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 #1 - 26-11-2014 10:22:39

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

A côt écoule une rivière.

bonjour à tous.

J'ai vu que laTex refonctionnait . Alors je propose une autre petite énigme que voici:

Paul  est à la retraite , habite une fermette pas très loin de la rivière . Il dispose de 3 bassins pour diverses choses  jardin , animaux...

La maison , ainsi qu'un premier bassin se trouvent en A  situé à 300 m de la rivière ; dans sa région la rivière coule en ligne droite .

Le second bassin est en  B  à 400 m de la rivière et à  [latex]\frac{\sqrt{2}}{2}   [/latex] km de A  .

Le troisième et dernier bassin est en C , à 300 m de la rivière et à [latex]\frac{\sqrt{2}}{2}   [/latex] km de B ; le bassin  C  est donc à plus d'un km du bassin A .

Tous les jours et pour s'entretenir physiquement , Paul prend ses 2 arrosoirs , se dirige vers la rivière , les remplit et les vide une fois dans chacun des 3 bassins.

Il a donc 3 transferts à effectuer chaque jour.

pour résumer , si M , N  & P  sont 3 points au bord de la rivière , Paul effectuera par exemple les parcours  A  M  B N C P A   ou  A  M A N B P C A . par exemple.

Paul marche à vitesses constantes : 4 km/h avec arrosoirs vides  et 3 km/h avec arrosoirs pleins .
Aussi ses temps de remplissage et de vidage d'arrosoir sont négligeables.

Et il est avare de son temps.

quel temps minimum peut-il espérer réaliser lors de sa promenade quotidienne de son départ de A à son retour en A  ?

                                                                                                                                                     bonne route .



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 #2 - 26-11-2014 14:09:48

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

A côté coule une rrivière.

Assez compliqué ...
La distance AC vaut 1.4km.

Je trouve comme temps :
(4,24/4+5,25/3+5/4+5/3+(41/3)/4+(18,5/6)/3)/10 = 0,995 = 1 h

Le "/10", c'est parce que je comptais en hectomètres. Mon trajet c'est AMBNCPA avec M tels que AMB rectangle en M, N tel que BNC rectangle en N et P tel que CPA rectangle en P. Mais je suis pas sûr de ma méthode.

Je suis pas du tout sûr de ma réponse ...

 #3 - 26-11-2014 16:46:52

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1292

A côté coule une rviière.

Salut

Sans latex car j'en suis incapable sad

Il lui faut 60min pour faire son parcours (si je ne me suis pas planté)

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-riviere4.jpg
Schéma à peu près à l'échelle lol

Mais quel est l'intérêt de remplir ces bassins ? Il y a déjà de l'eau dedans, non ?

 #4 - 26-11-2014 16:50:21

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

A ctôé coule une rivière.

Je trouve 1 heure 03 mn 21.6 s
http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-riviere.png
Coordonnées des points successifs
A   000, 300
M 1086.104, 0
B  700, 400
N 1000, 0
C 1400, 300
P  213.28, 0
A  000, 300

 #5 - 26-11-2014 17:22:33

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

a côté voule une rivière.

Salut !

Bon, j'ai la flemme et pas le temps de tout rédiger bien proprement, mais voici la méthode que j'emploierai :

Je fais un petit dessin, je calcule la distance parallèlement à la rivière qui sépare les villes A et C de B par pythagore : 700m.

Ensuite je trace les symétriques A', B' et C' par rapport à la rivière, et je reporte les distances : Les bonnes côté ABC, et en proportion des vitesses "ralenties", c'est à dire à 3km/h au lieu de 4km/h de l'autre côté.

Enfin je trace AB'CA', qui me donne des points sur la rivière, là où remplir les seaux. Bien sûr il faut refaire un petit schéma à chaque trajet pour aligner les villes.

Je ne sais pas si c'est bien clair, ni si c'est la meilleure méthode, mais c'était pour participer wink

 #6 - 26-11-2014 18:03:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

a côté coulz une rivière.

