (1) — Comment recouvrir une surface ronde de papier (1) — Jeux disque recouvre disque (1) — Jeu foraine plaque ronde disques (1) — Jeu 6 palets fete foraine fabrication (1) — Jeux reflexion disque a couvrir par autre 6 disque (1) — Jeux cercle recouvrement (1) — Enigme recouvrir un cercle noir avec 6 palet a imprimer (1) — Fete foraine et les 6 palets (1) — Jeu disque cacher cercle fete foraine (1) — Recouvrir triangle avec disque fete foraine (1) — Jeu de 6 disques (1) — Couvrir un cercle avec 6 disques (1) — Comment remplir un cercle avec des disques (1) — Astuce recouvrir un cercle avec 5 petits cercles (1) — Jeux de fete foraine cercles superposes (1) — Jeux fete foraine dimension des palets (1) — Dimention jeux de palet fete foraine (1) — Recouvrir un disque avec des petits carres (1) — Jeu remplissage cercle forain (1) — Jeu de foire 6 palets (1) — Fete foraine jeu des 6 palets dimension (1) — Jeu recouvrir un rond (1) — 1 ron et 6 palette le jeux (1) — Jeu fete forain disque a couvrir (1) — Recouvrir 1 rond avec 6 rond (1) — Foir solution remplir le rond avec les six rond (1) — Jeux de cercle foraine triangle (1) — Jeu six palets (1) — Le jeu des 6 palet taille des crecle (1) — Comment gagner au jeu des 6 palets fete foraine (1) — Recouvrir grand rayon de carre (1) — Solution des 6 palets fetes foraine (1) — Jeu des 6 disque (1) — Resoudre jeux 6 palets fete foraine (1) — Jeux des rond fete foraine (1) — Remplir un cercle avec des disques (1) — Jeux forain disque a recouvrir (1) — Creer le jeu du palet foire (1) — Jeux qui faut recouvrie le rond a la fete foraine (1) — Jeu recouvrir un disque avec d autre disque (1) — Jeux a la foire du rond a cacher (1) — Quelle est la taille des palets a la fete foraine (1) — Comment reussir le jeux avec les cercles a la foire (1) — Foire rond vert couvrir par 6 disuqe (1) — Astuce jeu des 6 palets (1) — Enigme de disques (1) — 6 palets avec les vrai dimension (1) — Jeux forain 6 palet a imprimer (1) — Fete foraine astuce disque (1) — Recouvrir un disque avec 6 disques (1) — Jeu de roucouvrir rond verd (1) — Aire recouvrement disque (1) — Reussir jeu rempli rond forrain (1) — Cacher 1 grand cercle 6 petit (1) — Technique pour reussir les palets a recouvrir lors d une fete foraine (1) — Jeu casse tete faire un rond avec 6 disque solution (1) — Likk jeu des 6 palets (1) — Jeu des 6 palets forain (1) — Astuce jeu 6 rond cacher le gros rond (1) — La technique des palets fete foraine (1) — Astuce pour reussir le jeu du cercle des fetes foraines (1) — Jeu forain rond vert (1) — Jeux des 6 palets qui cache un cercle (1) — Recouvrement 6 disques surface (1) — Casse tete reponse 6 cercles recouvrent 1 cercle (1) — Jeux 6 palets dimension (1) — Gagner a l enigme des 6 palets (1) — Feuille divise 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