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 #1 - 06-05-2011 19:07:20

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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puisqance 4

Un petit problème histoire de bien se détendre pour le WE big_smile

Question 1
Quels sont les quadruplets d'entiers impairs vérifiant ces conditions ?

(i) [latex]a < b < c < d \le 2011[/latex]

(ii) [latex]a + d[/latex] est une puissance de 4

(iii) [latex]b + c[/latex] est une puissance de 4

(iv) [latex]ad=bc[/latex]

La case réponse valide les quadruplets solutions sous cette forme :
a1-b1-c1-d1 pour une seule solution
a1-b1-c1-d1;a2-b2-c2-d2 pour deux solutions
etc.



Question 2
Quelle est la forme générale des quadruplets solutions ? Sous-entendu, s'ils ne sont pas majorés comme dans la question 1.

PS : je n'ai pas la démonstration mathématique de ce problème, j'ai juste obtenu les solutions par un petit programme informatique. Ce qui m'a permis de conjecturer une généralisation, mais sans preuve pour l'instant.
Je vais chercher en même temps que vous !



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 #2 - 06-05-2011 19:15:19

gwen27
Elite de Prise2Tete
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uPissance 4

Bon, il y a déjà :

1-31-33-1023 mais ça n'a pas l'air d'être le seul.

Alors on rajoute :

1 7 9 63

Pour la forme, je dirais : 1.....4^(k+1)/2 -1.....4^(k+1)/2 +1....4^(2k+1) -1  En tout cas, ça y ressemble.

Ca semble se vérifier pour
k=3 : 1 127 129 16383   
k=4 : 1 511 513 262143 ...

mais là on dépasse 2011 Je ne sais pas si c'était la question.

 #3 - 06-05-2011 20:32:17

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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puissanxe 4

On a la même conjecture, gwen !
Mais sont-ce les seuls ?

 #4 - 06-05-2011 20:36:06

gwen27
Elite de Prise2Tete
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puissancr 4

C'est la question 3 ?  Là ça dépasse mes capacités. Moi, je fonctionne à l'intuition.

Il est facile de prouver que ceux-là fonctionnent tous , mais que ce sont les seuls... c'est une autre paire de manches ! ( au passage j'ai modifié 2 erreurs dans mes formules)

 #5 - 06-05-2011 22:27:41

Kikuchi
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Puissace 4

Je (ou plutôt mon ordi... sad) ne trouve que deux solutions si le tout est majoré par 2011.
a=1,b=7,c=9,d=63
a=1,b=31,c=33,d=1023

J'ai hâte de voir la solution pour trouver la formule générale.

P.S:La case réponse valide 1-7-9-63;1-31-33-1023 mais ne valide ni 1-7-9-63 ni 1-31-33-1023.

Edit: Ok, je viens de comprendre.
SI il n'y a qu'une solution, elle valide la forme a1-b1-c1-d1
SI il y a deux solution, elle valide la forme a1-b1-c1-d1;a2-b2-c2-d2


There's no scientific consensus that life is important

 #6 - 07-05-2011 18:12:56

halloduda
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Puissaance 4

Q1
1-7-9-63
1-31-33-1023
Q2
1-127-129-16383
etc...
J'ai été coupé à la fin de la rédaction, je recommence mais je n'ai plus envie de détailler la démo.
Je sauve d'abord, je continuerai peut-être par modif.

Le résultat général est
[TeX]1,\,2*4^n-1,\,2*4^n+1,\,4^{2n+1}-1[/TeX]

 #7 - 07-05-2011 20:57:58

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
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Puisance 4

(Edit: J'avais oublié le détail qui dit qu'ils doivent être impair... sad )

I'm back pour la question 2.
Et sans mon ordi cette fois!cool

Tout d'abord, pour respecter (ii), réécrivons [latex]d[/latex] en [latex]4^n-a[/latex], [latex]n[/latex] entier.
Nous minorerons la valeur de [latex]n[/latex] plus tard. (spoiler:elle dépend de [latex]a[/latex])

On a alors [latex]a.d=4^na-a^2=(2^n\sqrt{a}-a)(2^n\sqrt{a}+a)=b.c[/latex]
Choisissons donc [latex]b=2^n\sqrt{a}-a \text{ et } c=2^n\sqrt{a}+a[/latex] pour respecter (iv)

