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 #1 - 28-05-2013 23:04:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

80% ni olus ni moins

Bonsoir à tous smile

Une petite énigme amusante qui vous plaira , j'espère .

Un passionné d'informatique a conçu un petit programme de pile ou face qui calcule le pourcentage d'apparition du côté pile pour un ensemble de lancers de pièce . Le calcul est effectué après chaque lancer .

Il a observé un phénomène curieux yikes

Chaque fois qu'il a réussi à remonter au-dessus de 80% , il est passé exactement par la case 80% . C'est une punition incontournable ?

Merci d'avance pour la participation smile

Vasimolo

PS : Remonter au-dessus de 80% signifie qu'on a dû passer en dessous à un moment ou à un autre .



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 #2 - 28-05-2013 23:28:15

Hibernatus34
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 31

80% nni plus ni moins

80% = 4/5

Pour dépasser ou égaler ce taux, on augmente le numérateur en même temps que le dénominateur.
n/d < 4/5
(n+1)/(d+1) >= 4/5

Après simplification au maximum, l'écart entre le dénominateur et le numérateur est de 1.

Donc oui, on est obligé de passer par 80% exactement.

(... et non, je ne sais pas le démontrer, les maths c'est pas ma tasse de thé)


zρ+zρ = θττ

 #3 - 29-05-2013 00:53:40

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

80% ni lus ni moins

Soit i et n deux entiers naturels quelconques tels que i/n<0.8

Si je ne me trompe pas, il faut démontrer qu'il existe un entier naturel k tel que (i+k)/(n+k) = 0.8

Autrement dit, k = 4n-i

Comme i<0.8n, on est bien sur qu'il existe un entier naturel k qui vérifie la relation.

 #4 - 29-05-2013 07:59:14

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

80% ni plus ni omins

On passera forcément par 80% vu qu'au moment où on passe cette barre, il y a plus de 4 fois plus de pile que de face. Donc, en passant par tous les entiers,  il y en avait exactement 4 fois plus au coup précédent.

De la même manière, pour tous les partages menant à des multiples entiers, on tombera sur 20% 25% 50% 75% ...

C'est plus évident avec à imaginer avec 50% : entre le moment où il y a moins de piles que de face et celui où il y en a plus, il y a forcément un moment où il y en a autant.

 #5 - 29-05-2013 09:33:05

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

8% ni plus ni moins

Avec n piles et m faces, on suppose qu'on démarre d'en dessous de 80%, soit n/(n+m)<80%, c'est à dire en simplifiant n<4m
si on peut passer au dessus de 80% avec un seul lancer de plus alors : (n+1)/(n+m+1)>80% alors en simplifiant n+1>4m

Puisque m est entier, 4m l'est aussi.
Et puisque n est entier, un nombre entier ne peut pas passer de moins d'un autre nombre entier à plus que lui en lui ajoutant seulement 1.

On est donc obligé de passer par 80%.

(On démontre de la même façon qu'on est obligé de passer par une proportion de 2/3 par exemple)

 #6 - 29-05-2013 18:02:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

80% ni plus bi moins

Beaucoup d'affirmations non justifiées smile

On a par exemple [latex]\frac{3}{17}<\frac{20}{100}<\frac{4}{18}[/latex]

On peut donc passer de moins de 20% à plus de 20% sans passer par 20% mad

Bien sur on peut remplacer 80% par d'autres fractions mais par n'importe laquelle quand même .

Pas de réponse complète pour le moment alors avis aux amateurs .

Vasimolo

 #7 - 29-05-2013 18:09:43

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

80% ni plus in moins

Tu chipotes encore toi lol

Si les piles sont inférieurs à 4 fois les faces et que j'en rajoute 1, ils ne peuvent pas devenir supérieurs car les deux sont des nombres entiers. Autre ment dit  : le nombre de pile coincide avec la suite des entiers et ne pourra que passer par exactement 4 fois les faces. Si un pile saute ce cap, ça veut dire que le nombre de pile saute un entier en un seul lancer : Il y a un lancer qui vaut double ?

