Je trouve k=49 pour la série 9, 16, 25, 441, 784, 1225. Donc U3 vaut au minimum 25.

La case-réponse valide 7 au lieu de 49 par contre.

Je ne sais pas pour la question complémentaire mais pour que l'énoncé soit correcte, il faut que (k+1)*(U1+U2+U3) soit un carré avec k, U1, U2, U3 des carrés. Après je pense que comme U3 doit être inférieur à 30², les différents k ne sont pas infinis. Si cette condition ne s'applique pas à la question complémentaire, je n'ai pas de réponse.

Voilà

salut.

pour simplifier l'écriture sous latex je vais poser:
$$U_1 = a^2  ,  U_2 = b^2  , U_3 = c^2$$
Alors: $n^2 = (k+1).(a^2 + b^2 + c^2) = 25\times{(a+b+c)^2}$

ce qui donne : l'égalité suivante : $\frac{k-24}{50} = \frac{ab + bc + ac}{a^2 + b^2 + c^2}$ .  (1)

on peut vérifier que k  peut prendre  3 valeurs  : 64 , 49 & 36   .

j'ai trouvé pour $k=36$
$$3^2 + 4^2 + 30^2 =925$$ $$ab + bc + ac = 30\times{3} + 30\times{4} + 3\times{4}= 222$$
alors en reportant les résultats dans l'équation (1) , on obtient:
$$\frac{36-24}{50} = \frac{12 + 120 + 90}{3^2 + 4^2 + 30^2}= \frac{6}{25} = 0.24$$
Il est possible qu'il puisse exister d'autre solutions pour le rapport 6/25 (k=36)
et de même pour les rapports 4/5 (k=64) &  1/2 (k=49) mais je n'ai pas encore trouvé. je vais continuer à chercher .

                                                    à plus.

n.b.  j'ai poursuivi ma recherche et trouvé avec k=49 , a=1 , b=4  & c=9

cela donne $\frac{49 - 24}{50} = \frac{4 + 36 + 9}{1 + 16 +81}= \frac{49}{98}= \frac12$ .