Pour respecter (iii), il nous faut maintenant [latex]b+c[/latex], un multiple de 4. Autrement dit un entier [latex]k[/latex] avec
[TeX]b+c=2^{n+1}\sqrt{a}=4^k[/TeX]
Cela nous amène deux conditions: [latex]\left{
\begin{tabular}{l}
\bullet \; n \text{ impair}\\
\bullet \; \sqrt{a} \text{ multiple de 4}
\end{tabular}[/latex]


Maintenant, pour la minoration de [latex]n[/latex] et afin de respecter (i),
On veut d'un côté: [latex]a<b\Rightarrow a<2^n\sqrt{a}-a \Rightarrow 2a<2^n\sqrt{a} \Rightarrow 2\sqrt{a}<2^n[/latex]
De l'autre côté: [latex]c<d\Rightarrow 2^n\sqrt{a}+a<4^n-a \Rightarrow 2^n\sqrt{a}+2a<2^{2n} \Rightarrow 2^n\sqrt{a}<2^{2n} \Rightarrow \sqrt{a}<2^n[/latex]

On choisit la plus restrictive des deux, celle qui nous vient de [latex]a<b[/latex] pour obtenir au final:
[TeX]n>\log_2(\sqrt{a})+1[/latex] (qui sera un entier car il faut que [latex]\sqrt{a}[/latex] soit un multiple de 4)

Conclusion (Edit: Conclusion a peu près fausse car je suis quand même un gros boulet parfois roll )

Si l'on choisit:[latex]\left{
\begin{tabular}{l}
\bullet \; a \text{ avec }\sqrt{a} \text{ multiple de 4}\\
\bullet \; n \text{ impair avec } n>\log_2(\sqrt{a})+1
\end{tabular}[/TeX]
Alors les quadruplets [latex]\{a \;,\; 2^n\sqrt{a}-a \;,\; 2^n\sqrt{a}+a \;,\; 4^n-a \}[/latex] sont solutions du problème.

Un exemple (Edit: Exemple foiré car quand je suis un boulet, j'insiste et signe!lol)

Avec [latex]a=16[/latex] et donc [latex]\sqrt{a}=4[/latex], et [latex]n=5[/latex]

On a bien:
(i)  [latex]16<2^5\times 4-16<2^5\times 4-16<4^5-16 \Rightarrow 16<112<144<1008[/latex]
(ii)  [latex]a+d=1024=4^5[/latex]
(iii) [latex]b+c=256=4^4[/latex]
(iv) [latex]\left{
\begin{tabular}{l}
a.d=16128\\
b.c=16128
\end{tabular}[/latex]

Voilà pour une forme générale.
Pour l'unicité, là, c'est bien au-delà de mes capacités. tongue

Edit:Du coup, la seule valeur de a pour que ça marche, c'est 1 avec [latex]\sqrt{1}=4^0[/latex]

Re-Conclusion

Si l'on choisit:[latex]\left{
\begin{tabular}{l}
\bullet \; a=1\\
\bullet \; n \text{ impair avec } n>1 \text{ donc } n\ge 3
\end{tabular}[/latex]

Alors les quadruplets [latex]\{1 \;,\; 2^n-1 \;,\; 2^n+1 \;,\; 4^n-1 \}[/latex] sont solutions du problème.


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 #8 - 07-05-2011 21:10:36

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Puissancce 4

Oui Kikuchi pour ces solutions ! Avec une belle demo pour les trouver. Tu oeux effacer ta partie paire maintenant :-)
Pour l'unicité, il faudrait trouver d'autres manières de décomposer ton produit bc, c'est la difficulté !
Et je n'ai tjs pas cette demo, j'attends avec impatience celle promise par halloduda big_smile

 #9 - 09-05-2011 16:40:02

rivas
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Puisssance 4

Je conjecture que les quadruplets sont de la forme [latex](1, 2.4^p-1, 2.4^p+1, 4^{2p+1}-1)[/latex]
Ce qui donne pour p=1: (1, 7, 9, 63) et pour p=2: (1, 31, 33, 1023).

Je cherche la démonstration. J'aimerais montrer que forcément a=1 mais ça n'a pas l'air simple.
Ni d'ailleurs le rapport entre les 2 puissances de 4 en jeu. Je ne vois pas bien comment utiliser ad=bc...
Je cherche.

