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 #1 - 22-07-2013 15:32:12

titoufred
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Enigmes résolues : 20
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Jeu pour l'apéro (hic !) (2))

A la terrasse du bar, vous buvez l'apéro avec deux potes (pour l'instant...).

Vous alignez 8 jetons sur la table et leur proposez le jeu suivant :

- il est possible, chacun à son tour, de ramasser 1, 2 ou 3 jetons.

- celui de vous trois qui ramasse le dernier paye l'apéro!

C'est vous qui commencez. Combien de jetons prenez-vous afin de maximiser vos chances de gagner ?


NB : On supposera que vos 2 potes jouent à chaque fois le meilleur coup pour eux (et s'ils ont le choix entre plusieurs meilleurs coups, ils en choisissent un au hasard (de façon équiprobable)).


Généralisation (1) : Vous avez n jetons devant vous. Que faites-vous ? Quelles sont alors vos chances de gagner ? Que se passe-t-il pour n grand ?

Généralisation (2) : Vous jouez à p joueurs.



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 #2 - 23-07-2013 13:49:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3168

Jeu pour l''apéro (hic !) (2)

Si je suis le joueur A, et que les autres sont B puis C, j'ai tout intérêt à laisser 7 à B. Dans ce cas là, que B laisse 6 ou 4 (jamais 5 qui est directement perdant) il récupérera au 2ème tour le 1 une fois sur 2, alors que pour A et C ce sera 1 fois sur 4. En proba de gagner, ça se traduit en:
A et C=3/8
B=2/8.
Si on met plus de jetons, la proba reste favorable (3/8) tant qu'on ne démarre pas ou qu'on évite un multiple de 7. En fait, A et C s'arrangent, et ils peuvent tjs le faire, pour leur intérêt propre, pour renvoyer un multiple de 7 à B à chaque tour.

Je n'ai pas encore réfléchi à la généralisation pour plus de 3 joueurs.

 #3 - 24-07-2013 11:25:12

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeeu pour l'apéro (hic !) (2)

Pour 8 jetons, ok sur le début du raisonnement, mais je ne comprends pas d'où sortent les probas de la dernière phrase.

Pour n jetons, je ne suis plus d'accord.

 #4 - 24-07-2013 13:59:59

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Jeu pour l'apéro (hic ! (2)

Si la proba de récupérer le 1 est de 1/4, 1/4 et 1/2, alors la proba de ne pas avoir le 1, est: 3/4, 3/4, 1/2, mais la somme faisant 2, ça se ramène à 3/8, 3/8 et 1/4 pour avoir la somme 1.

Voila un peu le détail qui m'amène au résultat que j'ai avancé:
Aucun joueur ne peut laisser 5 au suivant, sinon celui ci jouera 2 pour être sûr d'éviter le 1, et le 1 lui reviendra inévitablement. 5--->2--->1
Celui qui reçoit 7 peut indifféremment jouer 6 ou 4, les probas de recevoir le 1 sont les mêmes.
7---->6 P=1/2
7---->4 P=1/2
7---->4/6 P=1/2. 
Donc 7 jouera au hasard entre 4/6.
De même 6 jouera au hasard 3/4.

8 a intérêt à jouer le  7
8---->7  P(1)=1/4
8---->6 P(1)=1/2
8---->6/7 P(1)=5/8.

B qui suit A et précède C est défavorisé, et ne peut pas améliorer son sort: il récupérera le 1 une fois sur 2, et A et C une fois sur 4 chacun.

Il est évident que pour 9 et 10, il faut jouer 7.
Celui qui a 11,12,13 est C, car c'est celui qui précède 8,9,10, c'est à dire A. Il joue alors 8/9/10 qui est gagnant pour A et C.
Celui qui joue 14 ne peut jouer que 11/12/13, mais il précède C, c'est B, il est perdant.

Ainsi on peut placer les numéros autour d'un triangle dont les sommets sont les joueurs ABC. En plaçant en:
-A: 1,2,3,4,8,9,10 et tous les triplets qui suivent un multiple de 7.
-B: 1,2,6,7, et tous les multiples de 7
-C:1,3,4,6,11,12,13, et tous les triplets qui précèdent les mutiples de 7.

Selon le nb de jetons de départ, on sait quel est le joueur qu'on incarne dans le cycle, et on s'en tient à la stratégie qui consiste à renvoyer B sur un multiple de 7, pour le faire perdre avec la même proba que pour 8 jetons.

