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 #1 - 19-02-2011 12:53:31

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
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Lieu: Ardèche

Les 4 taues

4 taupes vivent aux sommets d'un tétraèdre régulier dont les arêtes ont pour longueur 1.

Elles voudraient pouvoir toutes se rencontrer, elles décident donc de creuser des galeries.

Mais bien sûr, afin d'économiser leur effort, elles veulent creuser la plus petite longueur possible.
Quelle est cette plus petite longueur ? (Donner la formule exacte).

Spoiler : [Afficher le message]
La formule exacte étant difficile à entrer de façon unique dans la case de vérification,
la case n'accepte que la valeur numérique, avec un point décimal, (pas une virgule)
et trois décimales, dont la dernière est un arrondi.


Spoiler : [Afficher le message]
Même problème plus connu : relier au plus court les 4 sommets d'un carré de côté 1.
La réponse n'est pas [latex]2\sqrt 2[/latex].


Spoiler : [Afficher le message] arbre de Steiner



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 #2 - 19-02-2011 13:37:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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les 4 tauped

La distance à l'orthocentre du tétraèdre.

Racine ( 3/4 - 1/12 )  * 3/4 = 0,612 pour chaque taupe.

4 taupes donc 2,449

 #3 - 19-02-2011 13:53:58

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
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Lieu: Ardèche

les 4 yaupes

Non, gwen27, les galeries doivent les relier toutes les quatre.
On demande la longueur optimisée de l'ensemble des galeries.
Qu'elles ne creusent pas 4 tunnels pour s'évader comme les Dalton.

Avec un point décimal pour la case de vérification.

 #4 - 19-02-2011 13:58:20

MthS-MlndN
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les 4 taypes

http://fr.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9tra%C3%A8dre

Les taupes se rejoindront au centre du tétraèdre, situé à un quart de la hauteur. Chacune aura donc parcouru trois quarts de la hauteur, et cette hauteur vaut [latex]\sqrt{\frac 23}[/latex] ; par conséquent, la distance parcourue est [latex]\frac 34 \sqrt{\frac 23} = \frac{\sqrt 6}4[/latex] soit environ 0,612.

Si on compte les quatre galeries ensemble, on obtient une longueur globale de \sqrt 6 qu'on peut arrondir à 2,449 (la case réponse ne valide aucune des deux, même avec des points à la place des virgules... me suis-je trompé quelque part ? il ne me semble pas o_0')


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 19-02-2011 14:41:56

L00ping007
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Les 4 taupees

En considérant que le point de rencontre est le centre de gravité du tétraèdre, la distance parcourue est 4 fois la distance d'un sommet au centre, c'est-à-dire :
[TeX]d=4.(\frac34\sqrt{\frac23}) \approx 2.449[/TeX]
Non validé par la case réponse ...

 #6 - 19-02-2011 15:26:24

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Les 4 taueps

Déjà 3 réponses équivalentes tombées dans le même piège.
Pourquoi aurais-je posé ce problème s'il était aussi banal ?

La case de vérification est juste.

 #7 - 19-02-2011 15:34:56

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Les 4 tapes

halloduda a écrit:

Pourquoi aurais-je posé ce problème s'il était aussi banal ?

Eh, oh, sur un autre ton, mon p'tit bonhomme tongue

D'accord, mon cher, eh bien nous allons y réfléchir derechef, et avec le sourire big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 19-02-2011 15:50:44

gwen27
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Les 4 taueps

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-Pyramide.jpg

AN^2 - HN^2 = AH^2
AH= racine ( 3/4 - 3/12)

Le baricentre est aux 3/4 de cette distance, donc 3 fois la distance pour 4 taupes.

La distance est donc de : racine ( 8 / 12 )  * 3 =  2,4494897....   

donc 2.449  Mais Non validé.

Conclusion : Soit je ne sais pas compter, soit ce n'est pas le barycentre.

 #9 - 19-02-2011 21:02:22

franck9525
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Les 4 taups

J'aurais bien choisi le point point équidistant des sommets comme etant le point de minimal distance car il est le centre de symetrie et à la verticale du point de Fermat. Ce point se trouve au quart de la hauteur et a [latex]\sqrt6/4[/latex] d'un sommet ce qui fait une distance totale a creuser pour nos amies les taupes de [latex]\sqrt6[/latex].

Je suppose que suis tombé dans le même piège que les autres, au moins je ne serais pas tout seul lol


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 20-02-2011 02:41:59

mitsuidewi
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Les 4 ttaupes

La réponse est sur google en tapant "tétraèdre", mais je vais quand même faire les calculs.

