Comme j'aimerai une réponse je repost:

Petite idée:
Si c'est vrai on a:
soit p le pourcentage,
soit a et b quelconque appartenant à N tel que a<pb
on doit avoir n tel que:a+n=p(b+n)
j'obtiens (pb-a)/(1-p)=n
avec n  entier naturel!
votre avis?

Oui en fin de compte ça marche la solution de Gwen

Vasimolo

Ben d'après moi t'as bon.

post 3 c'est çà?

La solution de Nombrilist et Princeleroi montre qu'à partir d'une situation donnée avec [latex]\frac ab<p[/latex] , il existe une succession de piles donnant une moyenne exactement égale à [latex]p[/latex] . Comme on ne peut pas passer au-dessus de [latex]p[/latex] autrement qu'en sortant un pile , on va forcément passer par la case [latex]p[/latex] .

C'est donc tout à fait correct .

Il y a pas mal d'approches différentes pour ce petit problème qui a l'air de rien à priori

Vasimolo

J'ai une méthode pour trouver le rang à partir duquel la rapport est égal à 0.8, que j'ai maladroitement essayé de démontrer.

Prenons par exemple 17 et 1899. Quel est le nombre n tel que  [latex]\small \frac{17+k}{1889+k} = 4/5[/latex] ?
On a   [latex]\small \frac{17}{1889} = 0.008952... [/latex] inférieur à 4/5.
On écrit 17 sous la forme 4q+r, et 1899 celle la forme 5q'+r', divisions euclidienne...
[TeX]\small \frac{17}{1889} = \small \frac{4.4+1}{5.377+4}[/TeX]
On ajoute [latex] (4-1)4=12[/latex] au numérateur et au dénominateur. On a une fraction égale à
[TeX] \small \frac{4.7+1}{5.380+1}[/TeX]
On retire 1 (c'est comme si on n'avait ajouté que 11) :
[TeX] \small \frac{4.7}{5.380}[/TeX]
On ajoute [latex]20.(380-7)=20.373[/latex]

On a finalement  [latex] \small \frac{17+11+20*373}{1889+11+20*373}=\small \frac{7488}{9360}=0.8[/latex], le nombre k était donc 7471. J'ai utilisé le fait que [latex]4 \equiv -1 \pod{5}[/latex], mais on peut généraliser avec [latex]p \equiv -1 \pod{q}[/latex]

Tentative de démonstration : Spoiler : [Afficher le message] Soient p, q des nombres entiers naturels tels que [latex]\small \frac{p}{q}< 0.8[/latex]

La seule opération qu'on a pour faire augmenter la fraction est d'ajouter au numérateur et au dénominateur un même nombre.

On peut écrire p de la forme: [latex]p = 4k+ c[/latex] et 
[TeX]q = 5k' + d[/latex] avec

[latex]p \in[/latex] {[latex]0,1,2,3,4[/latex]}  et[latex] q \in [/latex]{[latex]0,1,2,3,4,5[/latex]} et les conditions[latex] k<k[/latex]' ou alors [latex] k=k' [/latex]et [latex]c<d[/TeX]
On a [latex]4 \equiv -1 \pod{5}[/latex]

Ainsi, pour trouver un entiers naturels n tel que [latex]\small \frac{p+n}{q+n}= 0.8[/latex]

On ajoute x fois 4 au numérateur et au dénominateur de sorte que [latex]\small \frac{p}{q} [/latex]s'écrive de la forme [latex]\small \frac{4(k+x)+c}{5(k'+x)+c
} [/latex] si [latex]c<d [/latex] ou [latex]\small \frac{4(k+x)+c}{5(k'-1+x)+c
} [/latex] dans le cas contraire, avec dans ce cas [latex]k+x <= k+x-1[/latex].


On retranche [latex]c[/latex] au numérateur et au dénominateur (on peut car [latex]c < 4[/latex], c'est comme si on n'avait fait qu'ajouter que [latex]4x-c[/latex]).

On se retrouve avec une fraction avec au numérateur un multiple de 4, au dénominateur un multiple de 5 et inférieure d'après les conditions à 4/5.
On a par exemple une fraction du type: [latex]\small \frac{4k}{5k'}< 0.8[/latex], k et k' entiers (pas les mêmes que la dernière fois).

Pour se retrouver avec[latex] k=k'[/latex]' et donc [latex]\small \frac{4k}{5k'}= 0.8[/latex] on peut ajouter 20 au numérateur et au dénominateur. Ainsi on aura une première fois :
[TeX]\small \frac{4k+20}{5k'+20}= \small \frac{4(k+5)}{5(k'+4)}[/TeX]
et après k'-k ajouts de 20 une fraction égale à [latex]\small \frac{4k+20(k'-k)}{5k'+20(k-k')}= \small \frac{4(k+5k'-5k)}{5(k'+4k'-4k)}=\small \frac{4(5k'-4k)}{5(5k'-4k)}=0.8[/latex].
Cette méthode est généralisable à tous les rappors p/q tels que [latex]p \equiv -1 \pod{q}[/latex], ainsi on aurait pu poser le problème avec 2/3, 9/10 etc...