 #5 - 24-07-2013 14:38:51

Lui-meme
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Jeu pour l'apéro (hic !) ()2

Je réclame le copyright sur le titre et 68 des 69 premiers du texte de cette énigme !

En pénitence de ce plaggia à peine dissimulé, titoufred devra ajouter au bas de l'énoncé de ses trois prochaines énigmes, le texte suivant en gras souligné:

"Moi, titoufred, je fais amende honorable du fait d'avoir pillé sans vergogne la production de l'admirable Lui-meme, à savoir son incroyable énigme "Jeu pour l'apéro (hic!)".

Tout manquement fera l'objet d'un redressement immédiat! lol

 #6 - 25-07-2013 01:09:15

titoufred
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Jeu pour l'apéo (hic !) (2)

@nodgim : Bravo pour ton raisonnement sur le problème à 8 jetons ! C'est effectivement la bonne réponse. Sache cependant qu'il est normal que la somme des probas de gagner soit égale à 2 puisqu'il y a 2 vainqueurs. Il ne faut donc pas diviser par 2 à la fin.

@Lui-meme : Je crois que je vais avoir du mal à nier, je préfère tout avouer maintenant :

"Moi, titoufred, je fais amende honorable du fait d'avoir pillé sans vergogne la production de l'admirable Lui-meme, à savoir son incroyable énigme "Jeu pour l'apéro (hic!)".

 #7 - 25-07-2013 09:03:28

nodgim
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Jeu opur l'apéro (hic !) (2)

Oui Titou, ce 3/8, ça n'a pas beaucoup de sens.
Tu ne m'as pas donné ton avis pour mon développement du plus de 8 jetons. ça me parait assez solide, pourtant, je ne vois pas où ça pêche.

 #8 - 25-07-2013 10:18:01

Lui-meme
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Lieu: Île de France

Jeu pour l'apéro (hci !) (2)

titoufred, tu es pardonné ! smile

 #9 - 25-07-2013 11:04:02

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Jeu poru l'apéro (hic !) (2)

nodgim a écrit:

Il est évident que pour 9, il faut jouer 7

Pas d'accord. On peut très bien jouer 8 non ?

 #10 - 25-07-2013 11:14:23

SabanSuresh
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Jeu pour l'apéro (hc !) (2)

- Si les joueurs B et C décident de faire perdre A (celui qui commence), A va perdre car B et C vont prendre à eux 2 le complément à 7 de ce que A a pris.
- Si les joueurs A et C décident de faire perdre B (celui qui joue en 2e),  B va perdre car C pourra toujours prendre le complément à 5 ou à 6 de la somme de ce que A et B ont pris. A en prend 1 ou 2 et B prend le dernier.
- Si les joueurs A et B décident de faire perdre C (celui qui joue en 3e), C va perdre car A et B vont prendre à eux 2, 2 jetons (1 et 1) et quoique C prenne, A et B joueront à eux 2 le complément à 5 de ce que C a pris.

Pour maximiser mes chances, j'en prend donc 1 (cas 2 et cas 3).
Pour les généralisations, je réfléchis encore.

 #11 - 25-07-2013 11:22:28

nodgim
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jeu pour m'apéro (hic !) (2)

Bien vu Titoufred. Effectivement, on peut élargir le choix de C de 7k-5 à 7k-1, avec k>=2. Mais ça ne change pas grand chose au résultat: à la charge de C d'envoyer un 7k+1,+2 ou +3, et à la charge de A d'envoyer un 7k à B.
Compte tenu de ça, on pourrait aller plus loin, et supposer une entraide entre A et C, qui ferait perdre B à tous les coups! Et cette entraide est acceptable, compte tenu qu'on doit jouer en se donnant le maximum de chances.
Mais bon, là, on peut en discuter sans fin.

 #12 - 25-07-2013 12:30:06

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu pour l'apéro (hic !) (2

La collusion est interdite ! Chacun joue pour sa pomme, sans entente possible au préalable.

@nodgim : S'il y a n jetons devant toi et que c'est à ton tour de jouer, que fais-tu ?