Les 4 chemins doivent se rencontrer au centre de gravité du tétraèdre, qui représente le chemin le plus court. voici la position de ce point :
http://mathscyr.free.fr/themes/GEOMETRIEESPACE/GeometrieespaceexoscorrigesENONCE/image006.jpg

Pour calculer la position de ce point, il faut passer par le barycentre d'un des triangles, puis remonter jusqu'au point H :
http://www.prise2tete.fr/upload/mitsuidewi-tetraedep-7800c.png

Soit M, le barycentre du triangle :

Calcul de FC :
[TeX]FC=CD\, cos(\frac{\pi}{6})=a \frac{sqrt{3}}{2}\\[/TeX]
Car dans un triangle équilatérale, les angles font chacun 60°...

Calcul de CM:
D'après la relation de Chasles on a :
[TeX]\vec{EM}+\vec{CM}+\vec{DM}=\vec{0}\\
\vec{EC}+\vec{CM}+\vec{CM}+\vec{DC}+\vec{CM}=\vec{0}\\
2\vec{FC}-3\vec{CM}=\vec{0}\\
\vec{CM}=-\frac{2}{3}\vec{FC}[/TeX][TeX]\Rightarrow \, CM=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/TeX]
Calcul de AM :
D'après Pythagore :
[TeX]AM^2=a^2-CM^2\\
AM^2=\frac{2a^2}{3} \, \Rightarrow \, AM=a\sqrt{\frac{2}{3}}[/TeX]
Maintenant pour trouver le point G, on réfléchit en terme de volume. On sait que le volume EDGC est le quart du volume AEDC :
[TeX]\frac{1}{3}\frac{ED\times CF}{2} \times MG\, = \, \frac{1}{12} \frac{ED\times CF}{2} \times AM\\
\frac{MG}{6}=\frac{AM}{24}\\
MG=\frac{AM}{4} \, = \, \frac{a}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}[/TeX]
Comme a=1 ,on a approximativement MG = 0.204

 #11 - 20-02-2011 02:47:47

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
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les 4 tauped

Je me suis rendu compte que mon erreur est de considérer le centre de gravité comme le point de rencontre le plus rapide.
Docn si j'ai bien compris, une taupe peut très bien creuser un tunnel plus petit que les autres ? le but étant de trouver le "point de rencontre tel que la somme des 4 chemins soit la plus petite possible ?"
Si c'est juste, je pense que tu devrais modifier ton poste afin d'améliorer la compréhension.

 #12 - 20-02-2011 10:52:29

L00ping007
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Les 4 tauppes

J'ai trouvé l'astuce smile Ce que l'on cherche n'est pas la distance parcourue par les taupes, qui est bien au minimum [latex]\sqrt6[/latex], mais la longueur creusée !
La réponse est : [latex]\sqrt3+\frac{\sqrt2}2[/latex]

EDIT
Donc, un peu de temps pour écrire ma démo.
Par contre j'ai pas encore vraiment réfléchi au problème de montrer qu'il était impossible de faire moins, mais je m'y penche smile

L'idée c'est de faire se rejoindre les taupes 2 à 2 avant le centre, histoire qu'à 2 elles empruntent la même galerie. Non seulement elles font pas la fin du trajet toutes seules, mais en plus au final elles creuseront moins ... à condition de trouver la bonne configuration !
Après quelques tâtonnements :
- A et B se rejoignent au milieu de [AB], puis ensemble vont au centre. Et idem pour C et D. Mais la longueur des galeries est encore trop longue.
- A,B et C se rejoignent au centre de gravité du triangle ABC, et rejoignent D au centre : idem trop long.

En notant O le centre du tétraèdre, l'idée est de faire se déplacer A et B dans le plan (OAB). Pour des raisons de symétrie, le mieux est qu'ils se rejoignent sur la médiatrice de (AB) qui passe par O. Ce sera la même chose pour C et D, avec les mêmes distances, donc je ne traite que le cas A et B.

J'ai utilisé un repère de centre A, (AB) axes des x, et axe des y dans le plan (ABC) (D est ainsi le sommet du tétraèdre)
Les coordonnées des points A,B,C,O et I (milieu de AB) sont donc :
[TeX]A(0,0,0)
B(1,0,0)
C(\frac12,\frac{\sqrt3}2,0)
I(\frac12,0,0)
O(\frac12,\frac1{2\sqrt3},\frac1{2\sqrt6})[/TeX]
(calculs assez faciles à faire en remarquant que D est à la verticale du centre de gravité de ABC)

Je peux ainsi caculer la distance OI :
[TeX]OI=\sqrt{\frac1{12}+\frac1{24}}
OI=\frac1{2\sqrt2}[/TeX]
Il ne reste plus qu'à trouver un point M, sur (OI), tel que la distance : AM + BM + MO soit minimale. Comme AM=BM, on veut que d=2AM+MO soit minimale.