 #10 - 09-05-2011 16:49:15

L00ping007
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Puissance 44

Oui rivas, ne reste que la démo, on cherche tous smile
Je suis d'accord avec toi sur le a, j'essaie par là aussi hmm

 #11 - 09-05-2011 17:15:34

rivas
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Puisssance 4

Piste de recherche:

On pose: [latex]a+d=4^p et b+c=4^q[/latex]
On peut supposer sans restreindre que: [latex]p\ge q[/latex].
On a conjecturé que dans ce cas, p=2q-1.

ad=bc s'écrit [latex]a(4^p-a)=b(4^q-b) \Leftrightarrow b^2-4^qb+4^pa-a^2=0[/latex], équation de degré 2 en b.
Son discriminant vaut: [latex]\Delta=4^{2q}-4(4^pa-a^2)=4(4^{2q-1}-4^pa+a^2)[/latex].

On cherche p, q et a pour que ce discriminant soit un carré.
On voit que p=2q-1 et a=1 conviennent ce qui nous donne [latex]\Delta=4[/latex] et les valeurs de b et c: [latex]b,c=\dfrac{4^q\pm2}2=2.4^{q-1}\pm1[/latex], a vaut 1 et d vaut [latex]4^p-1[/latex], ce qui nous donne bien les solutions que nous avons conjecturé.

Je cherche donc maintenant à montrer que c'est la seule façon d'avoir un carré pour le discriminant. Je n'ai rien pour le moment. Comment caractériser que  [latex]4^{2q-1}-4^pa+a^2[/latex] est un carré? J'ai essayé avec les triplets de pythagore ([latex](x^2-y^2, 2xy, x^2+y^2)[/latex]) mais on arrive à un autre discriminant identique pour lequel il faut qu'il soit un carré. J'ai regardé les congruences, les facteurs premiers, mais sans succès. J'ai considéré cette expression égale à un carré comme un équation en a du second degré mais on retombe évidemment sur un discriminant similaire (en maths comme en physique rien ne se crée, rien ne se pert, tout se transforme, le but est que la transformation soit plus simple smile).
Je pense qu'on doit pouvoir y arriver mais avec de l'artillerie plus lourde (fonctions elliptiques, ...) mais ça devient plus dur...

 #12 - 13-05-2011 01:37:02

L00ping007
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puossance 4

Toujours pas de démo ? smile

 #13 - 13-05-2011 12:06:39

scarta
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Pussance 4

Je dirais que la forme générale est la suivante: pour tout p >0
[TeX]a=1[/TeX]
[TeX]b=2^{2p+1}-1[/TeX]
[TeX]c=2^{2p+1}+1[/TeX]
[TeX]d=4^{2p+1}-1[/TeX]
Pour vérifier ça, c'est facile
a<b car p>0
b<c car c=b+2
c<d car p>0

a+d est une puissance de 4
b+c aussi : 4^(p+1)

bc = (2^(2p+1))^2 -1^2 = 4^(2p+1) - 1 = ad

Par contre, montrer que toute solution ressemble à ça, c'est plus ardu, j'y réfléchirai.

 #14 - 13-05-2011 16:17:20

scarta
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Puissacne 4

Je vais formuler ce résultat différemment :
pour tout p > 1,
a = 1
b = (4^p)/2 -1
c = (4^p)/2 +1
d = 4^(2p-1) -1

Démonstration

Soit b, c et p tels que b+c = 4^p
Si p=0, alors b et c n'ont pas la même parité
Si p=1, alors b=1, c=3 et du coup a = 1 = b
Si p > 1, alors il existe q tel que
b = (b+c)/2 -q et c = (b+c)/2 + q

du coup, b*c = 4^(2p-1) - q^2.

Soient a, d et m tels que a*d = 4^(2p-1) - q^2 et a+d = 4^m

Cas 1. m >= 2p-1
Dans ce cas, le produit est inférieur à la somme, alors a+d > a*d
Donc a < d/(d-1) et donc a = 1, d = 4^(2p-1)-q^2
a+d >= 4^(2p-1) donc q = 1 et on retombe sur notre résultat de base

Cas 2. m < 2p-1
Dans ce cas, q^2 = 4^(2p-1)-4^m = 4^m (4^(2p-1-m)-1)
La question est donc de savoir quand est-ce que 4^(2p-1-m)-1 est un carré.
Comme 4 est un carré, une puissance de 4 est un carré. Comme on ne peut pas avoir 2 carrés consécutifs et strictement positifs, alors 4^(2p-1-m)-1 n'est jamais un carré.

