Enigmes

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 #1 - 07-01-2017 17:57:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Vous avez la suite, mais pas lee début....

Bonsoir à tous.

Soit la suite définie par :
u 0 = a, a entier.
u ( n + 1 ) = u n + s ( n ), avec s ( n ) qui est la somme des chiffres de u n .

Je vous donne dans l'ordre la suite s(0) s(1) s(2)...à vous de retrouver u 0.

1ere suite, u o est un nombre à 2 chiffres.
7 ; 5 ; 10 ; 11 ; 13 ; 8 ; 16 ; 14 ; 10 ; 11 ; 4. 

2ème suite, u 0 est un nombre à 3 chiffres.
13 ; 8 ; 16 ; 14 ; 19 ; 11 ; 13 ; 8 ; 7 ; 14 ; 10 ; 11 ; 13 ; 8.

Comme il s'agit d'une énigme totalement nouvelle pour moi, je n'ai pas la possibilité de vérifier la difficulté. Quelqu'un pourrait-il proposer une 3ème suite à partir d'un nombre à 3 chiffres (somme de chiffres non multiple de 3) inconnu ? Donner les 15 premiers " s ", je verrai si c'est suffisant. Que je puisse également participer à la prise de tête.

Merci d'avance et bon amusement.



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 #2 - 07-01-2017 21:10:13

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 465

Vos avez la suite, mais pas le début....

Bonsoir,

J'obtiens u0 = 25 pour la première, et u0 = 148 pour la  seconde.

Voici 2 autres suites de s pour que tu puisses jouer aussi

Code:

[1, 2, 4, 8, 7, 5, 10, 11, 13, 8, 16, 14, 19, 11, 13]
[13, 17, 16, 14, 10, 11, 13, 8, 16, 14, 19, 20, 13, 8, 16]

 #3 - 07-01-2017 23:47:28

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Vous avez a suite, mais pas le début....

Bonjour,

Désolé, j'ai écris au fur et à mesure que je complétais ma pensée, c'est donc un peu décousu...

cherchons d'abord u1
notons le ab
on sait que a + b = 7
u2
s(ab + 7) = 5
plusieurs cas possibles:
a + b + 7 = 5 <==> a + b = -2 (pas possible)
a + 1 + b - 3 = 5<==> a + b = 7 oui
de plus, b est supérieur à 3, a est inférieur à 8
1 + a - 9 + b - 3 = 5 <==> a + b = 16 non
u3
s(ab + 12) = 10 (12 = 7+5)
là encore, plusieurs cas de figures:
a + 1 + b + 2 = 10 <==> a + b = 7 oui
b inférieur à 7, a est inférieur à 8
a + 1 + 1 + b - 8 = 10 <==> a + b = 16 non
1 + a - 9 + b + 2 = 10 <==> a + b = 16 non
1 + a - 8 + b - 8 = 10 <==> a + b = 25 non

u3
s(ab + 22) = 11
a + 2 + b + 2 = 11 <==> a + b = 7
b <= 7, a <= 7

u4
s(ab + 33) = 13
a +  3 + b + 3 = 13 <==> a + b = 7
a <= 6, b <= 6

u5
s(ab + 46) = 8
la valeur de la somme diminue, forcément les unités ou les dizaines de remplies, ce qui limite le nombre de cas à étudier.
a + 5 + b - 4 = 8 <==> a + b = 7 oui
a <= 4, b>=4
Sur la liste de nombres possibles, il ne reste plus que 16, 25 et 34...
On voit que l'on peut fortifier la contrainte sur a et b en utilisant a + b = 7
pour l'instant, 1 <= a <= 4 et 4 <= b <= 6
or a <= 7 - b <= 7 - 4 = 3
L'unicité de la solution est équivalente à l'unicité de a et b suivant ces contraintes. En effet, on remarque facilement qu'après utilisation de la contrainte a + b = 7, les valeurs possibles pour a et b sont de même nombre et que l'on peut associer chacune de ses valeurs 2 à 2
(Ici, a peut prendre 1, 2 ou 3 et b peut prendre 4, 5 ou 6, ce qui donne les couples (1,6), (2,5) et (3,4), et les nombre 16 25 et 32.)
Il est ensuite facile de vérifier que chacun de ces nombres vérifie la suite (par construction)