Sauf erreur , aucun problème mais plutôt pénible à calculer .

Pour chaque descente et remontée ( elle sont indépendantes ) il faut minimiser 3.rouge+4.bleu .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-arrosoir.png

Vasimolo

 #7 - 26-11-2014 20:48:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

A côté coul une rivière.

Distance entre M et N (= distance entre N et P) = V(0,50-0,01) = 0,7 km

Temps mis entre A et B = t1(x) = (1/4).V(x²+0,09) + (1/3).V((0,7-x)²+0,16)
t1’(x) = (1/4).(x)/V(x²+0,09) + (1/3).(x-0,7)/V((0,7-x)²+0,16)
t1’(x) = 0 pour x = 0,4 et t1(0,4) = 7/24 = 0,291667

Temps mis entre B et C = t2(x) = (1/4).V(x²+0,16) + (1/3).V((0,7-x)²+0,09)
t2’(x) = (1/4).(x)/V(x²+0,16) + (1/3).(x-0,7)/V((0,7-x)²+0,09)
t2’(x) = 0 pour x = 0,486718 et t2(0,486718) = 0,280195

Temps mis entre C et A = t3(x) = (1/4).V(x²+0,09) + (1/3).V((1,4-x)²+0,09)
t3’(x) = (1/4).(x)/V(x²+0,09) + (1/3).(x-1,4)/V((1,4-x)²+0,09)
t3’(x) = 0 pour x = 1,086103 et t3(1,086103) = 0,426427

En sommant tout, on arrive à un temps de: 0,998289,
soit: 59 mn 53,84 sec (un peu moins d’une heure)

Édit: Si on le fait proprement, alors on tombe à chaque fois sur une équation du 4è degré sans racine évidente. Du coup, pour annuler les dérivées, j'y suis carrement allé à la machette dichotomique.

 #8 - 26-11-2014 20:57:40

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

A côté coule une rivère.

salut.

Bien vu franky .

pour les autres .

merci pour les shémas . il n'y a qu'un angle droit et un seul . mais alors pourquoi ?

Il faut effectivement optimiser . comment ?

on doit descendre juste en dessous de l'heure . avec quelle stratégie ?

 #9 - 27-11-2014 17:26:12

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

A côé coule une rivière.

Salut je trouve 65 minutes pour l'instant, tu dis en dessous de l'heure ? Je vais y réfléchir ce soir...

 #10 - 27-11-2014 21:06:25

NickBern
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 49

a côté couke une rivière.

Bonsoir, j'ai sous les yeux chacune des 162 combinaisons, et les temps totaux vont de 38,7 min (38min 40s) à 56,3 min environ.

Et surprise : ce temps minimal est en fait atteint par deux chemins ! big_smile

Voici les heureux gagnants : A-N-B-P-C-N-A  et  A-N-C-N-B-M-A.

En fait comme le problème est symétrique, ce sont les mêmes trajets en symétrie et en gardant A comme départ et d'arrivée.

Notre bonhomme parcourt donc un peu plus de 2,22 km...




Est-ce que c'est ce que tu attendais ?


A+   smile

edit : si quelqu'un sait comment réduire ces images...

 #11 - 28-11-2014 09:45:30

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1292

A côt coule une rivière.

Il est avare de son temps mais pas de son argent
il déplace les bassins et fabrique 2 ponts
mais cela ne marche pas non plus sad car AC n'est pas supérieur à 1km (AC=1km)

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-riviere6.jpg

je crois que je vais attendre la réponse
Bonne journée

 #12 - 28-11-2014 20:44:07

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

A côt coule une rivière.

Bon comme y a 2 arrosoirs j'imagine qu'il faut peut être utilisé qu'un seul arrosoir parfois, donc à ce moment là la vitesse serait de 3,5 km/h.

Je trouve pas encore un chemin optimal mais je cherche ...