Conclusion : Les solutions sont de la forme {(1;(4^p)/2-1;(4^p)/2+1;4^(2p-1) -1) avec p > 1}

 #15 - 13-05-2011 16:27:37

Kikuchi
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Puuissance 4

Au début, je pensais à une démonstration par l'absurde pour prouver l'unicité mais je vois vraiment pas par quel bout le prendre.

Là je réfléchis à :
Écrivons [latex]b+c=4^k=2^{2k}=2\times 2^{2k-1}[/latex]
Alors l'ensemble des nombres [latex]b[/latex] et [latex]c[/latex] est l'ensemble des nombres qui s'écrivent:
[TeX]b=2^{2k-1}-i[/latex] et [latex]c=2^{2k-1}+i[/latex] avec [latex]i[/latex] , impair [latex]\in \{1;2^{2k-1}-3\}[/TeX]
([latex]-3[/latex] car on doit avoir [latex]b>1[/latex])

Toujours en écrivant [latex]d=4^n-a[/latex] et avec [latex]a.d=b.c[/latex], j'arrive à:
[TeX]i= \sqrt{a^2-4^n a+4^{2k-1}}[/TeX]
Maintenant, reste à prouver que la seule valeur possible de [latex]i[/latex] est 1.

Pour le moment, c'est pas beau à voir et j'ai peur de m'être lançé sur une mauvaise voie mais je pense que je peux toucher au but si je paufine un peu tout ça, en particulier en cherchant une relation entre [latex]k[/latex] et [latex]n[/latex].

J'ai malheureusement pas eu le temps de m'y remettre dernièrement.

La suite au prochain épisode tongue

Edit: J'ai enlevé le "demi" devant la racine, c'était moche et ça plombe le calcul.


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 #16 - 13-05-2011 21:03:56

Yanyan
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Puissane 4

ad=bc entraîne qu'il existe k>1 tel que  k(a b)=(c d) d'où
[TeX]a=\frac{4^n-k4^m}{1-k^2}[/TeX][TeX]b=\frac{4^m-k4^n}{1-k^2}[/TeX]
où [latex]a+d=4^n \ b+c=4^m[/latex]

on observe alors que n>m.

J'imagine qu'une caractérisation complète demande plus d 'arithmétique...
[TeX]k\geq 4^{n-m}[/TeX]
mais k n'est surement pas un entier!


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #17 - 13-05-2011 21:16:28

L00ping007
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puisqance 4

Il y a effectivement un peu plus de travail à faire, mais tu as une idée intéressante que je vais essayer de développer.

En effet, le fait que ad=bc signifie que le déterminant des 2 vecteurs (a,b) et (c,d) est nul, et donc que les vecteurs sont colinéaires !
Il existe donc k tel que c=ka et d=kb.

Merci pour cette idée, peut-être que ça peut aboutir à quelque chose smile

Il s'agit maintenant de démontrer que les seules valeurs pour k sont de la forme [latex]2^{2n+1}+1[/latex], n>1

 #18 - 13-05-2011 21:49:48

Kikuchi
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Puissancee 4

L00ping007 a écrit:

Il s'agit maintenant de démontrer que les seules valeurs pour k sont de la forme
[TeX]2^{2n+1}-1[/latex], n>1

Si c=k.a, ce sera plutôt [latex]k=2^{2n+1}+1[/TeX]


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 #19 - 13-05-2011 21:53:51

L00ping007
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puissanve 4

Kikuchi a écrit:

Si c=k.a, ce sera plutôt [latex]k=2^{2n+1}+1[/latex]

Exact, j'ai corrigé.

 #20 - 13-05-2011 23:10:20

gwen27
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piissance 4

Je n'ai pas de demo à offrir, mais je pense que raisonner en additionnant et multipliant en base 2 pourrait être une bonne solution.