A partir des 5 premières, on ne peut donc pas effectuer plus de déductions.
Le but va être de trouver directement les valeurs qui vont nous donner les plus grosses contraintes sur a et b.
Etablissons le tableau des cumuls et des somme de digits:
0    7
7    5
12    10
22    11
33    13
46    8
54    16
70    14
84    10   
94    11
105    4

On va sélectionner les valeurs de s(un) extrêmes, pour établir les plus grandes contraintes possibles, ici, 4 et 16
(Des valeurs grandes dans les premières valeurs ou petite dans les dernière valeurs pourront aussi avoir beaucoup de poids, même sans être les extrêmes, mais je n'ai pas encore trouvé d'indicateurs permettant de faire le choix le plus efficace)
s(ab + 54 = 16)
a + 5 + b + 4 = 16 <==> a + b = 7
a <= 5
b <= 6 on apprend rien

s(ab + 105 = 4)
1 + a + b + 5 = 4 <==> a + b = -2
1 + a + 1 + b - 5 = 4 <==>  a + b = 7
a <= 8 et b >= 5 donc a <= 2
On passe de 3 à 2 solutions possibles, 16 et 25...

abandonnons un moment la recherche de u1 et revenons à u0:
la seule valeur donnant 16 est 8 non
25 donne 17 qui est la solution.

Bon, c'était assez laborieux, on verra demain pour la deuxième...

Edit: Evidemment, c'est qu'après tout ça que je m'aperçois que la la valeur possible pour a + b ne varie qu'à 9 près. On devrais donc pouvoir peut être trouver une bonne méthode pour trouver les termes qui donnent le plus d'informations...

 #4 - 08-01-2017 09:52:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Vous avz la suite, mais pas le début....

Merci bien Enigmatus. Tu m'as proposé 100 et 346, si je ne m'abuse.
Sinon, tu as bien trouvé les solutions, bravo à toi.

Cependant, c'est par une méthode analytique manuelle que j'aimerais voir la solution. De la pure logique, quoi. Ce n'est pas forcément simple.

@ Caduk: je regarde en détail ton analyse, qui est plutôt poussée.....

 #5 - 08-01-2017 09:59:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
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vois avez la suite, mais pas le début....

@ Caduk : en fait, il faudrait synthétiser tout ça, de manière à réduire les recherches. Il y a 1 ou 2 principes à voir pour faire une analyse correcte. Une fois qu'on a compris, le travail devient plus facile, mais n'est pas terminé pour autant.

Ce n'est pas simple du tout.

 #6 - 08-01-2017 16:14:13

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 141

Vous avez la suite, maais pas le début....

Bon ...jour
      ...après-midi
      ...fin de we

Juste la proposition des réponses

u0 = 25 pour la première
u0 = 148 pour la seconde

?

pour l'analyse, je m'emploie à dissoudre le problème
mais n'ai pas encore trouvé l'acide suffisamment fort


Du fagot des Nombreux

 #7 - 08-01-2017 18:19:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Vous vez la suite, mais pas le début....

C'est tout bon Aunryz, bravo à toi !
Je ne doute que, par une méthode ou une autre, informatique ou pas, on arrive au résultat. Maintenant, il s'agit de trouver la méthode manuelle la plus élégante possible.

 #8 - 08-01-2017 19:39:44

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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vous avez la suite, mais pzs le début....