Je me place maintenant dans le triangle ABO, et je note x la distance IM
Avec un peu de Pythagore :
[TeX]d(x)=2\sqrt{\frac14+x^2}+\frac1{2\sqrt2}-x
d(x)=\sqrt{4x^2+1}+\frac1{2\sqrt2}-x[/TeX]
On dérive par rapport à x :
[TeX]d'(x)=\frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}-1[/TeX]
Cette dérivée s'annule pour : [latex]x_0=\frac1{2\sqrt3}[/latex] (on doit pouvoir montrer proprement que c'est bien un minimum)
[TeX]d(x_0)=\frac2{\sqrt3}+\frac1{2\sqrt2}-\frac1{2\sqrt3}
d(x_0)=\frac{\sqrt3}2+\frac1{2\sqrt2}[/TeX]
On fait la même chose pour C et D, et on trouve la même valeur. Donc on double la distance qu'on vient de trouver pour avoir la longueur totale des galeries :
[TeX]L=\sqrt3+\frac1{\sqrt2}[/TeX]
Y a besoin de montrer que cette longueur est la plus petite qu'on puisse trouver ?

 #13 - 20-02-2011 11:28:56

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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les 4 tauped

Bravo L00ping007, tu es le premier.

 #14 - 20-02-2011 11:46:32

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Les 4 tuapes

le chemin le plus court le trouve au centre de la sphere circonconscrite au tetraedre.
ABCD le tetraedre
G le centre de gravité de la face ABC alors si H est le pied de la hauteur de A alors AH=[latex]\sqrt3\over2[/latex] d'après le théorème de Pythagore
donc AG=[latex]2\over3[/latex]AH=[latex]\sqrt3\over3[/latex]
Soit O le centre de la sphere circonscrite alors DO=[latex]3\over4[/latex]DG car O est la barycentre (A;1)(B;1)(C;1)(D;1) et G barycentre de (A;1)(B;1)(C;1) d'où O barycentre (G;3)(D;1)

le triangle ADG est rectangle en G d'où DG²=1-[latex]1\over3[/latex]=[latex]2\over3[/latex] d'après le théorème de Pythagore donc DG=[latex]\sqrt{2\over3}[/latex] donc DO=[latex]{3\over4}\times{\sqrt{2\over3}}[/latex]=[latex]\sqrt{3\over8}[/latex]

 #15 - 20-02-2011 23:59:01

gasole
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les 4 tzupes

Après avoir réfléchi un peu, j'ai entrepris des recherches... Je vais tâcher d'utiliser le moins de formules possibles.

Pour un triangle équilatéral (=donnée de 3 points), si l'on conserve 2 arêtes du triangle, la distance sera de 2. La solution optimale est connue, il faut ajouter un point (au centre du triangle) qui rejoint chacun des sommets pour une distance totale de 3^(1/2).

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Steiner_3_points.svg/220px-Steiner_3_points.svg.png

Ce point qu'on ajoute s'appelle un point de Steiner, c'est un point de jonction autre qu'un des points donnés initialement.

Pour le carré, la solution optimale consiste à ajouter 2 points de Steiner.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Steiner_4_points.svg/220px-Steiner_4_points.svg.png

En dimension 2, un point de Steiner PS est toujours relié à exactement 3 autres points A1,A2,A3, et les angles (Ai,PS,Aj) sont tous égaux à [latex]\frac{2\pi}{3}=120^{\circ}[/latex] (sinon on peut faire mieux).

En dimension 3, je n'ai pas trouvé grand chose...

Il s'agit ici de déterminer un arbre de Steiner pour un tétraèdre régulier (cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Arbre_de_Steiner ). 

On appelle degré d'un sommet le nombre de sommets auxquels il est relié.
Un PS a un degré au moins égal à 3 (sinon il est inutile).

Le problème est de déterminer le nombre de points de Steiner noté [latex]p[/latex] qu'il faut ajouter... Il en faut au moins un dans la mesure où, tracer directement les galeries entre sommets, et donc passer uniquement par les arêtes du tétraèdre, donne une distance totale de 3 pour relier tous les sommets, alors qu'ajouter le point de Steiner pour la base du tétraèdre puis relier ce point au sommet est moins couteux.