PS Je ne raisonne pas en pourcentage mais en cardinal des ensembles

On peut effectivement passer au dessus des 20% (et donc descendre sous la barre des 80% ) sans y tomber exactement car cela implique 4 rang pour l'autre  (proche des 80%) mais pas l'inverse car on ajoute , on ne retire rien, ça ne marche que dans un sens.

 #8 - 29-05-2013 18:53:18

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

80% ni plus nni moins

Je ne comprends pas ce qui manque. Soit i et n deux entiers naturels quelconques tels que l'on soit en dessous de 0.8

i:nombre de piles
n:nombre de coups

Alors, à chaque pile, i et n incrémentent de 1 en même temps. Pour passer au dessus de 0.8, on a nécessairement à un moment donné k piles consécutifs. Par conséquent la proportion Pj suit à partir de ce moment la formule (i+j)/(n+j).

On sait qu'il existe toujours un entier k tel que (i+k)/(n+k) = 0.8 (avec les hypothèses déjà expliquées sur i et n). Il est unique car Pj est strictement croissante.

Comme Pj est croissante et que sa limite vaut 1, elle passe nécessairement par 0.8 et ce, exactement quand j=k

 #9 - 29-05-2013 19:18:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

80% ni plus ni mois

Supposons que l'on soit repassé au-dessus de 80% de piles au bout du q-ème lancer. On appelle p le nombre piles obtenus sur ces q lancers.

Alors [latex]\frac{p}{q}\geq 80[/latex]% c-à-d que [latex]\frac{p}{q}\geq \frac{4}{5}[/latex] c-à-d que [latex]5p \geq 4q[/latex]

Et [latex]\frac{p-1}{q-1} < 80[/latex]% c-à-d que [latex]\frac{p-1}{q-1} < \frac{4}{5}[/latex] c-à-d que [latex]5p-5 < 4q-4[/latex]

c-à-d que [latex]5p < 4q+1[/latex] c-à-d que [latex]5p \leq 4q[/latex]

On en conclut que [latex]5p = 4q[/latex] c-à-d que [latex]\frac{p}{q} = 80[/latex]%

On tombe donc pile sur 80% dès que l'on repasse au-dessus des 80%.

 #10 - 29-05-2013 19:21:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

80% ni pluus ni moins

Bien vu Titou smile

Après on peut essayer de généraliser .

Vasimolo

 #11 - 29-05-2013 19:42:19

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

80% ni pmus ni moins

Le résultat est valable pour toute proportion qui est du type [latex]\frac{k-1}{k}[/latex].

 #12 - 29-05-2013 21:31:58

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

80% ni plus ni moisn

Ma démo fonctionne pourtant pour 80% il me semble, non ? Et cette méthode fonctionne d'ailleurs pour plusieurs fractions > 50%...

Je reprends en essayant d'être plus clair et plus complet :

Sont sortis p piles et f faces.
Proportion de pile : p/(p+f)
si p/(p+f)<0.8 alors p<0.8p+0.8f => 0.2p<0.8f donc p<4f
hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 80% sans m'y arrêter, alors :
(p+1)/(p+f+1)>0.8 c'est à dire p+1>0.8p+0.8f+0.8 => 0.2p+0.2>0.8f donc p+1>4f

Finalement j'ai : p<4f<p+1, ce qui est impossible si p f est un nombre entier !

L'hypothèse de départ est fausse et je suis donc bien obligé de passer par 80%...

*******************************
Je pourrai faire la même démo pour 2/3 comme je le proposais :
Sont sortis p piles et f faces.
Proportion de pile : p/(p+f)
si p/(p+f)<2/3 alors 3p<2p+2f donc p<2f
hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 2/3 sans m'y arrêter, alors :
(p+1)/(p+f+1)>2/3 c'est à dire 3p+3>2p+2f+2 donc p+1>2f

Finalement j'ai : p<2f<p+1, ce qui est impossible si p f est un nombre entier !