 #21 - 14-05-2011 10:04:06

Yanyan
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Puissance 44

Pour compléter ma réponse :
k est entier en effet [latex]k=\frac{r}{s} \ s<r \ pgcd(s,r)=1 \Rightarrow s|pgcd(a,b) \ a+kb=4^n \Rightarrow s| pgcd(a,b)|4^n \Rightarrow s=2^{\alpha}|rb \Rightarrow s|b \Rightarrow \alpha=0. [/latex]


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 #22 - 14-05-2011 14:13:24

dhrm77
L'exilé
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PPuissance 4

J'ai 4 solutions jusqu'a 2011:
a=1 b=7 c=9 d=63.
a=1 b=31 c=33 d=1023.
a=4 b=28 c=36 d=252.
a=16 b=112 c=144 d=1008.

et si on pousse un peu plus loin en brute-force:

a=1 b=7 c=9 d=63.
a=1 b=31 c=33 d=1023.
a=1 b=127 c=129 d=16383.
a=1 b=511 c=513 d=262143.
a=1 b=2047 c=2049 d=4194303.
a=1 b=8191 c=8193 d=67108863.
a=1 b=32767 c=32769 d=1073741823.
a=1 b=131071 c=131073 d=17179869183.
a=1 b=524287 c=524289 d=274877906943.
a=1 b=2097151 c=2097153 d=4398046511103.
a=1 b=8388607 c=8388609 d=70368744177663.
a=1 b=33554431 c=33554433 d=1125899906842623.
a=1 b=134217727 c=134217729 d=18014398509481983.
a=4 b=28 c=36 d=252.
a=4 b=124 c=132 d=4092.
a=4 b=508 c=516 d=65532.
a=4 b=2044 c=2052 d=1048572.
a=4 b=8188 c=8196 d=16777212.
a=4 b=32764 c=32772 d=268435452.
a=4 b=131068 c=131076 d=4294967292.
a=4 b=524284 c=524292 d=68719476732.
a=4 b=2097148 c=2097156 d=1099511627772.
a=4 b=8388604 c=8388612 d=17592186044412.
a=4 b=33554428 c=33554436 d=281474976710652.
a=4 b=134217724 c=134217732 d=4503599627370492.
a=16 b=112 c=144 d=1008.
a=16 b=496 c=528 d=16368.
a=16 b=2032 c=2064 d=262128.
a=16 b=8176 c=8208 d=4194288.
a=16 b=32752 c=32784 d=67108848.
a=16 b=131056 c=131088 d=1073741808.
a=16 b=524272 c=524304 d=17179869168.
a=16 b=2097136 c=2097168 d=274877906928.
a=16 b=8388592 c=8388624 d=4398046511088.
a=16 b=33554416 c=33554448 d=70368744177648.
a=16 b=134217712 c=134217744 d=1125899906842608.
a=64 b=448 c=576 d=4032.
a=64 b=1984 c=2112 d=65472.
a=64 b=8128 c=8256 d=1048512.
a=64 b=32704 c=32832 d=16777152.
a=64 b=131008 c=131136 d=268435392.
a=64 b=524224 c=524352 d=4294967232.
a=64 b=2097088 c=2097216 d=68719476672.
a=64 b=8388544 c=8388672 d=1099511627712.
a=64 b=33554368 c=33554496 d=17592186044352.
a=64 b=134217664 c=134217792 d=281474976710592.
a=256 b=1792 c=2304 d=16128.
a=256 b=7936 c=8448 d=261888.
a=256 b=32512 c=33024 d=4194048.
a=256 b=130816 c=131328 d=67108608.
a=256 b=524032 c=524544 d=1073741568.
a=256 b=2096896 c=2097408 d=17179868928.
a=256 b=8388352 c=8388864 d=274877906688.
a=256 b=33554176 c=33554688 d=4398046510848.
a=256 b=134217472 c=134217984 d=70368744177408.
a=1024 b=7168 c=9216 d=64512.
a=1024 b=31744 c=33792 d=1047552.
a=1024 b=130048 c=132096 d=16776192.
a=1024 b=523264 c=525312 d=268434432.
a=1024 b=2096128 c=2098176 d=4294966272.
a=1024 b=8387584 c=8389632 d=68719475712.
a=1024 b=33553408 c=33555456 d=1099511626752.
a=1024 b=134216704 c=134218752 d=17592186043392.
a=4096 b=28672 c=36864 d=258048.
a=4096 b=126976 c=135168 d=4190208.
a=4096 b=520192 c=528384 d=67104768.
a=4096 b=2093056 c=2101248 d=1073737728.
a=4096 b=8384512 c=8392704 d=17179865088.
a=4096 b=33550336 c=33558528 d=274877902848.
a=4096 b=134213632 c=134221824 d=4398046507008.
a=16384 b=114688 c=147456 d=1032192.
a=16384 b=507904 c=540672 d=16760832.
a=16384 b=2080768 c=2113536 d=268419072.
a=16384 b=8372224 c=8404992 d=4294950912.
a=16384 b=33538048 c=33570816 d=68719460352.
a=16384 b=134201344 c=134234112 d=1099511611392.
a=65536 b=458752 c=589824 d=4128768.
a=65536 b=2031616 c=2162688 d=67043328.
a=65536 b=8323072 c=8454144 d=1073676288.
a=65536 b=33488896 c=33619968 d=17179803648.
a=65536 b=134152192 c=134283264 d=274877841408.
a=262144 b=1835008 c=2359296 d=16515072.
a=262144 b=8126464 c=8650752 d=268173312.
a=262144 b=33292288 c=33816576 d=4294705152.
a=262144 b=133955584 c=134479872 d=68719214592.
a=1048576 b=7340032 c=9437184 d=66060288.
a=1048576 b=32505856 c=34603008 d=1072693248.
a=1048576 b=133169152 c=135266304 d=17178820608.
a=4194304 b=29360128 c=37748736 d=264241152.
a=4194304 b=130023424 c=138412032 d=4290772992.
a=16777216 b=117440512 c=150994944 d=1056964608.
etc...