 #13 - 25-07-2013 13:20:29

nodgim
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Jeu pour ll'apéro (hic !) (2)

-Si n est un multiple de 7, je suis statistiquement perdant, je ne peux rien faire, je vais récupérer le 1 une fois sur 2.
-Si n est +1,+2 ou +3 au dessus du mulitple de 7, je laisse au suivant un multiple de 7.
-Si n est +4,+5,+6 au dessus d'un multiple de 7, je prends 3 jetons.

Quand on arrive à 7, voir le développement pour 8 jetons.

Il y a d'autres manières de jouer, mais celle ci a l'avantage d'être facile à mémoriser.

 #14 - 25-07-2013 23:45:58

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

jeu pour l'apéeo (hic !) (2)

Non nodgim, ce n'est pas la manière optimale de jouer dans le cas général.
Par exemple, si tu es à 13 et que tu laisses 10, alors tu ne peux pas être sûr que le suivant va laisser 7. Comme on l'a vu auparavant, il pourrait très bien choisir de laisser 8, car c'est égal pour lui, et donc le suivant va te laisser avec 7 et tu es marron.

 #15 - 26-07-2013 00:02:49

gwen27
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Messages : 5,679E+3

jzu pour l'apéro (hic !) (2)

J'en conclus que pour la question 1  : je prends 1 pion et j'en laisse 7...

Chouette !!! J'ai sûrement bon, mais je ne sais pas pourquoi lol

 #16 - 26-07-2013 11:45:37

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Jeu pour l'apéro (hic !) ()

Gwen, petit canaillou...

Tu n'as plus qu'à trouver pourquoi.

 #17 - 26-07-2013 16:45:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Jeu pour l'appéro (hic !) (2)

Au fond, ce n'est pas vraiment une stratégie qui est à déployer, étant donné qu'on joue l'une ou plusieurs des 3 options qui se présentent, la ou les meilleures. ça se résume donc à calculer pour chaque nombre de jetons restants, la proba de gagner, à la condition qu'on s'en tienne à la règle de l'énoncé.
Une fois qu'on a établi, de la manière la plus simple possible, l'algorithme de choix, on a fini.
Je donnerai ma méthode dans un prochain envoi.

 #18 - 26-07-2013 20:06:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Jeu pour l'paéro (hic !) (2)

Oui, tu as tout compris nodgim. Il te reste donc à voir de cette manière quel est le bon nombre de jetons à prendre dans le cas général.

 #19 - 27-07-2013 01:18:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Jeu pur l'apéro (hic !) (2)

Je ne comprends pas très bien ce que tu fais.

A quoi correspond le 1/6 pour 8 ?

A 9 jetons, tu dis qu'il faut forcément en laisser 7 ?

 #20 - 27-07-2013 08:30:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
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jeu pout l'apéro (hic !) (2)

J'ai fait une erreur de raisonnement à un endroit dans mes additions, je corrige et je redonne ça.

 #21 - 27-07-2013 11:57:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3168

jeu pour l'apéro (gic !) (2)

Pour déterminer la probabilité de tomber sur le 1 pour n jetons avec 3 joueurs, on peut s'y prendre de cette façon.
On crée un triplet de nombres, chacun représentant le nombre de trajets favorables. On commence par le 1 et on remonte jusqu'au jeton projeté.
1: 001. Le 1 à droite représente le nombre de trajets 3k, celui du milieu 3k+2, celui de droite 3k+1. Un trajet 3k est un trajet qui passe par 3k étapes. Evidemment, c'est le nombre à droite qui repésente la proba de tomber sur 1, car un joueur joue une fois sur 3. 
2:100. On n'a qu'un seul trajet pour 1, mais comme pour passer de 2 à 1, il y a une étape supplémentaire, chaque nombre du triplet est décalé vers la droite d'un rang, celui de droite revenant à G. Le nombre en 3k+1 passe en 3k+2, celui en 3k+2 passe en 3k, celui en 3k passe en 3k+1.
Ainsi 001 est transformé en 100.

Pour être plus pratique, il est utile d'indiquer pour chaque nombre:
-Son triplet propre et sa proba de faire 1.
-Son triplet anticipé (chiffres décalés) qui servira pour l'étape suivante, et sa proba.

1: 001;1;100;0 : le dernier 0 signifie que quand on pointe ce rang 1, la proba du 1 pour celui qui vise est 0. Alors que la proba pour celui qui est atteint est 1.
2:100;0;010;0
3:110;0;011;1/2 : le 110 s'obtient en faisant la somme 100(rang 1) et 010(rang2). On prend ces 2 nombres car ils ont la même proba:0. Il est rappelé qu'on ne doit prendre, parmi les 3 destinataires possibles, seulement celui ou ceux de proba la plus faible.

