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 #1 - 02-05-2011 17:05:56

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Mirco poker II

Salut p2tiens et p2tiennes!
Voici une variation sur le thème de mon micro poker de la dernière fois, disponible ici:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8691
(Si vous n'avez pas fait le premier vous ne trouverez a priori pas d'intérêt direct à cette variation et ca sera assez difficile)

RAPPEL:

Règles de "mon" micro poker:
-C'est un duel, il n'y a que deux joueurs.
-On va les appeler respectivement l'ouvreur et le suiveur. (chacun garde définitivement son rôle)
-Il n'y a que 3 types de cartes: numérotées 1, 2, ou 3. (plus grande = plus forte).
Une manche:
-On distribue au hasard une carte à chaque joueur, un joueur ne voit que sa propre carte, on considère que tout est équiprobable dans la distribution et rien ne s'oppose à ce que les joueurs aient le même type de carte.
-L'ouvreur est le premier à parler il a le choix entre:
    * Se coucher: la manche s'arrête, perdue pour lui, il donne 1 euro à l'autre.
    * Ouvrir: la manche continue, le suiveur a maintenant la parole.
-Le suiveur lorsqu'il a la parole a le choix entre:
    * Se coucher: la manche s'arrête, perdue pour lui, il donne 2 euros à l'autre.
    * Suivre pour voir: On dévoile les carte, celui qui a la plus faible donne 5 euros
       à l'autre. En cas d'égalité il ne se passe rien.
-La partie débute avec 20 euros pour chaque joueur.
-La partie se termine lorsqu'un des deux est plumé, évidemment c'est le perdant.


La partie en gras est nouvelle.

Le problème est assez compliqué et demande (de mon point de vu) un petit programme pour être résolu, c'est pourquoi je ne demande pas la solution mais pose simplement quelques questions:

1)Voyez vous en quoi ce probleme est diffèrent du premier ?

2)Comment procèderiez vous pour obtenir la solution ? (je ne demande pas le programme mais juste la méthodologie dans les grandes lignes)

Indice 1:
Spoiler : [Afficher le message] Tenter de trouver quand et pourquoi un joueur aurait intérêt à ne plus jouer ici comme dans la solution optimale de micro poker I. Puis généraliser.

Et comme je suis curieux je tenterais d'obtenir la solution exacte avec mathématica! ->>> maintenant chose faite voir plus bas

Bonne chance.

He be! quel fiasco!.

Solution:
Spoiler : [Afficher le message]
Je reformulerais plus en détail bientôt:

1) La différence est que maintenant on ne cherche plus à maximiser ses gains sur une manche mais à maximiser sa probabilité de gagner la partie (quelque soit le temps que ca prend). On le voit clairement pour des positions proches du KO pour un des deux joueurs, il est évidemment que lorsqu'il ne reste que 2 euros au suiveur par exemple il va suivre 100% du temps.

2) Dans micro poker I on avait exprimé le gain en fonction des fréquences d'ouverture/suivi des deux joueurs par rapport à leur carte, ici on peut simplement exprimer la probabilité que l'ouvreur gagne. Cette expression fera intervenir la probabilité de gagner à d'autres positions de jeux (une position de jeu étant déterminée par les tas de chacun), par exemple la probabilité de gagner pour l'ouvreur lorsque chacun à 20 fait intervenir la probabilité de gagner lorsqu'il à 25 et l'autre 15. Comme pour le gain l'ouvreur va chercher à maximiser ceci et le suiveur à le minimiser. On voit cependant que c'est un calcul relativement circulaire faisant intervenir une 40aines de positions de jeu, ma méthode pour obtenir une solution numérique consiste à initialiser arbitrairement les probabilité de gagner de chaque position puis à les recalculer un grand nombre de fois jusqu'à obtenir une convergence suffisamment bonne.

Mathematica permet d'obtenir les résultats numériques sans trop d'effort de programmation: ->>> maintenant chose faite voir plus bas



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#0 Pub

 #2 - 02-05-2011 17:38:10

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Micro pokr II

J'imagine que la différence vient du fait que même avec une espérance de gain positive, un joueur peut perdre s'il enchaîne une mauvaise série, du fait du capital de départ limité.

Par contre je ne vois pas encore trop comment aborder le problème hmm A suivre !

 #3 - 02-05-2011 19:09:58

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Micro poke rII

Indice 1:
Spoiler : [Afficher le message] Tenter de trouver quand et pourquoi un joueur aurait intérêt à ne plus jouer ici comme dans la solution optimale de micro poker I. Puis généraliser.

 #4 - 10-05-2011 09:01:53

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

micri poker ii

Solution:
Spoiler : [Afficher le message]
Je reformulerais plus en détail bientôt:

1) La différence est que maintenant on ne cherche plus à maximiser ses gains sur une manche mais à maximiser sa probabilité de gagner la partie (quelque soit le temps que ca prend). On le voit clairement pour des positions proches du KO pour un des deux joueurs, il est évidemment que lorsqu'il ne reste que 2 euros au suiveur par exemple il va suivre 100% du temps.

2) Dans micro poker I on avait exprimé le gain en fonction des fréquences d'ouverture/suivi des deux joueurs par rapport à leur carte, ici on peut simplement exprimer la probabilité que l'ouvreur gagne. Cette expression fera intervenir la probabilité de gagner à d'autres positions de jeux (une position de jeu étant déterminée par les tas de chacun), par exemple la probabilité de gagner pour l'ouvreur lorsque chacun à 20 fait intervenir la probabilité de gagner lorsqu'il à 25 et l'autre 15. Comme pour le gain l'ouvreur va chercher à maximiser ceci et le suiveur à le minimiser. On voit cependant que c'est un calcul relativement circulaire faisant intervenir une 40aines de positions de jeu, ma méthode pour obtenir une solution numérique consiste à initialiser arbitrairement les probabilité de gagner de chaque position puis à les recalculer un grand nombre de fois jusqu'à obtenir une convergence suffisamment bonne.

