On note $a$ la côté du carré initial.
Son aire est $a^2$ et l'aire du cercle circonscrit est $\frac{\pi}{2}a^2$ .
Le quotient du second par le 1er est donc $\frac{\pi}{2}$
Donc si l'on découpe le morceau de papier en petits carrés, alors ça marche !
Mais ça ne prouve pas encore que cette condition soit nécessaire...

Considérons un rectangle de côtés $a,b$.
Alors son aire est $ab$ et l'aire du cercle circonscrit est $\pi\frac{a^2+b^2}{4}$
Le quotient du second par le 1er est donc
$$\pi\frac{a^2+b^2}{4ab}\geq \frac{\pi}{2}$$
avec égalité si et seulement si $a=b$ .

Par suite dès qu'il y a dans le découpage un rectangle qui ne soit pas un carré, alors la somme des aires des cercles circonscrits aux morceaux du découpage est strictement supérieure à $\frac{\pi}{2}a^2$ .

La réciproque est immédiate car l'aire du disque circonscrit à un rectangle est proportionnelle à L²+l² qui est toujours supérieur ou égal à 2Ll avec égalité si et seulement si le rectangle est carré .

Vasimolo

@nodgim :
Pour la première étape c'est ça


Et après tu découpes ton carré des rectangles dans lesquels tu icirconscris un cercle à chaque fois et la somme des aires des cercles circonsscrits autour petits rectangles est égale à l'aire de départ si ceux-ci sont des carrés

@Ash00 sauf ton respect Jacques est aussi un prénom de femme..

Merci shadock j'ai pigé maintenant. Je croyais qu'on mesurait dans chaque rectangle les parts du cercle circonscrit du départ.. Comme c'est bête.

Il y a égalité si a=b il suffit de l'écrire...

Si a=b alors : $\pi \frac{a^2+b^2}{4ab}=\pi \frac{a^2+a^2}{4a*a}=\pi \frac{2a^2}{4a^2}=\pi\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}$... c'est compliqué?