*********************************

Pour 20% (1/5) ma méthode fonctionne toujours puisque qu'elle ne démontre pas quelque chose de faux :
Sont sortis p piles et f faces.
Proportion de pile : p/(p+f)
si p/(p+f)<1/5 alors 5p<p+f donc 4p<f
hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 1/5 sans m'y arrêter, alors :
(p+1)/(p+f+1)>1/5 c'est à dire 5p+5>p+f+1 donc 4(p+1)>f

Finalement j'ai : 4p<f<4(p+1), ce qui est tout à fait possible cette fois !

 #13 - 29-05-2013 23:26:52

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

80% ni olus ni moins

Je dirais même plus : les seules proportions qui offrent cette propriété sont celles qui peuvent s'écrire sous la forme [latex]\frac{k-1}{k}[/latex].

Je ne mets pas la démonstration, s'il y en a qui veulent chercher, c'est intéressant.

 #14 - 30-05-2013 07:44:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

80% ni plud ni moins

C'est plutôt bluffant si on ne pense pas au complémentaire. ça se produira pour tous les ratios a/(a+1) car le complémentaire vaut alors 1/(a+1).
Par exemple, Pile cesse de sortir, le total s'incrémente d'une unité à la fois, à un moment donné, le total de lancés atteindra un multiple des Piles, le ratio de Pile deviendra 1/n.
Je dois dire que ça m'a bien surpris au début...

 #15 - 30-05-2013 17:56:35

Hibernatus34
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 31

80% n plus ni moins

Bon, je vais essayer d'expliquer :
Si on a une fraction A/B, pour trouver un contre-exemple il faut trouver X et Y tels que :
X/Y < A/B < (X+1)/(Y+1)

Donc, comme tout est positif :
BX < AY
AY + A < BX + B

Et donc :
AY + A - B < BX < AY

Comme les inégalités sont strictes et comme les nombres sont entiers, ça signifie que B - A >= 2.

Ce n'est pas le cas avec B = 5 et A = 4.

Voilà, c'est la démo de ce que je disais plus haut, mais je ne sais pas si elle est mathématiquement correcte/suffisante, car je n'ai pas l'habitude.


zρ+zρ = θττ

 #16 - 31-05-2013 00:11:15

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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80% n iplus ni moins

J'ai bien aimé cette énigme. Ca change un peu.
Curieusement la réponse est oui.

Supposons que juste avant de franchir la limite des 80% l'on ait fait N tirages dont P piles. On a donc [latex]\dfrac{P}N<0,8[/latex] et [latex]\dfrac{P+1}{N+1} \ge 0,8[/latex].

On regarde maintenant [latex]\Delta(N)=\dfrac{P+1}{N+1}-\dfrac{P}N=\dfrac{N-P}{N(N+1)}[/latex].
Pour éviter de franchir d'un coup la limite de 80% (arrondis en pourcentage entier), il faut que [latex]\Delta(N) \le 0,005[/latex].
[TeX]\dfrac{P+1}{N+1} \ge 0,8 \Leftrightarrow P \ge 0,8(N+1)-1 \Leftrightarrow -P \le -0,8.N+0,2 [/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow N-P \le \dfrac2{10}(N+1) \Leftrightarrow \Delta(N) \le \dfrac{2(N+1)}{10N(N+1)}=\dfrac2{10N}[/TeX]
Donc si on choisit N tel que [latex]\dfrac2{10N}\le 0,005[/latex] alors on est sûr que l'on passe par 80% (arrondi au pourcentage entier).

Donc pour [latex]N \ge 40[/latex] on est sûr de passer par 80%.

Ceci dit, je dois louper un truc car ça n'arrive pas en dessous à cause de l'écart entre
E(0,8N)/N et 80%...

Edit: Je n'avais pas bien compris la question. Je n'avais pas compris qu'on demandait si on tombait exactement sur 80% mais qu'on ne pouvait pas le franchir d'un bond assez grand pour l'éviter, en valeur entière.