Je trouve respectivement: 25 et 148 (à 'aide d'un tableur).
Essaie: 15; 21; 15; 12; 15; 12; 15; 21; 24; 12; 15; 21; 15; 21; 15

 #9 - 08-01-2017 20:22:00

gilles355
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Vous avez la suite, mais pas le ébut....

Salut donc les solutions à l'aide d'excel sont 25 et 148.

J'ai remarqué qu'une somme d'un nombre est un résultat ou le même résultat +9.

Je vais chercher un nombre à 3 chiffres et je reviens.

Je reviens donc avec un nombre à trois chiffres.

En fait on peut jouer à ce jeu indéfiniment.

Voici donc mes s(n) :

16 - 14 - 19 - 20 - 13 - 17 - 16 - 14 - 19 - 20 - 13 - 17 - 16 - 14 - 19 - 20 - 4

 #10 - 09-01-2017 13:05:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Vous avz la suite, mais pas le début....

@ Francky & Gilles : c'est la bonne réponse, bravo !

Comme pour les réponses antérieures, il s'agit maintenant, si possible, de mettre plus de logique et moins de tatônnement. Le tableur réalise des essais systématiques, si on devait le faire à la main, ce serait un peu long !

L'analyse permet de déduire directement la bonne solution. Comme ça a été dit fort justement, chaque nombre origine est un cas particulier, et il n'y a pas de recette miracle, mais juste peut être à se servir de bons outils. 

NB :
La 1ère suite est décryptable avec les 9 premiers termes.

NB :
Ne vous découragez pas, j'ai mis du temps à trouver, et je cherche encore des améliorations possibles. J'ajouterais du temps éventuellement.

 #11 - 09-01-2017 18:13:06

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Vous avez la siute, mais pas le début....

nodgim #10 a écrit:

La 1ère suite est décryptable avec les 9 premiers termes.

Je trouve que 8 termes suffisent pour avoir une solution unique à 2 chiffres.

 #12 - 09-01-2017 19:18:18

gwen27
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vous avez la suite, mais pas le fébut....

Je pense qu'il faut raisonner en terme de retenues.

Première suite, du premier terme au s(n)max

U(0) somme à 7

U(6) somme à 16 et u(6) = u(0) + 54 (somme à 9 )
Il n'y a donc pas de retenue dans la somme U(0) +54

U(0) < 46 ce qui laisse 16 25 34 et 43 pour lesquels
16 et 43 n'ont pas le bon u(6) u(7) ne laisse que 25

Pour la seconde suite : U(4) = U(0) + 51 donc dizaine et unité inférieures ou égales à à 4 et 8

Par contre, en rajoutant 13, on a une retenue (8<13) et elle n'est pas sur les dizaines, donc...

Les unités sont donc 7 ou 8 ... cela ne laisse déjà plus que 157 148 247 238 337 328 427 418 517 508 ou 607

Il suffit de calculer les 5 premiers termes et il ne reste plus que 148 247 238 et 337 en lice. Ca se règle vite à la main : on cherche 148

 #13 - 09-01-2017 19:51:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
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vous avez la suiye, mais pas le début....

@ Enigmatus: sans doute, je n'ai pas cherché l'optimisation.

@ Gwen : Je savais que tu allais répondre.
Bon équilibre entre tri par analyse de quelques points particuliers et finition par une série d'essais, c'est très efficace !
Pour la suite 2, à un moment tu dis que tu ajoutes 13 à u4, n'est ce plutôt 19 ?

 #14 - 09-01-2017 20:03:43

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Vous avez l suite, mais pas le début....

Non, je parle par rapport à u(0) première addition et une retenue. La conclusion est donc sur U(0)

On rajoute 13 à U(0) , la somme des chiffres baissant , il y a une retenue.
Le chiffre des dizaines ne pouvant être 9 (voir point précédent) , celui des unités est 7, 8 ou 9 mais cela ne peut pas être 9 (voir avant)

Au fait, la première suite est décryptable avec 8 termes.