Edit : J'ai trouvé 62 minutes en passant en point intermédiaire par le milieu je vais encore chercher ...


Re edit : Ca y'est !!!!!! il fallait aussi l'appliquer une troisième fois, je trouve 59.84923998 minutes !!!!

J'ai plus qu'à mathématiser formellement tout ça maintenant wink

 #13 - 28-11-2014 22:49:21

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

A côtté coule une rivière.

J'ai pas eu la fois de calculer des dérivées de pleins de racine carrées dans tous les sens donc j'ai résolu graphiquement.

Par contre j'ai écris les équations.

http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-riviere.jpg

Je trouve donc environ 59,85 minutes !

 #14 - 29-11-2014 09:30:22

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

a côté couke une rivière.

bonjour.

à gille355:    il en manque un tout ptit peu.

 #15 - 29-11-2014 10:57:24

NickBern
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 49

A côté cule une rivière.

Ah mince il avait 2 arrosoirs roll
Et je me suis limité aux points M,N,P sur la rivière, mais c'est vrai qu'il peut remplir partout...

 #16 - 29-11-2014 11:29:58

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

a côté coule une ricière.

salut.

et merci d'avoir participé .

ma résolution est prête  , mais gros problèmes avec latex . si je la balance , la moitié seulement sera lisible .  si vous la voulez maintenant pas de souci .

 #17 - 29-11-2014 12:17:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

A côté coul une rivière.

D'un autre côté la solution proposée par Gilles dans le message #13 donne le schéma de la solution . On peut tout à fait se contenter d'une valeur approchée de la solution , le calcul exact de celle-ci ne posant pas d'autre problème que celui d'être long et fastidieux neutral

Une variante à faire peur ( ou pas ) smile

Avec un seul arrosoir plein Paul se déplace à 3,5 km/h , il peut poser un arrosoir sur son trajet et le récupérer quand il repasse par ce point . Peut-il faire mieux ?

Vasimolo

 #18 - 29-11-2014 12:34:18

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

A ôcté coule une rivière.

résolution.



dans ce problème se succèdent trois phases identiques concernant le calcul du chemin le plus rapide .

phase (1)  A M B   avec   a = ordonnée de A  ,  b  l'ordonnée de B   et  h  la différentielle X de  A & B  ,  --->  A(0,a) , M(x,0) &  B(h,b) pour les coordonnées.

phases (2) & (3)  B N C  &  C P A  ou seront utilisés les mêmes paramètres  a b & h  , mais leurs valeurs seront différentes .



a)  Phase (1)  pour ce premier prélèvement d'eau l'équation du temps s'écrit:
[TeX]t_{x} = \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(h-x)^2 + b^2}}{v_2}[/TeX]
avec [latex]v_1=4[/latex]   et   [latex]v_2=3[/latex]



en dérivant cette fonction on doit trouver un extrémum pour t'(x) = 0
[TeX]t'_{x} = \frac{x}{v_1.\sqrt{x^2+a^2}} - \frac{h-x}{v_2.\sqrt{(h-x)^2 + b^2}}[/TeX]
en divisant sous le premier radical par a²   et sous le second radical par b²  :
[TeX]t'_{x} =  \frac{x}{v_1.a.\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}} - \frac{x - h}{v_2.b.\sqrt{\frac{(h-x)^2}{b^2} + 1}}  [/TeX]
si de M , je trace la demi droite [My ) , j'obtiens 2 angles  :   [latex]\widehat{AMy} = \alpha[/latex]   puis   [latex]\widehat{BMy} = \beta[/latex]



et  [latex]1+\frac{x^2}{a^2} =1+ \tan²{\alpha} = \frac{1}{\cos²{\alpha}}[/latex]
[TeX]1+\frac{(h-x)^2}{b^2} =1+ \tan²{\beta} = \frac{1}{\cos²{\beta}}[/TeX]
et de même hors des radicaux on aperçoit:
[TeX]\frac{x}{a} = \tan{\alpha}[/TeX]
et: [latex]\frac{h-x}{b} = \tan{\beta}[/latex]



