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#1 - 28-05-2013 23:04:53
- Vasimolo
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#2 - 28-05-2013 23:28:15
- Hibernatus34
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80% bi plus ni moins
80% = 4/5
Pour dépasser ou égaler ce taux, on augmente le numérateur en même temps que le dénominateur. n/d < 4/5 (n+1)/(d+1) >= 4/5
Après simplification au maximum, l'écart entre le dénominateur et le numérateur est de 1.
Donc oui, on est obligé de passer par 80% exactement.
(... et non, je ne sais pas le démontrer, les maths c'est pas ma tasse de thé)
zρ+zρ = θττ
#3 - 29-05-2013 00:53:40
- Nombrilist
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80% ni pus ni moins
Soit i et n deux entiers naturels quelconques tels que i/n<0.8
Si je ne me trompe pas, il faut démontrer qu'il existe un entier naturel k tel que (i+k)/(n+k) = 0.8
Autrement dit, k = 4n-i
Comme i<0.8n, on est bien sur qu'il existe un entier naturel k qui vérifie la relation.
#4 - 29-05-2013 07:59:14
- gwen27
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80% ni plus ni monis
On passera forcément par 80% vu qu'au moment où on passe cette barre, il y a plus de 4 fois plus de pile que de face. Donc, en passant par tous les entiers, il y en avait exactement 4 fois plus au coup précédent.
De la même manière, pour tous les partages menant à des multiples entiers, on tombera sur 20% 25% 50% 75% ...
C'est plus évident avec à imaginer avec 50% : entre le moment où il y a moins de piles que de face et celui où il y en a plus, il y a forcément un moment où il y en a autant.
#5 - 29-05-2013 09:33:05
- golgot59
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80% ni lus ni moins
Avec n piles et m faces, on suppose qu'on démarre d'en dessous de 80%, soit n/(n+m)<80%, c'est à dire en simplifiant n<4m si on peut passer au dessus de 80% avec un seul lancer de plus alors : (n+1)/(n+m+1)>80% alors en simplifiant n+1>4m
Puisque m est entier, 4m l'est aussi. Et puisque n est entier, un nombre entier ne peut pas passer de moins d'un autre nombre entier à plus que lui en lui ajoutant seulement 1.
On est donc obligé de passer par 80%.
(On démontre de la même façon qu'on est obligé de passer par une proportion de 2/3 par exemple)
#6 - 29-05-2013 18:02:46
- Vasimolo
- Le pâtissier
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80 ni plus ni moins
Beaucoup d'affirmations non justifiées
On a par exemple [latex]\frac{3}{17}<\frac{20}{100}<\frac{4}{18}[/latex]
On peut donc passer de moins de 20% à plus de 20% sans passer par 20%
Bien sur on peut remplacer 80% par d'autres fractions mais par n'importe laquelle quand même .
Pas de réponse complète pour le moment alors avis aux amateurs .
Vasimolo
#7 - 29-05-2013 18:09:43
- gwen27
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0% ni plus ni moins
Tu chipotes encore toi
Si les piles sont inférieurs à 4 fois les faces et que j'en rajoute 1, ils ne peuvent pas devenir supérieurs car les deux sont des nombres entiers. Autre ment dit : le nombre de pile coincide avec la suite des entiers et ne pourra que passer par exactement 4 fois les faces. Si un pile saute ce cap, ça veut dire que le nombre de pile saute un entier en un seul lancer : Il y a un lancer qui vaut double ?
PS Je ne raisonne pas en pourcentage mais en cardinal des ensembles
On peut effectivement passer au dessus des 20% (et donc descendre sous la barre des 80% ) sans y tomber exactement car cela implique 4 rang pour l'autre (proche des 80%) mais pas l'inverse car on ajoute , on ne retire rien, ça ne marche que dans un sens.