Cas p=1
La première idée (très symétrique) est d'ajouter un PS au milieu du tétraèdre, et en effet, avec un seul PS c'est le mieux qu'on puisse faire. Pas besoin de calculs, on s'en sort avec une "démonstration" mécanique smile.
Soit M ce PS (voir figure), fixons les distances DM et AM (imaginons que les segments DM et AM soient des barres de fer librement articulées en D, en M et en A), les positions possibles du point M sont représentées par l'ellipse du diagramme.

http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-point-de-steiner-tetraedre.JPG

Le long de cette ellipse, AM+DM est fixe, et seuls varient CM et BM. Il est évident que CM+BM est minimal quand CM=BM (Pour s'en convaincre, imaginons une corde fixée en A, passant dans un anneau en M, et on tire dessus depuis B pour la raccourcir, M se fixera naturellement au point de l'ellipse à égale distance de C et B). On a aussi CF=BF, mais c'est clairement moins bon.

On peut réitérer le processus sur tous les couples de sommets, et on en conclut donc que M est à égale distance des 4 points, soit au milieu du tétraèdre, à distance [latex]\sqrt{\frac{3}{8}}[/latex] de chaque sommet pour un total de [latex]\sqrt{6}\sim 2.4495[/latex].

Cas p=2
Voyons ce qu'on peut faire avec 2 PS M1 et M2. On a nécessairement deux sommets initiaux (disons A et B) reliés à M1, et les deux autres à M2.

http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-point-de-steiner-tetraedre2.JPG

Pour les mêmes raisons que dans le cas p=1, M1 doit être à égale distance de A et de B, et M2 de C et de D.
On peut imaginer que l'angle (A,M,D) est articulé en M1, et (B,M2,C) en M2, la distance totale ne change pas lorsque les angles tournent autour des PS. Faisons les tourner jusqu'à ce que A,B,M1,C,D,M2 soient coplanaires.
En ce cas, on sait que les angles autour de M1 et de M2 sont de [latex]\frac{2\pi}{3}[/latex], on en tire la distance entre chacun des sommets et le PS auquel il est relié : [latex]\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/latex]. Reste à calculer la distance séparant M1 de M2. Soient X le milieu de AB et Y le milieu de CD, X,M1,M2 et Y sont alignés pour les raisons mécaniques évoquées plus haut. Or on a [latex]d(X,M1)=d(Y,M2)=\sqrt{d(A,M1)^2-d(A,X)^2}=\sqrt{1/3-1/4}=\frac{1}{\sqrt{12}}[/latex].
Il suffit de calculer d(X,Y) en appliquant Pythagore on trouve : [latex]d(X,Y)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex].

D'où un total de [latex]4.d(A,M1) + (d(X,Y)-2d(X,M1)) = \sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sim 2.439[/latex] ce qui est effectivement mieux qu'avec un seul PS.

Reste à examiner p>2.... aïe aïe aïe

Supposons qu'on ait M1, M2, M3,...,Mk, et disons que M1 est relié à A et B (entre autres) et M2 à C et D (c'est un minimum nécessaire), alors M3,...,Mk sont superflus, le moins couteux consistant à relier directement M1 et M2.

CQFD. Ouf !

 #16 - 21-02-2011 00:51:14

dhrm77
L'exilé
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mes 4 taupes

Solution 1:
Je positionne les quatre taupes (A,B,C,D) dans un systeme cartesien aux coordonnées suivantes:
A=[0, √3/3, 0]
B=[1/2, -√3/6, 0]
C=[-1/2, -√3/6, 0]
D=[0, 0, √3/6]
Le point d'origine O se trouve donc directement au dessous du sommet de la pyramide.
On peut facilement verifier que les distance A-B, A-C, A-D, B-C, B-D et C-D sont de 1.
Ensuite, je calcule les équations de la droite qui va de A a G, G etant l'epicentre du triangle BCD
(comme O est l'epicentre du triangle ABC)
Les équations sont X=0 et Z=-√2/4Y+√6/12
Le centre de gravité G de la pyramide est le point qui coupe cette droite avec la verticale qui passe par D.
On obtient donc les coordonées de ce point, en combinant ces équations:
G= [0, 0, √6/12]
La distance de G a A est √( (√3/3)^2 + (√6/12)^2 ) = √6/4 = 0.612372436
La distance de G a B est √( (1/2)^2 + (√3/6)^2 + (√6/12)^2 ) = √6/4 = 0.612372436
La distance de G a C est √( (1/2)^2 + (√3/6)^2 + (√6/12)^2 ) = √6/4 = 0.612372436
La distance de G a D est √6/3-√6/12 = √6/4 = 0.612372436
la somme des tunnels est donc √6 = 2.449489743
Cependant ni 0.612 ni 2.449 ne valident....