Dans l'idée, on s'en tire avec la somme cumulée des S(n)  quand S(n) diminue par rapport au premier terme : retenue, sinon, pas de retenue.

1ere suite, u o est un nombre à 2 chiffres.
7 ; 5 ; 10 ; 11 ; 13 ; 8 ; 16 ; 14 ; 10 ; 11 ; 4. 

Somme = 7 12 22 33 46 54 70 84 94 105 109
avec (retenue ou pas) : R P P P R P R R P R


2ème suite, u 0 est un nombre à 3 chiffres.
13 ; 8 ; 16 ; 14 ; 19 ; 11 ; 13 ; 8 ; 7 ; 14 ; 10 ; 11 ; 13 ; 8.

Somme = 13 21 37 51 70 81 94 102 109 123 133 144 157 165
avec (retenue ou pas) : R P R P R P R R P R P P R

 #15 - 09-01-2017 21:41:53

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
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vius avez la suite, mais pas le début....

En reprenant ton premier exemple, j'ai trouvé une autre activité.

Quel est le nombre entre 16, 25, 34, 43, 52, 61 et 70 qui en appliquant ta règle, va le plus loin jusqu'à retrouver un même terme qu'une autre suite.

Voici le début :

16    23    28    38    49    62    70                                                   
25    32    37    47    58    71    79    95    109                                           
34    41    46    56    67    80    88    104    109    119    130    134    142    149    163 ..   
43    50    55    65    76    89    106    113    118    128    139    152    160    167    181 ..   
52    59    73    83    94    107    115    122    127    137    148    161    169    185    199 ..   
61    68    82    92    103                                                             
70    77    91    101    103   

En continuant on remarque que c'est 52 qui va le plus loin avec 88 termes allant jusqu'a 620.

 #16 - 10-01-2017 08:05:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
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vous avez la suite, mais pas le débit....

@ Gilles: pour ne rien te cacher, c'est par ce biais là que j'ai démarré cette étude. On peut en dire pas mal de choses, mais ça se prête assez mal à l'établissement de règles. On peut par exemple chercher les "nombres premiers" de ces suites (ceux qui n'ont pas d'antécédent ). On peut aussi chercher où se trouvent les regroupements de suites. Mais je n'y ai pas trouvé vraiment de matière à énigme intéressante. Cela dit, tu peux proposer quelque chose.

Si ça te branche: quel est le plus petit nombre qui a 3 antécédents distincts ?

 #17 - 10-01-2017 15:08:14

Sydre
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Vous avez la suite, mais pass le début....

En partant des observations suivantes :

- [latex]S[/latex] est [latex]9[/latex]-periodique, [latex]99[/latex]-periodique, [latex]999[/latex]-periodique ... par intervalle.
- On a un incrément de [latex]1[/latex] sur les images de [latex]S[/latex] entre deux périodes consécutives de même type.

On peut établir une stratégie simpliste :

On cherche la période [latex]p[/latex] de [latex]S[/latex] qui à [latex]U_0[/latex] associe [latex]S(U_0)=S_0[/latex].

On montre que [latex]U_n[/latex] est associé à [latex]S_n[/latex] via la période [latex]p+\frac{S_0+\sum_{k=0}^{n-1}S_k-S_n}{9}[/latex] de [latex]S[/latex].

La méthode consiste alors à calculer, pour chaque [latex]S_n[/latex] donné, la période associée puis à écrire les inéquations que cela implique à cause de l'incrément inter-période.

Exemple pour la première suite proposée :

[latex]S_0=7[/latex] est atteint via la période [latex]p[/latex] de [latex]S \Rightarrow 0 \leq p \leq 7[/latex].

[latex]S_1=5[/latex] est atteint via la période [latex]p+1[/latex] de [latex]S \Rightarrow -1 \leq p \leq 4[/latex].

[latex]S_2=10[/latex] est atteint via la période [latex]p+1[/latex] de [latex]S \Rightarrow 0 \leq p \leq 8[/latex].