Mathematica permet d'obtenir les résultats numériques sans trop d'effort de programmation: comming soon.

 #5 - 04-06-2011 14:26:10

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

micro poker ui

Solution numérique! comme promis. (voir "solution" juste au dessus avant ce qui est ici c'est du bonus pas initialement demandé bien sur ^^)
Grâce à quelques lignes dans mathématica 7.0 smile

Spoiler : [Afficher le message] Donc on a 39 positions du jeu, de celle ou l'ouvreur a 1euro en poche et le suiveur 39 au contraire.
Attention les valeurs suivantes ont été obtenu par itération et son donc des approximations numériques.

i)Il n'y a pas de comportement stable de la probabilité de gagner de l'ouvreur autour de 20/20, ce que je veux dire par la c'est qu'on pourrait s'attendre à ce que les première manches n'aient pas trop d'impact et que la probabilité de gagner chute subitement lorsqu'on arrive proche d'une position dominée. Mais ce n'est pas le cas ça varie de manière presque linéaire. (grossomodo la probabilité de gagner la partie pour l'ouvreur suit une courbe du genre x/40 ou x est ce qu'il a en poche)

ii)Lorsque l'ouvreur a 1euro en poche et le suiveur 39, l'ouvreur a encore légèrement moins qu'une chance sur 10 de gagner la partie.
Lorsque c'est le contraire le suiveur a encore légèrement moins d'une chance sur 20 de gagner la partie. (On se rend compte de l'avantage d’être ouvreur voir micro poker 1)

iii)Stratégies gagnantes en fonction de la position de jeu:
On notera o1 o2 o3 s1 s2 s3 les probabilités/fréquences que les joueurs doivent suivre lorsqu'ils ouvrent/suivent respectivement en voyant dans leur main un 1 un 2 ou un 3.
Dans la suite on ne parlera que de o1 o2 s1 s2 car trivialement o3=s3=1.
Comme on pourrait s'y attendre autour de la position de départ 20/20 la stratégie à adopter est la même que dans micro poker 1. C'est à dire:

20/20:
PGO=0.561835,
{o1 -> 0.127988, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.25761}

Ça se lit "lorsque chacun à 20 euros en poche alors la probabilité de gagner de l'ouvreur est de 56% il doit ouvrir lorsqu'il a un 1 dans 12% des cas et ouvrir systématiquement lorsqu'il a un 2. Le suiveur ne doit jamais suivre avec 1 et doit suivre lorsqu'il a un 2 dans 25% des cas)

Avec la même présentation je donne les résultats pour d'autres positions pertinente de la partie:

1/39:
PGO=0.0867494,
{o1 -> 1., o2 -> 1.}  //logique s'il n'ouvre pas il perd sans condition
{s1 -> 0., s2 -> 1.}

2/38:
PGO=0.112047,
{o1 -> 0.260645, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.32851}

3/37:
PGO=0.131828,
{o1 -> 0.22538, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.116341}

4/36:
PGO=0.155698,
{o1 -> 0.108823, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.132426}

5/35:
PGO=0.17845,
{o1 -> 0.0612091, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.0532191}

6/34:
PGO=0.211763,
{o1 -> 0.132125, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.459178}

RQ:On remarque un comportement non monotone et très variable dans ces positions de jeux je pense que ceci vient du fait que si on va jusqu’à la découverte des carte la manche gagne la partie directement. Sauf justement en 6/34 la ou le comportement change brutalement.

17/23 et 18/22 semblent être les positions les plus équitables pour ce jeu (en terme de probabilité de gagner)

20/20:déjà vu.

34/6:
PGO=0.864093,
{o1 -> 0.0949497, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.268418}

35/5:
PGO=0.883538,
{o1 -> 0.297699, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.230539}

36/4:
PGO=0.904201,
{o1 -> 0.117005, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.283704}

37/3:
PGO=0.921087,
{o1 -> 0.0394747, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.198327}

38/2:
PGO=0.943854,
{o1 -> 0., o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 1.}//Valeur aberrante  devrait être 1.

NB: en fait non ça ne "devrait" pas être 1 c'est juste un cas dégénéré ou ça ne change rien. Car si l'ouvreur joue bien en fait qq soit la fréquence de suivi à 1 ça revient a une manche perdue. Généralement se demander comment jouer pour minimiser ce qu'on perd si l'autre joue au mieux contre notre stratégie suffit à en élire une seule bonne, ici c'est un cas dégénéré n'importe quelle valeur de s1 donne pareil, on pourrait se poser des questions au second ordre du genre quitte à ce que ça ne change rien comment jouer si l'autre ne jouait pas parfaitement.... (ce que le programme ne fait pas, pour lui c'est kifkif). Je pense que seul 38/2 39/1 souffre de cette dégénérescence.

39/1:
PGO=0.95789,
{o1 -> 0., o2 -> 0.}
{s1 -> 1., s2 -> 0.772549} //Valeur aberrante  devrait être 1.

J'ai choisi de laisser la valeur aberrante pour ne pas tricher et bien rappeler que c'est une approximation numérique par itération. Cependant je ne m'explique pas trop pourquoi le programme converge si mal pour la position 39/1 et je continue de croire que les autres valeurs sont très fiables et pas uniquement qualitativement(même si le comportement global est en lui même déjà intéressant).

Pour toute question précise message perso.

 

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