1:001;1;100;0
2:100;0;010;0
3:110;0;011;1/2
4:110;0;011;1/2 ici on n'a pas pris le rang 3, mais seulement les 2 meilleurs, rangs 1 et 2. Quand on prend 2 choix, ou 3, il faut que les sommes des nombres de chaque triplet soit identique.
5:010;1;001;0. Ici on ne prend que le rang 2.
6:011;1/2;101;1/2 en fait c'est 022, mais on peu se permettre de réduire si les 3 nombres sont divisibles par le même facteur.
7:112;1/2;211;1/4
8:211;1/4;121;1/4
9:332;1/4;233;3/8
10:332;1/4;233;3/8 
11:121;1/4;112;1/2
12:233;3/8;323;3/8
13:556;3/8;655;5/16
14:655;5/16;565;5/16
15:11,11,10;10/32;10,11,11;11/32
16:11,11,10;10/32;10,11,11;11/32
17:565;5/16;556;12/32
18:10,11,11;11/32;11,10,11;11/32
19:21,21,22;22/64;22,21,21;21/64
20:22,21,21;21/64;21,22,21;21/64
21:43,43,42;42/128;42,43,43;43/128
22:43,43,42;42/128;42,43,43;43/128
23:42,44,42;42/128;42,42,44;44/128
24:42,43,43;43/128;43,42,43;43/128
25:85,85,86;86/256;86,85,85;85/256.
etc...


Au vu de ces éléments, on peut établir une récurrence qui conduira à un partage équitable entre les 3 joueurs.

 #22 - 27-07-2013 20:37:10

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Jeu pour l'apéro (hic !) 2()

Oui bravo Nodgim !

 #23 - 27-07-2013 22:09:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
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jey pour l'apéro (hic !) (2)

Peut-être peux-tu donner effectivement quel coup jouer lorsqu'il y a n jetons devant soi et préciser quelle est la probabilité de gagner dans ce cas.

 #24 - 28-07-2013 09:43:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Jeu pour l'apéro (hic !) 2)

Pour tout k>=0, P(défaite) vaut:
10 et 11+6k: 1/3(1-1/2^(2k+2)), 10 visant 7/8, 11 visant 8.
12 et 13+6k: 1/3(1+1/2^(2k+3)), 12 visant 9/10, et 13 visant 10/12.
14 et 15+6k: 1/3(1-1/2^(2k+4)), 14 visant 13, et 15 visant 13/14. 

J'aurais pensé que pour pour n joueurs, ce format se généralise, qui tendrait à lisser les probas avec pour limite 1/n. Or, apparemment, et sauf erreur, je ne trouve pas la même chose avec 4 joueurs.

 #25 - 28-07-2013 10:11:43

nodgim
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Jeu pur l'apéro (hic !) (2)

Pour 4 joueurs, voici ce que ça donne:
1:... 0001;1;.......1000;0
2:... 1000;0;.......0100;0
3:... 1100;0;.......0110;0
4:... 2310;0;.......0231;1/6
5:... 0310;0;.......0031;1/4
6: ...0110;0;.......0011;1/2
7:... 0231;1/6;....1023;1/2
8:... 0031;1/4;....1003;3/4
9:...1056;1/2;.....6105;5/12
10:..6105;5/12;...5610;0
11:..5610;0;.......0561;1/12
12:..5610;0;.......0561;1/12
13:..5610;0;.......0561;1/12
14:..0561;1/12;..1056;1/2
15:..0561;1/12;..1056;1/2
16:..0561;1/12;..1056;1/2
17:..1056;5/12;..6105;5/12
18:..6105;5/12;..5610;0

le rang 18 étant égal au rang 10, et les suivants de 18 (19,20,21) viseront 18 qui fait gagner à 100%, on a un cycle de longueur 8. les 11,12 et 13 + 8k gagnent.

La différence avec 3 joueurs, c'est qu'il n'y pas de nombre double dans le quadruplet. Un nombre double consécutif assurerait la même proba d'un rang au suivant. En visant ces 2 nombres de même proba et en les additionnant, on efface les zéros et on fait donc évoluer vers un nouveau nombre. Ce qui ne se produit pas ici.

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