[latex]S_3=11[/latex] est atteint via la période [latex]p+2[/latex] de [latex]S \Rightarrow 0 \leq p \leq 7[/latex].

[latex]S_4=13[/latex] est atteint via la période [latex]p+3[/latex] de [latex]S \Rightarrow 1 \leq p \leq 6[/latex].

[latex]S_5=8[/latex] est atteint via la période [latex]p+4[/latex] de [latex]S \Rightarrow -4 \leq p \leq 4[/latex].

[latex]S_6=16[/latex] est atteint via la période [latex]p+5[/latex] de [latex]S \Rightarrow 2 \leq p \leq 4[/latex].

[latex]S_7=14[/latex] est atteint via la période [latex]p+7[/latex] de [latex]S \Rightarrow -2 \leq p \leq 2[/latex].

Conclusion : [latex]p=2[/latex] et [latex]7-2=5[/latex] donc [latex]U_0=25[/latex].

 #18 - 10-01-2017 18:06:19

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Vous avez la siute, mais pas le début....

Pour affiner un peu :

Suite 1 : partant d'un nombre dont la somme des chiffres est 7,
Pour S(9) on lui a rajouté 70 (somme = 7) , la nouvelle somme étant de 14, il n'y a pas eu de retenue au cours de cette addition.
donc le chiffre des dizaines est inférieur à 3. ( 16 ou 25 )

Pour S(6) on lui a rajouté 54, avec un raisonnement similaire, le chiffre des unités est inférieur à 6.

On conclut sans aucun essai. 25

Pour la seconde suite :
U(4) : Il n'y a pas de retenue en rajoutant 51
=> chiffre des dizaines : pas plus de 4
et chiffre des unités inférieur à 9

U(8) : il y a une retenue en rajoutant 102
=> le chiffre des unités est donc 8

U(5) il y a une retenue en rajoutant 70
=> le chiffre des dizaines est au moins égal à 3

Il reste donc 2 solutions : 238 et 148

Il faut tester jusqu'au 14e terme pour trancher.

 #19 - 10-01-2017 19:26:26

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
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Vous avez la suite, mais as le début....

"La 1ère suite est décryptable avec les 9 premiers termes. "

à condition de préciser que U0 a deux chiffres (?)
Sinon il doit y avoir d'autres possibilités (?)


(U0 = 124 ; U0 = 10024 ; U0 = 10024 ; U0 = 100024 ...  ? )


Du fagot des Nombreux

 #20 - 11-01-2017 08:59:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Vous avez la uite, mais pas le début....

@ Sydre: ton analyse est très poussée, et je dois avouer ne pas l'avoir comprise. Si elle est marche pour toutes les suites présentées, alors tu as tué le problème !  Vérifie tout de même pour des nombres à 3 chiffres ou plus.

Qu'en déduis tu par exemple pour cette suite :
11 13 17 16 23 10 11 13 17 16 23 10 11 13 17 16 23 10 11 13 17 16 23 19 2 4 8 7 5 10 11 13 8 16 ?

@ Gwen: cette approche par les retenues ou pas est très bien, il me semble qu'il est nécessaire cependant de savoir distinguer où se fait la retenue. Et sais tu disntinguer quand il y a plus d'une retenue dans la même somme ?

@Aunryz: oui, c'est la raison pour laquelle il faut préciser le nombre de chiffres au départ. Si on ne précise, il faudrait allonger la suite "significativement" pour trouver la solution.

 #21 - 11-01-2017 09:36:11

Franky1103
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vous avez la suire, mais pas le début....

Si on se contente de ne regarder que les 15 premiers termes de la suite proposé à Sydre (mais je sais bien que ce n'est pas l'objectif de la question), alors pas moins de six nombres à trois chiffres conviendraient: 542; 632; 641; 731; 740 et 830.