et la dérivée s'écrit : [latex]t'_{x} = \frac{\sin{\alpha}}{v_1} - \frac{\sin{\beta}}{v_2} = \frac{x}{4.\sqrt{x^2+a^2}} - \frac{h - x}{3\sqrt{(h-x)^2+b^2}} = 0[/latex]
[TeX]t'_{x} = \frac{\sin{\alpha}}{v_1} - \frac{\sin{\beta}}{v_2} = 0 \Rightarrow v_2.\sin{\alpha} =  v_1.\sin{\beta}[/TeX]
qui conduit à [latex]\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}} = \frac34[/latex] et pour les 2 autres transferts d'eau :
[TeX] \frac{\sin{\Gamma}}{\sin{\Delta}} = \frac{\sin{\Phi}}{\sin{\Psi}} = \frac34 [/TeX]
dans la recherche de la racine réelle de  P(x) = 0  il suffira d'affecter leur valeur propre à chacun des paramètres a , b & h pour avoir les bons coefficients du polynôme
[TeX]\begin{cases}phase(1)&a=0.3 ; b=0.4 ; h=0.7\\phase(2)&a=0.4 ; b=0.3 ; h=0.7\\phase(3)&a=0.3 ; b=0.3 ; h=1.4\end{cases}[/TeX]
on a donc l'égalité suivante:
[TeX]3x.\sqrt{(h-x)^2 + b^2} = 4.(h-x).\sqrt{x^2 + a^2}[/TeX]
après élévation au carré pour faire disparaître les radicaux on obtient :
[TeX]9x^2.\left[x^2 + h^2 - 2hx + b^2\right] = \left[16h^2 + 16x^2 - 32hx\right].\left[x^2 + a^2\right][/TeX]
et le polynôme suivant:
[TeX]7.x^4 - 14h.x^3 + (7h^2 + 16a^2 - 9b^2).x^2 - 32ha^2.x + 16h^2a^2 = 0[/TeX]
donne  x=0.4   et dans ce cas seulement on en déduit la mesure des 2 segments  AM & MB  :  0.5  , hypoténuse  des 2 triangles rectangles de côtés  0.3 , 0.4 & 0.5



par contre le triangle  AMB , lui , est isocèle rectangle  : [latex] 0.5  ; 0.5 ; 0.5\sqrt{2}[/latex]



en résumé  les 3 polynômes à résoudre seront:



phase(1)  [latex] 7x^4 - 9.8x^3 + 3.43x^2 - 2.016x + 0.7056 = 0  [/latex]   avec  a=0.3 , b=0.4  & h=0.7



phase(2)  [latex] 7x^4 - 9.8x^3 + 5.18x^2 - 3.584x + 1.2544 = 0  [/latex]   avec  a=0.4 , b=0.3  & h=0.7



phase(3)  [latex] 7x^4 - 19.6x^3 + 14.35x^2 - 4.032x + 2.8224 = 0  [/latex]   avec  a=0.3 , b=0.3  & h=1.4



donne les 3 valeurs de x  correspondantes   aux 3 phases:    0.4   ,   0.48671839   &  1.086103

et  les valeurs  (h-x)   correspondantes    0.3  ,  0.2132816  &  0.313897

les 2 segments parcourus durant chacune de ces 3 phases :



phase(1)  AM =  0.5  & MB = 0.5   ;  phase(2)  BN = 0.63  &  NC = 0.3680884   ;  phase(3)  CP =  1.126774  ,  PA = 0.4342   



et on peut vérifier pour chacune des phases le rapport des sinus  qui est égal à 3/4



le temps total : [latex]  \frac{0.5 + 0.63 + 1.126774}{4} + \frac{0.5 + 0.3680884 + 0.4342}{3} \approx  0.9982896333 h[/latex]



qui donne  0h 59min 53.84 s

en espérant avoir été clair.

 

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