Enigmes

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 #1 - 22-06-2011 18:01:24

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

une fonction passe paetout partout

Existe-t-il une fonction f définie sur les réels à valeur dans les réels tel que l'image de tout intervalle ]a,b[ , non vide et aussi petit soit il, soit l'ensemble des nombres réels.

Autrement dit quel que soit le nombre Y et l'intervalle ]a,b[, il existe un X dans cet intervalle (même une infinité de X) tel que f(X) = Y .

Si une telle fonction existe, donnez en un exemple (accompagné d'un graphique lol ).


Pour l'instant je ne donne pas d'indice pour laisser libre cours à votre créativité smile


Edit:   J'ai l'impression que beaucoup de gens interprètent mal le problème. J'ai souligné pour être clair que : la fonction passe par tout les réels dans tous les intervalles, (d'où la répétition "partout partout" du titre qui n'est pas une faute de frappe)
        La fonction n'est donc continue nulle part et son graph est un nuage de points dense qui occupe tout la plan. Il est donc inutile d'essayer de composer entre elles des fonctions continues par morceaux usuelles comme tan,sin,cos,exp,+,-,/,*... (ce qui n'interdit pas de les utiliser composés avec des fonctions plus exotiques). Il existe pleins de propriétés des nombres utilisables pour définir une fonction.


Indice 1:Spoiler : [Afficher le message] Oui c'est possible ! Et ma solution n'est pas abstraite et compréhensible par tous, donc ne perdez pas courage wink .
Je donnerais des indices plus tard, je voudrais d'abord voir si il n'existe pas des pistes complètements différentes de la mienne. 


Indice 2:Spoiler : [Afficher le message]  L'écriture décimale (ou binaire) des réels est un champ de recherche fertile : Pour appartenir à un intervalle donné, il suffit de fixer un nombre fini de chiffre, par exemple 3.5215... pour appartenir à ]3.521,3.522[.
Il reste encore une infinité de chiffres libres pour nous emmener partout (avec la bonne fonction wink)


Indice 3: Spoiler : [Afficher le message] Pour que les premières décimales de x aient une incidence nulle sur f(x) par rapport à leur ensemble, on peut essayer de donner autant de poids à toutes les décimales.
On peut par exemple compter combien de fois un chiffre réapparait dans les n premières décimales, ainsi l'ordre de ces n décimales ne compte plus.



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 #2 - 22-06-2011 18:13:22

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Une foncction passe partout partout

DEMO GLOBALE COURTE:

Salut,
On peut être dense sur un intervalle avec un nombre dénombrable de valeurs. (par exemple les rationnels).
Du coup on peut concevoir sur R une infinité non dénombrable d'orbites chacunes denses dans R. Il suffit de leur associer a chacune un réel différents, notre fonction prendra donc ce réel comme valeur en tout point de l'orbite associée.

CQFD.

 #3 - 22-06-2011 18:47:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

une fonxtion passe partout partout

Il me semble qu'on aurait alors pour tout réel [latex]x[/latex] [latex]f^{-1}(x)=\mathbb{R}[/latex] ce qui est impossible .

Vasimolo

 #4 - 22-06-2011 18:48:16

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Une fonction passe parout partout

Clydevil : Spoiler : [Afficher le message] Très juste et concis, je n'avais pas pensé à prendre le problème de manière globale. Essaye de trouver une fonction défini "directement" à partir d'un réel x donné, f(x) = ...

Vasimolo : Non, par exemple la fonction indicatrice des rationnels, elle a une infinité de un dans chaque intervalle non vide mais sa réciproque appliqué à 1 vaut Q et non R.

 #5 - 22-06-2011 19:04:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Uen fonction passe partout partout

Je cherche une fonction qui à l'infini de réels renvoie un intervalle...
"Partie décimale" par exemple.

Son inverse marcherait bien :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-fonctionrdansrlimite.jpg

PS, là c'est partie décimale, je ne vois pas comment représenter son inverse à part en faisant faire 1/4 de tour à mon schéma.

 #6 - 22-06-2011 19:19:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

une fonction passe partour partout

Il me semble que si on considère un élément "x" quelconque de l'ensemble d'arrivée , il doit avoir un antécédent dans chaque intervalle ouvert et non vide de [latex]\mathbb{R}[/latex] c'est à dire qu'il doit avoir l'ensemble des réels comme antécédent , n'est-ce pas une contradiction ?

Vasimolo

 #7 - 22-06-2011 19:38:41

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

unz fonction passe partout partout

Bonjour,

Je ne suis pas certain d'avoir très bien compris la question.

Est-ce que la fonction [latex]f(x)= \frac 1 {b-x} - \frac 1 {x-a}[/latex] définie sur l'intervalle ]a, b[ répond à la question ?