Comme  beaucoup, je cherche aussi une méthode plus générale (sans tableur) pour trouver le terme u0, mais pour l'instant sans succès.

 #22 - 11-01-2017 14:07:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Vous avez la suite, mais pas le début.....

il me semble qu'il est nécessaire cependant de savoir distinguer où se fait la retenue. Et sais tu disntinguer quand il y a plus d'une retenue dans la même somme ?

La plupart du temps, oui. ( tant qu'il n'y a pas trop de chiffres )

Exemple avec ton dernier exemple :

11 13 17 16 23 10 11 13 17 16 23 10 11 13 17 16 23 10 11 13 17 16 23 19 2 4 8 7 5 10 11 13 8 16

On rajoute successivement au terme U(0) :
11
24
41
57
80
90
101
114
131
147
170
180
191
204
221
237
260
270
281 au pif
294
311
327
350
369 retenue faisant passer à un total de 2
371
375
383
390
395
405
416
429
437
453
467
477


De manière intuitive, on sait qu'on passe une puissance de 10 avec 369.

on arrive à plus de 300 donc ce n'est pas les centaines.
Pour raison de total à 11 de U(0), ce ne sont pas les 10000

Ce sont donc les milliers.
On arrive à 1001 1010 1100 ou 2000 
On part donc de 632 641 731 ou 1631

mais en rajoutant 350 il n'y a pas de retenue , ce n'est donc pas 731
En rajoutant 260 il y en a une : ton nombre est donc 641.

Si on oublie l'intuitif : une retenue en ajoutant 1 fait baisser le total de 8, en ajoutant 2 elle fait baisser le total de 7 ...etc

En rajoutant 369 le 9 ne change pas le total (mais cause une retenue car le total ne deviendrait pas 2) , le 6 le fait baisser de 3 (ou pas)  le 3 amène une possible nouvelle retenue faisant baisser le total de 6)

J'ai les 3 retenues car le total baisse de 9 en tout.

Au pif, un peu avant : 281 qui donne un total de 13 (avec retenue(s) donc) :
Le total augmente de 2.

Le 1 donne +1 ou -8
le 8 donne +8 ou -1
le 2 donne +2 ou -7

soit le 2, soit le 8 donne une retenue, mais un seul des deux. Il faut chercher des indices à côté pour voir que ce n'est pas le 2.

 #23 - 11-01-2017 15:12:27

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 530

Vous avez la suite, mais pas le déébut....

Le premier nombre est 25 et le deuxième 148.

s(0) me permet de déterminer la somme des chiffres. Dans le cas du premier nombre, c'est 7, ce qui laisse 7 possibilités. De plus, s(1)=5<s(0), ce qui montre qu'en passant de u0 à u1, quand on a rajouté 7, une retenue est intervenue : le dernier chiffre est donc >2.

Il ne reste que 16 ; 25 ; 34 ; 43 à tester.

J'ai utilisé la même méthode pour le nombre à 3 chiffres, il y a un peu plus de possibilités, mais la plupart s'éliminent en remarquant que le 2e nombre est 8, donc qu'une retenue est intervenue.

Sinon, on peut remarquer que si u0=v0 mod 9, alors pour tout n, on a un=vn mod 9. Ceci explique que les suites (sn) soient si proches d'un nombre de départ à l'autre.

 #24 - 12-01-2017 10:43:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Vous avez la suite, mais pas le débbut....

Vu la réponse de Gwen, je vais poser une question bien précise : comment calculer s(n+1) en fonction de s(n) ?

ça s'écrit avec une formule simple.

@ Ebichu: ce sont les bons résultats, bravo. Pourras tu résoudre avec moins d'essais, plus de logique ?

 #25 - 12-01-2017 11:32:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Vous avez la suite, mais paas le début....

Pour ceux qui aiment chercher, un 3 chiffres encore (on dira la S4) :
13 8 7 5 10 11 13 8 16.

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