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 #1 - 23-01-2014 14:57:33

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Dee la suite dans les idées.

Bonjour, cela fait un petit bout de temps que je ne sortais plus d'énigmes, mais voilà qu'à travers un exercice de math sur les suites niveau terminale s (voir première s) j'ai été confronté à un type de suite original qui m'a fait "méninger".

Avant tout petite synthèse sur les suites récurrentes:

Nous avons donc un premier terme U(0) et U(n+1)=f(Un)
Le but étant de pouvoir écrire U(n) en fonction de n directement c'est à dire: U(n)=f(n)

A partir de la première, nous découvrons les suites arithmétiques :

U(0) = p
U(n+1) = U(n) + r

que l'on peut écrire U(n) = p+nr

Nous avons aussi les suites géométriques :

U(0) = p
U(n+1) = U(n)*q

que l'on peut écrire U(n) = p*q^n

En poussant un petit peu si le sujet nous intéresse on peut même pousser aux suites arithmético-géométriques :

U(0) = p
U(n+1) = qU(n) + r
   
que l'on peut écrire (éventuellement grâce à une suite auxiliaire géométrique)
U(n) = q^n(p-r/(1-q))+r(1-q)

Synthèse terminée.



Attaquons nous à cette petite énigme que je vous pose en deux parties, la première partie sera un exemple à résoudre la seconde plus intéressante en sera sa généralisation.

Soient 2 suites U(n) et V(n) telles que :

V(n) soit une suite arithmétiques du premier terme V(0)=b et de raison r=a et U(n) telle que :

U(0) = p
U(n+1) = U(n) + V(n)


Première partie :

Déterminer U(n) en fontion de n si a=8, b=-8 et p=-7

Deuxième partie :

Déterminer U(n) en fonction de n,a,b et p (remarque si a =0 on retrouve la formule de la suite arithmétique)

Dans la case réponse vous pouvez taper toute votre fonction f(n) tout attachée qui validera la première partie.

Je laisse l'énigme aller jusqu'à dimanche fin d'après midi.



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 #2 - 23-01-2014 17:36:29

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

De la sutie dans les idées.

J’ai "bêtement" procédé par récurrence et je trouve: U(n) = (a/2).n² + (b - a/2).n + p
Application numérique: a = 8, b = -8 et p = -7 donnent: U(n) = 4.n² - 12.n - 7

 #3 - 23-01-2014 18:11:02

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

de la suiye dans les idées.

1ère partie
[TeX]u_n =4n^2-12n-7[/TeX]
2ème partie
[TeX]u_n = \frac{a}{2}n(n-1)+bn+p[/TeX]
Vérification facile !
Pour une recherche a priori, il suffit de chercher [latex]u_n[/latex] sous la forme d'un polynôme de degré 2 en [latex]n[/latex].

 #4 - 23-01-2014 18:23:15

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

se la suite dans les idées.

Ca a l'air très simple :

U(n) = p + nb + a(n)(n+1)/2

 #5 - 23-01-2014 20:46:00

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1743

e la suite dans les idées.

Bonjour,

Directement sur la généralisation :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-suites-pba.jpg


Je propose
[TeX]U_n= p + nb + \frac {n(n-1)}{2} a[/latex]     (1)

avec une démonstration par récurrence :

au rang 1

[latex]U_1 = p + b[/latex] vrai

On suppose la propriété (1) vraie au rang n
[latex]U_n= p + nb + \frac {n(n-1)}{2} a[/TeX]
On souhaite démontrer que :
[TeX]U_{n+1}= p + (n+1)b + \frac {(n+1)(n)}{2} a[/TeX]
On connait [latex]V_n = b + na[/latex]
[TeX] U_{n+1} = U_n+V_n = b + na + p + nb + \frac {n(n-1)}{2} a[/TeX]
soit [latex]U_{n+1} = p +(n+1) b +\frac {2n+n^2-n}{2} a[/latex]

ie : [latex]U_{n+1} = p +(n+1) b +\frac {n(n+1)}{2} a[/latex]

CQFD ...

Merci pour cette "révision" (des formules LaTex !) big_smilebig_smilebig_smile

smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #6 - 24-01-2014 02:12:18

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

De la suite dans lles idées.

Bon ben apparemment c'était plus simple que ce que je pensais.

bravo.

 #7 - 24-01-2014 16:16:59

vinrepsol
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 40
Lieu: 13

De la suite dans les ides.

1ere partie :
U(n+1)=U(n) + V(n)
U(n+1)=U(n) + b + na
a=8, b=-8, p=-7 :
U(n+1) = U(n) + 8*(n -1)
On peut facilement l'écrire en fonction de n sous forme de somme des éléments précédents :
U(n) = -7 + 8*SOMME[i=0 à n-1](i-1)

La somme de ces termes valant "nb termes*(1er teme + dernier terme)/2", on obtient :
SOMME[i=0 à n-1](i-1) = n*(-1 + n-2)/2

D'où U(n) = -7 + 4*n*(n-3)

2e partie :
C'est pas plus compliqué :
U(n) = p + SOMME[i=0 à n-1](ai+b)
U(n) = p + n/2 * (b + a*(n-1)+b)
U(n) = p + n/2 * ( 2b+a*(n-1) )

Si a=0, U(n) = p + n*b => on retrouve en effet la suite arithmétique, puisque U(n+1) vaut alors U(n) + b

 

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