#8 - 29-05-2013 18:53:18
- Nombrilist
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80% ni plus nii moins
Je ne comprends pas ce qui manque. Soit i et n deux entiers naturels quelconques tels que l'on soit en dessous de 0.8
i:nombre de piles n:nombre de coups
Alors, à chaque pile, i et n incrémentent de 1 en même temps. Pour passer au dessus de 0.8, on a nécessairement à un moment donné k piles consécutifs. Par conséquent la proportion Pj suit à partir de ce moment la formule (i+j)/(n+j).
On sait qu'il existe toujours un entier k tel que (i+k)/(n+k) = 0.8 (avec les hypothèses déjà expliquées sur i et n). Il est unique car Pj est strictement croissante.
Comme Pj est croissante et que sa limite vaut 1, elle passe nécessairement par 0.8 et ce, exactement quand j=k
#9 - 29-05-2013 19:18:47
- titoufred
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80% i plus ni moins
Supposons que l'on soit repassé au-dessus de 80% de piles au bout du q-ème lancer. On appelle p le nombre piles obtenus sur ces q lancers.
Alors [latex]\frac{p}{q}\geq 80[/latex]% c-à-d que [latex]\frac{p}{q}\geq \frac{4}{5}[/latex] c-à-d que [latex]5p \geq 4q[/latex]
Et [latex]\frac{p-1}{q-1} < 80[/latex]% c-à-d que [latex]\frac{p-1}{q-1} < \frac{4}{5}[/latex] c-à-d que [latex]5p-5 < 4q-4[/latex] c-à-d que [latex]5p < 4q+1[/latex] c-à-d que [latex]5p \leq 4q[/latex]
On en conclut que [latex]5p = 4q[/latex] c-à-d que [latex]\frac{p}{q} = 80[/latex]%
On tombe donc pile sur 80% dès que l'on repasse au-dessus des 80%.
#10 - 29-05-2013 19:21:00
- Vasimolo
- Le pâtissier
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800% ni plus ni moins
Bien vu Titou
Après on peut essayer de généraliser .
Vasimolo
#11 - 29-05-2013 19:42:19
- titoufred
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80% ni plus nu moins
Le résultat est valable pour toute proportion qui est du type [latex]\frac{k-1}{k}[/latex].
#12 - 29-05-2013 21:31:58
- golgot59
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80% ni plus ni mins
Ma démo fonctionne pourtant pour 80% il me semble, non ? Et cette méthode fonctionne d'ailleurs pour plusieurs fractions > 50%...
Je reprends en essayant d'être plus clair et plus complet :
Sont sortis p piles et f faces. Proportion de pile : p/(p+f) si p/(p+f)<0.8 alors p<0.8p+0.8f => 0.2p<0.8f donc p<4f hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 80% sans m'y arrêter, alors : (p+1)/(p+f+1)>0.8 c'est à dire p+1>0.8p+0.8f+0.8 => 0.2p+0.2>0.8f donc p+1>4f
Finalement j'ai : p<4f<p+1, ce qui est impossible si p f est un nombre entier !
L'hypothèse de départ est fausse et je suis donc bien obligé de passer par 80%...
******************************* Je pourrai faire la même démo pour 2/3 comme je le proposais : Sont sortis p piles et f faces. Proportion de pile : p/(p+f) si p/(p+f)<2/3 alors 3p<2p+2f donc p<2f hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 2/3 sans m'y arrêter, alors : (p+1)/(p+f+1)>2/3 c'est à dire 3p+3>2p+2f+2 donc p+1>2f
Finalement j'ai : p<2f<p+1, ce qui est impossible si p f est un nombre entier !
*********************************
Pour 20% (1/5) ma méthode fonctionne toujours puisque qu'elle ne démontre pas quelque chose de faux : Sont sortis p piles et f faces. Proportion de pile : p/(p+f) si p/(p+f)<1/5 alors 5p<p+f donc 4p<f hypothèse : 1 pile sort et je franchi la barre de 1/5 sans m'y arrêter, alors : (p+1)/(p+f+1)>1/5 c'est à dire 5p+5>p+f+1 donc 4(p+1)>f
Finalement j'ai : 4p<f<4(p+1), ce qui est tout à fait possible cette fois !