PS: il m'a fallu griffoner 4 pages de diagrames et calculs pour trouver cette solution....

Solution 2:
Les taupes se retrouvent 2 a 2 quelque part en direction du centre de la pyramide.
Je construit donc entre les points A, B et G un triangle isocele de base 1, et de coté √6/4.
M étant la distance de G a X, et N la distance de X a A, le point X de rencontre d'un groupe de 2 taupes est tel que la distance M + 2 * N  est minimale. Apres de long calculs je trouve:
M = (3×√2−2×√3)÷12 = 0.064878256
N = √(1÷12+1÷4) = 0.577350269
d'ou la distance totale des taupes a parcourir = 2*M+4*N = 2.439157588


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #17 - 21-02-2011 11:50:08

gasole
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Lees 4 taupes

Merci pour tes messages, mais je ne les ai vus après avoir abouti, ma solution n'est donc sans doute pas la plus claire possible.

J'ai en effet compris que le site se trompait en découvrant une solution meilleure, mais je n'irai pas jusqu'à généraliser hors du cadre du tétraèdre régulier même s'il me semble que tu as raison avec un tétraèdre quelconque.
Mais es-tu sûr que quelque soit le nombre de points, on va n'utiliser que des PS de degré 3 (par exemple avec des polyèdres bizarres... ) ?

En tout cas, merci de m'avoir fait découvrir cette problématique très intéressante d'optimisation, j'ai appris plein de choses big_smile

 #18 - 21-02-2011 12:05:39

halloduda
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les 4 taypes

gazole oui.
drhm77 aussi.

 #19 - 21-02-2011 12:23:29

gasole
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Les 4 tauppes

Une dernière remarque histoire de faire du mal aux mouches smile On pourrait s'attendre à ce que des taupes cherchent davantage à minimiser le temps passé à creuser qu'à minimiser la distance totale de galeries non ? Or après une jonction elles ne creusent pas deux fois plus vite smile (au mieux elles creusent une galerie deux fois plus large)

Pour minimiser le temps, le centre du tétraèdre est un meilleur choix.

 #20 - 21-02-2011 17:25:46

Franky1103
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lzs 4 taupes

Bonjour,
J'étais persuadé que la réponse était 4 fois la distance d'un sommet au centre de gravité du tétraèdre (soit V6=2.449 env.), mais cette réponse est refusée.
Et effectivement, cette réponse serait trop simple, mais je sèche complètement.
Je ne vois pas comment la solution ne pourrait pas être "symétrique". Pour le carré, la réponse est plus "visible" (1+V3=2,732 env. et pas 2V2=2,828 env.).
Bonne journée.
Frank

 #21 - 22-02-2011 13:29:56

halloduda
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Les 4 taupse

Il était tentant de relier le centre G aux quatre sommets. Ce n'était pas l'optimum.

D'abord une évidence pour interconnecter 3 points ABG avec une longueur minimale.
PA+PB+PG est plus court que GA+GB, pour peu que l'angle AGB soit < 120 degrés.

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-P2T-4-taupes1.JPG

Appliquons-la  avec ABG et CDG dans le tétraèdre, où les angles G valent environ 109 degrés.

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-P2T-4-taupes.JPG
[TeX]AM=\frac {\sqrt 3} 2[/TeX]
[latex]MO^2=MA^2-OA^2[/latex] ; [latex]MO=\frac 1 {sqrt 2}[/latex].

Les noeuds P et Q de la figure sont appelés "points de Steiner".
Comme [latex]PO=\frac {AO} {\sqrt 3}[/latex], on trouve alors :
longueur creusée = [latex]\sqrt 3+\frac 1 {sqrt 2}\approx 2.43916...[/latex].
La case de vérification validait "2.439".

Cela peut aussi s'appliquer dans un plan (ABCD carré),
pour lequel la distance minimale est [latex]1+\sqrt 3[/latex] et non [latex]2\sqrt2[/latex].
L'exemple en est donné sur Wikipedia "arbre de Steiner" (donné en indice).

 #22 - 22-02-2011 13:36:43

gwen27
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Les taupes

Désolé, j'ai abandonné avant la fin. Trop dur pour moi. Mais mes préconçus en prennent un coup.

