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 #26 - 28-07-2013 12:38:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu pour l'apéro (hic ! (2)

Oui bravo Nodgim !

#0 Pub

 #27 - 28-07-2013 14:55:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

jeu pour l'apéro (hoc !) (2)

J'ai essayé aussi 4 joueurs qui peuvent prendre 1,2,3, ou 4 jetons. C'est plus net que 3 joueurs à 3 jetons, on arrive à P=1/4 à partir de 16 jetons, au dela ça ne change plus.
Par contre, 5 joueurs à 3 jetons, c'est comme pour 4 joueurs à 3 jetons, on a une séquence de longueur 10 dont 3 rangs sont systématiquement gagnants à 100%.

On peut conjecturer:
P=1/n en limite quand n joueurs jouent en pouvant prendre au maximum n jetons.
Et jamais quand n est différent du nombre de jetons qu'on peut prendre.

 #28 - 02-08-2013 15:00:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu pour l'péro (hic !) (2)

Vous pouvez à présent admirer les solutions proposées par nodgim.

 #29 - 02-08-2013 18:06:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Jeu pour l'appéro (hic !) (2)

Oui, bon admirer, c'est gentil mais j'ai dû m'y reprendre tout de même...

Sinon, j'ai testé 5 joueurs qui peuvent prendre de 1 à 5 jetons, et ça ne se lisse pas vers 1/5. 
Il semblerait donc que les cas de lissage vers 1/n ne sont pas la règle, mais plutôt une exception.

 #30 - 03-08-2013 22:10:09

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Je upour l'apéro (hic !) (2)

Voici les chances de gagner, suivant le nombre de jetons restants, pour [le joueur à qui c'est le tour de jouer, le joueur suivant, le joueur suivant ce dernier] :

Nb de jetons : 1 : Probas gains joueurs : [    0,    1,    1] : Meilleur coup : 1
Nb de jetons : 2 : Probas gains joueurs : [    1,    0,    1] : Meilleur coup : 1
Nb de jetons : 3 : Probas gains joueurs : [    1, 1/2, 1/2] : Meilleur coup : 1=2
Nb de jetons : 4 : Probas gains joueurs : [    1, 1/2, 1/2] : Meilleur coup : 2=3
Nb de jetons : 5 : Probas gains joueurs : [    1,    1,    0] : Meilleur coup : 3
Nb de jetons : 6 : Probas gains joueurs : [ 1/2,    1, 1/2] : Meilleur coup : 2=3
Nb de jetons : 7 : Probas gains joueurs : [ 1/2, 3/4, 3/4] : Meilleur coup : 1=3
Nb de jetons : 8 : Probas gains joueurs : [ 3/4, 1/2, 3/4] : Meilleur coup : 1

On remplit le tableau de proche en proche, en choisissant le meilleur coup, c'est-à-dire celui donnant les plus grandes chances de gagner au joueur+2 parmi les 3 lignes du dessus. Les nouvelles probas de gains sont obtenues en décalant d'un rang vers la droite les probas de la ligne correspondant au meilleur coup. S'il y a plusieurs meilleurs coups possibles, on en fait la moyenne.

On voit donc que lorsque notre tour vient et qu'il reste 8 jetons, mieux vaut en prendre 1 seul, ce qui offre 3 chances sur 4 de gagner.

Pour la généralisation, on montre facilement par récurrence que

Jetons : 6n+1 : Probas : 1/3 [[latex]2-2/4^n, 2+1/4^n, 2+1/4^n[/latex]] : Coup : 1=3
Jetons : 6n+2 : Probas : 1/3 [[latex]2+1/4^n, 2-2/4^n, 2+1/4^n[/latex]] : Coup : 1
Jetons : 6n+3 : Probas : 1/3 [[latex]2+1/4^n, 2-2/4^{n+1}, 2-2/4^{n+1}[/latex]] : Coup : 1=2
Jetons : 6n+4 : Probas : 1/3 [[latex]2+1/4^n, 2-2/4^{n+1}, 2-2/4^{n+1}[/latex]] : Coup : 2=3
Jetons : 6n+5 : Probas : 1/3 [[latex]2+1/4^n, 2+1/4^n, 2-2/4^n}[/latex]] : Coup : 3
Jetons : 6n+6 : Probas : 1/3 [[latex]2-2/4^{n+1}, 2+1/4^n, 2-2/4^{n+1}[/latex]] : Coup : 2=3

 

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