On a donc une serie ou:
a est une puissance de 4
x est 8*a *(une puissance de 4)
b est x-a
c est x+a
d est (x*x)/a -a


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #23 - 14-05-2011 22:50:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puissannce 4

Ecrivons [latex]k^2-1=2^lp[/latex] avec p impair. On ne peut avoir a la fois [latex]k=1[p][/latex] et [latex]k=-1[p][/latex]
Supposons [latex]k=1[p][/latex] alors [latex]k-1=tp[/latex] d'où [latex](k+1)tp=2^lp \ k+1=2^u \ k^2-1=2^{u+1}(2^{u-1}-1) \ p=2^{u-1}-1[/latex]
Maintenant [latex]4^{m-n}=1[p][/latex] et dans le plus petit cas  [latex]m-n=u-1[/latex] mais [latex]k>4^{m-n} \ 2^{u}-1>4^{u-1}[/latex] ce qui est faux

([latex](2^{u-1}-1)^2 \geq 0[/latex] ) donc [latex]k=-1[p][/latex] pour les mêmes raisons [latex]k-1=2^u[/latex]


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #24 - 15-05-2011 07:52:49

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puissancee 4

Pour finir:
k est impair donc [latex]k-4^{n-m}[/latex] aussi d'où [latex]2^{u+1}=4^m \ u=2m-1 \ k=2^{2m-1}+1[/latex]
En ajoutant a et b on arrive à [latex]n=2m-1[/latex] et [latex]a=1[/latex].


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #25 - 15-05-2011 19:55:15

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

uissance 4

La forme générale à trouver était la suivante :
[TeX]a=1
b=2^{2n+1}-1
c=2^{2n+1}+1
d=4^{2n+1}-1[/TeX]
On a bien alors
(i) [latex]a < b < c < d[/latex]

(ii) [latex]a + d = 4^{2n+1}[/latex] puissance de 4

(iii) [latex]b + c = 4^{n+1}[/latex] puissance de 4

(iv) [latex]ad=bc=4^{2n+1}-1[/latex]

Ce qui donne les quadruplets suivants :
1 7 9 63
1 31 33 1023
1 127 129 16383
etc.

Pour montrer que ce sont les seules solutions, je vous invite à lire ce qu'a écrit Yanyan, a priori je pense que c'est correct, pas simple, mais efficace ! A moins qu'un chipoteur vienne prouver le contraire big_smile

@dhrm : j'avais pas vu ton post, mais l'énoncé précisait que les nombres étaient impairs hmm

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