Comme j'aimerai une réponse je repost:

Petite idée:
Si c'est vrai on a:
soit p le pourcentage,
soit a et b quelconque appartenant à N tel que a<pb
on doit avoir n tel que:a+n=p(b+n)
j'obtiens (pb-a)/(1-p)=n
avec n  entier naturel!
votre avis?

Oui en fin de compte ça marche la solution de Gwen

Vasimolo

Ben d'après moi t'as bon.

post 3 c'est çà?

La solution de Nombrilist et Princeleroi montre qu'à partir d'une situation donnée avec $\frac ab<p$ , il existe une succession de piles donnant une moyenne exactement égale à $p$ . Comme on ne peut pas passer au-dessus de $p$ autrement qu'en sortant un pile , on va forcément passer par la case $p$ .

C'est donc tout à fait correct .

Il y a pas mal d'approches différentes pour ce petit problème qui a l'air de rien à priori

Vasimolo

J'ai une méthode pour trouver le rang à partir duquel la rapport est égal à 0.8, que j'ai maladroitement essayé de démontrer.

Prenons par exemple 17 et 1899. Quel est le nombre n tel que  $\small \frac{17+k}{1889+k} = 4/5$ ?
On a   $\small \frac{17}{1889} = 0.008952...$ inférieur à 4/5.
On écrit 17 sous la forme 4q+r, et 1899 celle la forme 5q'+r', divisions euclidienne...
$$\small \frac{17}{1889} = \small \frac{4.4+1}{5.377+4}$$
On ajoute $(4-1)4=12$ au numérateur et au dénominateur. On a une fraction égale à
$$\small \frac{4.7+1}{5.380+1}$$
On retire 1 (c'est comme si on n'avait ajouté que 11) :
$$\small \frac{4.7}{5.380}$$
On ajoute $20.(380-7)=20.373$

On a finalement  $\small \frac{17+11+20*373}{1889+11+20*373}=\small \frac{7488}{9360}=0.8$, le nombre k était donc 7471. J'ai utilisé le fait que $4 \equiv -1 \pod{5}$, mais on peut généraliser avec $p \equiv -1 \pod{q}$

Tentative de démonstration : Spoiler : [Afficher le message] Soient p, q des nombres entiers naturels tels que $\small \frac{p}{q}< 0.8$

La seule opération qu'on a pour faire augmenter la fraction est d'ajouter au numérateur et au dénominateur un même nombre.

On peut écrire p de la forme: $p = 4k+ c$ et 
$$q = 5k' + d[/latex] avec [latex]p \in[/latex] {[latex]0,1,2,3,4[/latex]}  et[latex] q \in [/latex]{[latex]0,1,2,3,4,5[/latex]} et les conditions[latex] k<k[/latex]' ou alors [latex] k=k' [/latex]et [latex]c<d$$
On a $4 \equiv -1 \pod{5}$

Ainsi, pour trouver un entiers naturels n tel que $\small \frac{p+n}{q+n}= 0.8$

On ajoute x fois 4 au numérateur et au dénominateur de sorte que $\small \frac{p}{q}$s'écrive de la forme $\small \frac{4(k+x)+c}{5(k'+x)+c }$ si $c<d$ ou $\small \frac{4(k+x)+c}{5(k'-1+x)+c }$ dans le cas contraire, avec dans ce cas $k+x <= k+x-1$.


On retranche $c$ au numérateur et au dénominateur (on peut car $c < 4$, c'est comme si on n'avait fait qu'ajouter que $4x-c$).

On se retrouve avec une fraction avec au numérateur un multiple de 4, au dénominateur un multiple de 5 et inférieure d'après les conditions à 4/5.
On a par exemple une fraction du type: $\small \frac{4k}{5k'}< 0.8$, k et k' entiers (pas les mêmes que la dernière fois).

Pour se retrouver avec$k=k'$' et donc $\small \frac{4k}{5k'}= 0.8$ on peut ajouter 20 au numérateur et au dénominateur. Ainsi on aura une première fois :
$$\small \frac{4k+20}{5k'+20}= \small \frac{4(k+5)}{5(k'+4)}$$
et après k'-k ajouts de 20 une fraction égale à $\small \frac{4k+20(k'-k)}{5k'+20(k-k')}= \small \frac{4(k+5k'-5k)}{5(k'+4k'-4k)}=\small \frac{4(5k'-4k)}{5(5k'-4k)}=0.8$.
Cette méthode est généralisable à tous les rappors p/q tels que $p \equiv -1 \pod{q}$, ainsi on aurait pu poser le problème avec 2/3, 9/10 etc...