 

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Angle 120 degres (29) — 120 degres (28) — Tetraedre (11) — Point de steiner (11) — 120 degre (8) — Quatre mouches sont initialement placees (8) — 4 point plus court chemin possible carre (6) — Chemin le plus court pour relier les angles d un carre (6) — Triangle 120degre (5) — Le plus court chemin c est la ligne droite mais le plus cher ? (5) — Calcul angle tetraedre (4) — Centre de gravite triangle plein (4) — Le double tetraedre (4) — Prouver colineaires triangle bc= 1/3 (4) — Points de steiner (4) — Distance parcourue par une taupe (4) — Angle 120degres (4) — Angle a 120 degres (4) — Enigme taupe (3) — Pyramide triangulaire 3d centre de gravite (3) — Relier sommet carre court (3) — Distance minimale dans un carre (3) — Trigonometrie pyramide (3) — Devinette plus court chemin entre 4points (3) — Dm de maths sur le calcul du nombre de briques d une pyramide (3) — Barycentre (2) — Boite tetraedre irregulier (2) — Angles 120 degres (2) — Degres angle (2) — Tetraedre regulier calculer l angle oab (2) — Quatres mouches sont aux sommets d un carre de centre o (2) — Arretes de triangle (2) — Groupe de taupe math (2) — Sph ere circonscrite au t etra edre (2) — Tete abg (2) — Cercle 120 degres (2) — Baricenter (2) — (2) — Enigme courte (2) — Angle 60 degres (2) — Chemin de steiner quatre sommets d un carre (2) — Position centre tetraedre (2) — Point de steiner distance monimale (2) — Degres angle pyramide hauteur 40 cm (2) — Centre de gravite d un tetraedre (2) — Angle de 41 degres (2) — Qu est que c est 4 point coplanaires (2) — Comment tracer trois repere sur un cercle a120 degre chacun (2) — Point s (2) — Volume d un tetraedre regulier (2) — Tetraedre regulier barycentre (2) — Epicentre d un triangle (2) — Ou placer le point m sur ab d une pyramide reguliere (2) — 3 point se rejoignant en 1 centre (2) — Triangle isocele 3 points alignes triangle isocele 3 points alignes triangle isocele 3 points alignes (2) — Enigme des 4 chemins (2) — Tracer un triangle equilateral de 8 cm tracer 3 mediatrices triangle abc elles coupent en o tracer le cercle de centre o passant par abc la droite ao recoupe le cercle en f la droite bo recoupe le cercle en d et la droite co recoupe le cercle en e (2) — Barycentre pyramide (2) — Bari centre mathematique (2) — Calculer la hauteur as de la pyramide oabc a base triangulaire (2) — Devinette taupe (2) — Comment calculer le volume d un triangle (2) — (2) — Images pyramide a 4 triangles equilateraux (2) — Chemin le plus court sur un carre (2) — (2) — Distance minimale entre trois points point de steiner (2) — Tracer pyramide 3 aretes (2) — Barycentre point g (2) — Devinette 4 points (2) — Trigonometrie pyramide base triangulaire (2) — Le plus court chemin c est la ligne droite mais le plus cher (2) — Construit le p symetrique du point r par rapport au point c dans un triangle (2) — Tracer pyramide 3 cotes (2) — Quatres mouches sont initialement place (2) — La ligne droite est le chemain le plus court d un point a un autre demontrez (2) — 4 taupes (2) — Enigme chemin le plus court entre 4 points (1) — Chemin le plus court pour relier les quatre sommets d un carre (1) — Arbre de steiner 4 points (1) — Angle de 120 degres (1) — Devinette taupe tunnel (1) — Pythagore dans une pyramide a base hexagonale en 3d (1) — Chemin le plus court sur une pyramide (1) — Enigme distance la plus courte relier 4 points (1) — 4 mouches sont au sommet d un carre (1) — Ou placer le point m tel que le trajet am + bm soit minimal (1) — Coordonnees cartesiennes des sommets d un tetraedre (1) — Trajet le plus court dans un carre (1) — Steiner taupe (1) — Demontrer trajet plus court entre 4 points rectangle (1) — Barycentre d un carre (1) — Deplacer 3 allumettes pour changer la direction (1) — Distance la plus courte entre les sommets d un carre (1) — Abcd est un triangle de centre o tel que dc=2v2 et ad =2 (1) — Isobarycentre d un tetraedre abcd (am+bm+cm+dm). (am+bm-cm-dm) (1) — Enigme 4 taupe (1) — Triangle somme des angles 220 degr?s (1) — Calcul du plus court chemin dans un