Klim.

[Edit] D'accord, je me doutais bien que je n'avais pas compris la question ! big_smile
Alors je vous laisse entre matheux, je me contenterai de mater la réponse...


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 22-06-2011 19:41:35

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Une fonction passe artout partout

gwen27 : Il s'agit de trouver une fonction qui associe un réel à un réel et non une fonction qui associe un ensemble à un réel.

Vasimolo : On peut effectivement trouver une suite de d’antécédent d'un "x" donné qui se rapproche autant que l'on veut de n'importe quel réel "y", mais ça ne signifie pas que f(y)=x.

Exemple (qui ne répond pas au problème ce serait trop facile wink ) :

la fonction f : x-> sin(1/x) et telle que f(0)=0.
Cette fonction oscille de plus en plus vite en se rapprochant de 0. Ainsi dans tous les intervalles contenant 0,  f(]a,b[)= [-1,1] donc on peut trouver une suite d'antécédent de n'importe quel réel "x" de [-1,0[ U ]0,1] qui se rapproche de 0, pourtant f(0) n'est pas égale à x.


Klimrod : Non, il faut que ça marche pour tout les intervalles de la forme ]a,b[  en même temps

 #9 - 22-06-2011 19:44:43

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Une fonciton passe partout partout

Aussi petit soit-il, alors [latex]\mathbb{C}[/latex] contient [latex]\mathbb{R}[/latex] donc l'ensemble des réels est plus petit donc les bornes de cette ensemble aussi tongue

On définie n'importe quel fonction comme par exemple [latex]f\big(\frac{1}{x^2+1}\big)=e^x[/latex]

Plus sérieusement :

[latex]f(x)=x[/latex] est un bon choix soit l'ensemble [latex]]x-1;y+1[ \text{alors si }(x;y) \in (]x-1;y+1[)^2[/latex] il existe bien une fonction "passe partout telle que [latex]f(x)=x[/latex] sauf erreur du genre f(1)=0 lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 22-06-2011 20:19:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Une foncction passe partout partout

gwen27 a écrit:

gwen27 : Il s'agit de trouver une fonction qui associe un réel à un réel et non une fonction qui associe un ensemble à un réel.

Dans ce cas, forfait, désolé, ce n'est pas de mon niveau, je n'avais pas bien lu l'énoncé.

 #11 - 22-06-2011 21:03:45

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Une fonction passe paartout partout

f(x)=tan(x).e^(-x)


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #12 - 22-06-2011 21:18:35

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Une fonction passe partout parotut

Je dirais f(x) = 1/(b-x) - 1/(x-a)
En a, f(x) tend vers -infini; en b vers +infini; et la fonction est continue

 #13 - 22-06-2011 22:34:27

petitjuas
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Une fonction passe partout partot

f(x)=1/(a-x) + 1(b-x)

 #14 - 22-06-2011 22:35:20

petitjuas
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Une fonction passee partout partout

1/(a-x) + 1/(b-x)

 #15 - 22-06-2011 23:11:28

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Une fonction passe partout partou

Salut !

Alors moi j'ai pensé à la fonction tangente.

Mais pour ça on a besoin de transformer l'intervalle ]a;b[ en ]-pi/2; pi/2[.

Le plus simple c'est la transformation affine telle que g(a)=-pi/2 et g(b)=pi/2

Je vous fais grâce du calcul et on trouve : coefficient directeur = pi/(b-a), et ordonnée à l'origine = pi(a+b)/2(a-b), donc :
g(x)= pi(2x-a-b)/2(b-a)

(on peut vérifier aisément que g(a)=-pi/2, et que g(b)=pi/2)

Je propose donc simplement f(x)=tan[pi(2x-a-b)/2(b-a)]

 #16 - 23-06-2011 10:00:28

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Une fonction passe partout prtout

Juste dans le but de partager avec tout le monde:

http://allken-bernard.org/pierre/weblog/?p=1520

 #17 - 23-06-2011 13:35:25

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

une fonction paqse partout partout

(Suite)
Salut,
Ha oui tu as une approche constructive? Mon flair me disait qu'on avait besoin de l'axiome du choix quelque part.
Clairement si tu peux exhiber une telle fonction alors tu définies bien des orbites dense sur R. (ou sur un orbite f(x) est constant) du coup si tu peux construire f(x) à partir de x c'est comme si tu pouvais associer à chaque orbite un unique réel et mon cerveau me disait qu'il y avait de l'axiome du choix dans l'air.
Je vais tenter de trouver avec l'approche constructive.

 #18 - 23-06-2011 15:48:35

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

une gonction passe partout partout

Clydevil : Non mon approche n'est pas parfaitement constructive. Par contre en se restreignant à Q ma fonction est définie de manière constructive et est "passe partout partout" de Q vers Q.