#13 - 29-05-2013 23:26:52
- titoufred
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80% ni pus ni moins
Je dirais même plus : les seules proportions qui offrent cette propriété sont celles qui peuvent s'écrire sous la forme [latex]\frac{k-1}{k}[/latex].
Je ne mets pas la démonstration, s'il y en a qui veulent chercher, c'est intéressant.
#14 - 30-05-2013 07:44:38
- nodgim
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80% ni plus ni mois
C'est plutôt bluffant si on ne pense pas au complémentaire. ça se produira pour tous les ratios a/(a+1) car le complémentaire vaut alors 1/(a+1). Par exemple, Pile cesse de sortir, le total s'incrémente d'une unité à la fois, à un moment donné, le total de lancés atteindra un multiple des Piles, le ratio de Pile deviendra 1/n. Je dois dire que ça m'a bien surpris au début...
#15 - 30-05-2013 17:56:35
- Hibernatus34
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80% ni plis ni moins
Bon, je vais essayer d'expliquer : Si on a une fraction A/B, pour trouver un contre-exemple il faut trouver X et Y tels que : X/Y < A/B < (X+1)/(Y+1)
Donc, comme tout est positif : BX < AY AY + A < BX + B
Et donc : AY + A - B < BX < AY
Comme les inégalités sont strictes et comme les nombres sont entiers, ça signifie que B - A >= 2.
Ce n'est pas le cas avec B = 5 et A = 4.
Voilà, c'est la démo de ce que je disais plus haut, mais je ne sais pas si elle est mathématiquement correcte/suffisante, car je n'ai pas l'habitude.
zρ+zρ = θττ
#16 - 31-05-2013 00:11:15
- rivas
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80% ni plus ni mins
J'ai bien aimé cette énigme. Ca change un peu. Curieusement la réponse est oui.
Supposons que juste avant de franchir la limite des 80% l'on ait fait N tirages dont P piles. On a donc [latex]\dfrac{P}N<0,8[/latex] et [latex]\dfrac{P+1}{N+1} \ge 0,8[/latex].
On regarde maintenant [latex]\Delta(N)=\dfrac{P+1}{N+1}-\dfrac{P}N=\dfrac{N-P}{N(N+1)}[/latex]. Pour éviter de franchir d'un coup la limite de 80% (arrondis en pourcentage entier), il faut que [latex]\Delta(N) \le 0,005[/latex]. [TeX]\dfrac{P+1}{N+1} \ge 0,8 \Leftrightarrow P \ge 0,8(N+1)-1 \Leftrightarrow -P \le -0,8.N+0,2 [/TeX] [TeX]\Leftrightarrow N-P \le \dfrac2{10}(N+1) \Leftrightarrow \Delta(N) \le \dfrac{2(N+1)}{10N(N+1)}=\dfrac2{10N}[/TeX] Donc si on choisit N tel que [latex]\dfrac2{10N}\le 0,005[/latex] alors on est sûr que l'on passe par 80% (arrondi au pourcentage entier).
Donc pour [latex]N \ge 40[/latex] on est sûr de passer par 80%.
Ceci dit, je dois louper un truc car ça n'arrive pas en dessous à cause de l'écart entre E(0,8N)/N et 80%...
Edit: Je n'avais pas bien compris la question. Je n'avais pas compris qu'on demandait si on tombait exactement sur 80% mais qu'on ne pouvait pas le franchir d'un bond assez grand pour l'éviter, en valeur entière.
#17 - 31-05-2013 00:35:30
- rivas
- Elite de Prise2Tete
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- Lieu: Jacou
80% ni plus ni moisn
J'ai trouvé autre chose, beaucoup plus simple, beaucoup plus élégant. On passe exactement par 80% en fait
En effet, on a [latex]\dfrac{P}N < 0,8 \le \dfrac{P+1}{N+1}[/latex].