cube d u point g a un point a (1) — Abcd est un triangle de centre o tel que dc=2v2 et ad=2 (1) — Devinette pour taupe (1) — Tetraedre et deux point varie sur les cotes le milieu (1) — Abcd est un rectangle de centre o i est le milieu de ab on donne ad=2 et dc=2v2 (1) — Trouver le chemin le plus court entre les sommets d un carre d un dm de cote (1) — 120degres angle (1) — Devinette sur taupe (1) — Distance parcouru par les taupes (1) — Probleme de steiner demonstration 4 points (1) — Calcul point de steiner (1) — L isobarycentre de quatre sommet d un tetraedre formes par quatre centres des spheres (1) — Quel est le chemin le plus court pour relier 4 points (1) — 4 mouches sont initialement placees aux quatre sommets d un carre abcd (1) — Taupe distance creusee (1) — Distance sommets centre tetraedre regulier (1) — 4 mouches sont initialement placees aux quatre sommets d un carre abcd. (1) — Distance sommet centre tetraedre regulier (1) — Chemin le plus court entre les sommets d un carre (1) — Jeu de logique 4 ponints a egale distance (1) — Calcul d angle et resolution triangle avec le nombre d or (1) — Astuce contre les taupes (1) — Enigme des 4 (1) — La taupe distance parcourue (1) — Pose un piege taupe (1) — Enigme 2.4495 (1) — Tetraedre somme minimale fermat point (1) — Hauteur pyramide quelconque (1) — Quatre mouches sont au sommet d un carre (1) — Un veut aller en m3 en empruntant le trajet m0m1m3. entre m1 et m3 il va 2 fois moins vite que entre m0 et m1. determiner la distance minimale pour arriver en m3 (1) — Points (1) — Jeu mathematique chemin le plus court pythagore ab (1) — Enigme les 4 (1) — Placer un point a egales distance de 4points quelconque (1) — (1) — 4 mouches sur les sommets d un carre (1) — Points de steiner pour 4 points (1) — Hauteur tetraedre demonstration (1) — Chemin le plus court entre quatre points (1) — Centre de gravite du tetraedre (1) — Angle 220 degres (1) — Mouvement de 4 mouche au sommet d un carre (1) — 4 mouches sur un carre mecanique (1) — Enigme la taupe (1) — Pyramide centre de gravite (1) — Poiint dont la somme des distaces a3points est minimum (1) — Tetraedre enigme mouche (1) — Plus court chemin entre 4 points d un carre (1) — Relier 4 points duu carre en sqrt(3) + 1 (1) — Distance la plus courte entre les 4 points carre (1) — Relier 4 cote d un carre le plus court (1) — (1) — Trajet le plus court entre 3 points (1) — 4 mouches distance parcourue (1) — Solution arbre de steiner (1) — Solution la longueur total des aretes d un tetraedre regulier est 56 (1) — Abcd tetraedre regulier. g est l isobarycentre de abcd.determiner une mesure de l angle agb (1) — Enigme avec taupe (1) — Steiner 4 points (1) — Enigme sur les taupes (1) — Tetraedre dans un repere (1) — Volume optimum d un tetraedre (1) — Quel est la pesanteur une taupe (1) — P=mg valeur de g (1) — Relier sommets triangle plus court (1) — G racine de 3 adg equilateral (1) — Relie un point a trois autres par le chemin le plus court (1) — Relier 4 sommets d un carre par un trajet le plus court possible (1) — Comment trouver la position du barycentre de la pyramide (1) — Point steiner carre (1) — Distance minimale a 4 points coplanaire (1) — Formules de calcul du baricentre (1) — Chemin minimal reliant les sommets d un carre (1) — Ga tetraedre (1) — La ligne droite la plus courte la quelel la plus chere ? enigme (1) — Nombre de spheres dans une pyramide (1) — Enigme 4 points chemin le plus court (1) — Devinette taupe (1) — Svg double tetraedre (1) — Regle p=2t (1) — Arbre de steiner 6 points (1) — Solution l araignee en a veut rejoindre la mouche en m en se deplacaunt sur le paralepipede quel chemain le plus court ?calculer a distance parcourue par l areignee (1) — Devinette un carre abcd un chien qui coure (1) — Distance minimale a 3 points (1) — Point de fermat tetraedre (1) — Demonstration tetraedre angle 109 (1) — 4 mouches sont initialement placees aux quatre sommets d un carre abcd. les coordonnees (1) — Casse tete ficelle 3 points solution (1) — Le plsu cour chemin entre les 2 sommets d un rectangle (1) — Devinette tetraedre (1) — Distance sommet centre d un tetraedre (1) — Solution 4 taupes tetraedre (1) — Am+bm est minimum (1) — Reperage des galeries de taupe a pieger (1) — Minimum longueur de pour relier points (1) — Qulles sont dans ce repere les coordonnees de chacun des sommets a b c et d du tetraedre (1) — Plus court chemin sur un tetraedre (1) — Distance parcourue par une taupe dans la journee (1) — Dans quels cas le point de steiner est il un barycentre (1) — Point c est a egale distance de a et b mais aussi a 50 perticas du point d (1) — Enigme distance min 4 points (1) — Montrer qu un triangle est rectangle avec des degres (1) — Une distance exacte en metres de chacun des sommets (1) — Abcd est un tetraedre regulier. on note a le centre de gravite de la face bcd et g le barycentre du systeme {(a;1)(b;1)(c;1)(d;1)} (1) — Quatres mouches sont aux sommets a1a2 (1) — Trajet le plus court sur tetraedre (1) — Optimisation plusieurs solutions triangle ajouter 1 (1) — Solution du casse tete des 4 points qu il faut relier (1) — Distance la plus ciurte entre les 4 points carre (1) — Resolution du chemin le plus court pyramide de nombre (1) — Le tetraedre (1) — Jeux de logique 4 points a egale distance (1) — Tetraedre irregulier (1) — Tetraedre distance sommet centre (1) — Le plus court chemin c est la ligne droite mais le plus cher ? enigme (1) — Quatre mouches sont initialement placees aux quatre sommets d un carre abcd. les coordonnees cartesiennes des sommets du carre sont: (1) — 3 mouches m1m2 et m3 initialement situees aux trois sommet abc (1) — Barycentre soit abcd un carre de centre o et de cote 6. soit p le baricentre du systeme (a;1) (b;2) (1) — Quatres mouches a b c d sont initialement (1) — Calculer exactement le chemin le plus court entre deux centres de gravite de triangles d un tetraedre (1) — Jeu d allumettes (1) — Deplacer une allumette pour faire un carre (1) — Joindre 3 points cube trajet le plus court (1) — Accepter valeur numerique avec point php (1) — La position du barycentre de la pyramide (1) — Quatres mouches sont initialement placees aux quatres sommets d un carre abcd. les coordonnees cartesiennes du sommet sont (1) — Linge de steiner pour 4 points (1) — Jeu d allumettes deplacer pour avoire la formule exacte (1) — Tetraedre mouche (1) — Chemin le plus court carre (1) — Angle a 120 degres d un triangle (1) — Enigme sur la taupe (1) — Chemin plus court 4 points (1) — Le katre tonpe (1) — Quel est le chemin le plus court pour connecter les 4 sommets carre (1) — Epicentre tetraedre (1) — Centre de masse tetraedre plein (1) — Solution le plus court chemin c est la ligne droite mais le plus cher ? (1) — Isobarycentre de 3 points 120 degres (1) — Quatre mouches a b c d (1) — Point de steiner et barycentre (1) — Devinette courte sur les taupes (1) — Devinette quatre bonhommes (1) — Quatre chiens sont place?s aux sommets a b c et d d?un carre? (1) — Centre de gravite plus court chemin (1) — Distance d une galerie de taupes (1) — Enigme relier 4 points en moins de 3 axes (1) — Angle 120 degres + chemin minimal (1) — Abcd est un tetraedre regulier d arete a. l une de ses hauteurs est le segment ag ou g est le centre de gravite de bcd (1) — 4 mouches sont initialement placees aux quatre sommets d un carre abcd. les coordonnees cartesiennes (1) — Comment relier les quatres sommets d un carre par un chemin de longuer minimale (1) — Taupe distance parcourue en une journee (1) — Probleme de steiner pour un carre (1) — Racine carre de deux pyramides (1) — Plus court chemin reliant quatre sommets carre (1) — Calcul distance sommet centre tetraedre (1) — Plus petit chemin reliant quatre cotes carre (1) — Chemin le plus court sur les faces d une pyramide (1) — Logique relier les sommets de 3 triangles a 3 cercles (1) — Plus court chemin entre 4 points sommet (1) — Teteabg (1) — Solution plus court chemin sur une pyramide (1) — Quatre mouche sont initialement aux quatres sommets (1) — Devinette taupe carre (1) — Un rectangle aedc quelles sont les mesure de bc et de cd justifier (1) —

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