 #17 - 31-05-2013 00:35:30

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

80 ni plus ni moins

J'ai trouvé autre chose, beaucoup plus simple, beaucoup plus élégant.
On passe exactement par 80% en fait smile

En effet, on a [latex]\dfrac{P}N < 0,8 \le \dfrac{P+1}{N+1}[/latex].

On en tire: [latex]0,8N > P \ge 0,8(N+1)-1[/latex]

Soit [latex]0 > 5P-4N \ge -1[/latex].

Or P et N étant entiers on a [latex]5P-4N=-1[/latex] soit [latex]5P=4N-1[/latex].

Le tirage suivant: [latex]\dfrac{P+1}{N+1}=\dfrac{5P+5}{5(N+1)}=\dfrac{4N-1+5}{5(N+1)}=0,8[/latex].

CQFD. J'adore.

Edit: Cette démonstration montre que l'on à le même comportement pour toute probabilité de la forme [latex]\dfrac{k}{k+1}[/latex]: pour franchir vers le haut cette probabilité, on tombe d'abord exactement dessus.

 #18 - 31-05-2013 22:59:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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0% ni plus ni moins

Le résultat est valable pour toute fraction du type [latex]\frac{n}{n+1}[/latex] , 80% =4/5 était un leurre .

en effet [latex]\frac{m}{n}<\frac{a}{a+1}\leq\frac{m+1}{n+1}[/latex] entraîne que [latex]m(a+1)<na\leq m(a+1)+1[/latex] donc [latex]\frac{a}{a+1}=\frac{m+1}{n+1}[/latex] et c'est fini . Les mêmes inégalités fournissent facilement un contre-exemple quand la fraction n'est pas sous la forme voulue .

L'idée de l'énigme m'est venue en regardant un exercice de collège et je n'avais pas pensé à regarder ce qui se passe "à l'envers" pour les fractions du type 1/a . Peut-être quelques prolongements à suivre ...

Merci pour la participation et les nombreuses idées smile

Vasimolo

 #19 - 01-06-2013 00:21:13

titoufred
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80% ni pus ni moins

"Les mêmes inégalités fournissent facilement un contre-exemple quand la fraction n'est pas sous la forme voulue"

Tu peux préciser ?

 #20 - 01-06-2013 10:55:33

titoufred
Elite de Prise2Tete
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80% ni plus ni moiins

Mais pourquoi est-ce que tu imposes n=a+k ? Il n'y a aucune raison.

 #21 - 01-06-2013 10:58:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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80% ni plus ni monis

Ce n'est pas très difficile smile

Si la fraction à atteindre est [latex]\frac{a}{a+k}[/latex] on arrive à [latex]0<an-m(a+k)<k[/latex] . Ce qui est possible d'après Bézout si [latex]a[/latex] et [latex]a+k[/latex] sont premiers entre eux et [latex]k>1[/latex] .

Vasimolo

 #22 - 01-06-2013 11:11:28

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

80% ni puls ni moins

Petit cachottier, tu as supprimé ta démo foireuse ! lol

Effectivement, la réciproque nécessite Bézout. Ce qui n'est pas si simple que ça. Au niveau des connaissances à avoir, on passe d'un niveau collège pour le sens direct à un niveau TS-Spé pour la réciproque...

 #23 - 01-06-2013 11:17:14

nodgim
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80% bi plus ni moins

Je n'ai pas trop suivi cette histoire de réciproque, Titou peux tu y préciser cet autre problème ?

 #24 - 01-06-2013 11:23:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

80% ni plus bi moins

En fait cette dernière démonstration était ma première . J'ai voulu faire un raccourci un peu foireux comme tu dis , je l'ai corrigé en même temps que tu répondais .

En choisissant [latex]n=a+k[/latex] il n'existe aucun [latex]m[/latex] vérifiant la double inégalité on ne récupère donc pas un contre-exemple sad

Vasimolo

 #25 - 01-06-2013 11:29:23

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

80% ni plus ni moin

@Nodgim

On peut passer au dessus d'un rationnel donc l'écriture réduite n'est pas de la forme [latex]\frac{a}{a+1}[/latex] sans passer par lui .

Vasimolo

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