On en tire: [latex]0,8N > P \ge 0,8(N+1)-1[/latex]
Soit [latex]0 > 5P-4N \ge -1[/latex].
Or P et N étant entiers on a [latex]5P-4N=-1[/latex] soit [latex]5P=4N-1[/latex].
Le tirage suivant: [latex]\dfrac{P+1}{N+1}=\dfrac{5P+5}{5(N+1)}=\dfrac{4N-1+5}{5(N+1)}=0,8[/latex].
CQFD. J'adore.
Edit: Cette démonstration montre que l'on à le même comportement pour toute probabilité de la forme [latex]\dfrac{k}{k+1}[/latex]: pour franchir vers le haut cette probabilité, on tombe d'abord exactement dessus.
#18 - 31-05-2013 22:59:29
- Vasimolo
- Le pâtissier
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80% i plus ni moins
Le résultat est valable pour toute fraction du type [latex]\frac{n}{n+1}[/latex] , 80% =4/5 était un leurre .
en effet [latex]\frac{m}{n}<\frac{a}{a+1}\leq\frac{m+1}{n+1}[/latex] entraîne que [latex]m(a+1)<na\leq m(a+1)+1[/latex] donc [latex]\frac{a}{a+1}=\frac{m+1}{n+1}[/latex] et c'est fini . Les mêmes inégalités fournissent facilement un contre-exemple quand la fraction n'est pas sous la forme voulue .
L'idée de l'énigme m'est venue en regardant un exercice de collège et je n'avais pas pensé à regarder ce qui se passe "à l'envers" pour les fractions du type 1/a . Peut-être quelques prolongements à suivre ...
Merci pour la participation et les nombreuses idées
Vasimolo
#19 - 01-06-2013 00:21:13
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
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80% ni pkus ni moins
"Les mêmes inégalités fournissent facilement un contre-exemple quand la fraction n'est pas sous la forme voulue"
Tu peux préciser ?
#20 - 01-06-2013 10:55:33
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 20
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80% ni plus i moins
Mais pourquoi est-ce que tu imposes n=a+k ? Il n'y a aucune raison.
#21 - 01-06-2013 10:58:48
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
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80% ni pls ni moins
Ce n'est pas très difficile
Si la fraction à atteindre est [latex]\frac{a}{a+k}[/latex] on arrive à [latex]0<an-m(a+k)<k[/latex] . Ce qui est possible d'après Bézout si [latex]a[/latex] et [latex]a+k[/latex] sont premiers entre eux et [latex]k>1[/latex] .
Vasimolo
#22 - 01-06-2013 11:11:28
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 20
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80% ni plus ni mpins
Petit cachottier, tu as supprimé ta démo foireuse !
Effectivement, la réciproque nécessite Bézout. Ce qui n'est pas si simple que ça. Au niveau des connaissances à avoir, on passe d'un niveau collège pour le sens direct à un niveau TS-Spé pour la réciproque...
#23 - 01-06-2013 11:17:14
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
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80% ni pluss ni moins
Je n'ai pas trop suivi cette histoire de réciproque, Titou peux tu y préciser cet autre problème ?
#24 - 01-06-2013 11:23:49
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
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80% ni plus ni moind
En fait cette dernière démonstration était ma première . J'ai voulu faire un raccourci un peu foireux comme tu dis , je l'ai corrigé en même temps que tu répondais .
En choisissant [latex]n=a+k[/latex] il n'existe aucun [latex]m[/latex] vérifiant la double inégalité on ne récupère donc pas un contre-exemple
Vasimolo
#25 - 01-06-2013 11:29:23
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
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08% ni plus ni moins
@Nodgim
On peut passer au dessus d'un rationnel donc l'écriture réduite n'est pas de la forme [latex]\frac{a}{a+1}[/latex] sans passer par lui .
Vasimolo
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