 #19 - 23-06-2011 17:24:43

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Une ofnction passe partout partout

Je définis la relation d'équivalence suivante :
x est équivalent à y si il existe t rationnel non nul tel que x=ty.

Soit S un système de représentant de R quotienté par cette relation.
Soit r(1),r(2)..... un dénombrement de Q.

Soit alors f(p/q*s)=r(|p-q|)s où p/q est une fraction irréductible et s un élément de S.

A finir...

smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #20 - 23-06-2011 18:45:05

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

une fonction oasse partout partout

Yanyan : Tu as la même approche que Clydevil, par contre je pense qu'il faut retravailler ta fonction car en posant a=s*p l’ensemble {a/q | q entier} n'est pas dense dans R.

 #21 - 23-06-2011 21:02:19

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Une fnction passe partout partout

J'ai bien cherché une fonction définie de façon constructive (pour moi cela veut dire qu'on peut la calculer) et je n'ai pas trouvé.neutral


J'ai une solution non-constructive sinon, je te laisse juger:


L'idée est de considérer l'ensemble des réels quotienté par l'ensemble des rationnels, noté [latex]E=\mathbb{R}/\mathbb{Q}[/latex]. Ce quotient est associé à la projection [latex]p:\mathbb{R}\rightarrow E[/latex].
Il existe une surjection [latex]b:E\rightarrow\mathbb{R}[/latex] (car [latex]\mathbb{Q}[/latex] est de cardinal inférieur à [latex]\mathbb{R}[/latex]).
Soit [latex]f[/latex] la fonction composée [latex]f=b\circ p[/latex].


Maintenant faut montrer que [latex]f[/latex] est passe partout partout.
Soit [latex]I[/latex] un intervalle ouvert non vide. Soit [latex]Y[/latex] dans [latex]\mathbb{R}[/latex].

Comme [latex]b[/latex] est surjective, il existe [latex]e\in E[/latex] tel que [latex]b(e)=Y[/latex].
Considérons maintenant l'ensemble des antécédents de [latex]e[/latex] par [latex]p[/latex], cet ensemble est dense dans [latex]\mathbb{R}[/latex] donc intersecte l'intervalle [latex]I[/latex]. Soit [latex]X[/latex] un réel dans l'intersection de ses deux ensembles, alors [latex]X\in I[/latex] et [latex]p(X)=e[/latex].

Au final, on a:
[latex]X\in I[/latex] et [latex]f(X)=b(p(X))=b(e)=Y[/latex].


Sympa comme problème... cool

 #22 - 24-06-2011 12:00:36

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

une fonction passe paetout partout

irmo322 : Bravo, tu as exactement la même définition que Clydevil lol , avec une démonstration mieux détaillé.

Je vais rajouter un indice, qui devrait vous permettre de trouver des fonctions définies de manière unique.

Pour la constructibilité, je ne suis pas expert dans ce domaine neutral, mais il me semble que comme on ne peut définir de manière constructive qu'un nombre dénombrable de réels (l'ensemble des définitions de longueur finis étant dénombrable), toute fonction sur les réels est au mieux constructible sur un nombre dénombrable de réels constructibles.

Quand à ma fonction, elle est définie de manière constructive en suffisamment de réels pour passer partout par tout les réels constructibles. J'espère que je ne suis pas abscons  big_smile

 #23 - 24-06-2011 14:14:56

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

ne fonction passe partout partout

J'ai donné plus haut un lien qui contient une façon complète et détaillée de construire une telle fonction...

 #24 - 24-06-2011 15:35:36

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Une fonction passe partout artout

rivas : Oui j'avais vu le lien, mais j'aurais préférer une réponse personnelles wink.
Cependant en revisitant le lien et en relisant attentivement, je trouve deux problèmes majeurs à la fonction proposé neutral:

1) d'abord ce qui est défini n'est pas une fonction mais une suite de fonction, car [latex]f(x) = g_n(x)[/latex] : En effet dans la démonstration on fixe d'abord les intervalles, puis on choisit le n comme ça nous arrange. Ensuite rien ne prouve que la suite de fonction [latex]g_n[/latex] converge simplement vers une fonction, c'est à dire que quel que soit x [latex]lim g_n(x)[/latex] existe.
Pour ma part je pense qu'elle ne converge pratiquement nul part, les valeurs de [latex]g_n(x)[/latex] n’arrêtant pas de sauter quand n augmente.


2) deuxième problème : le problème posé n'est pas exactement le même, puisqu'il s'agit d'être dense dans les réels et non de de passer par tous. Pour montrer la différence, je redonne l'exemple de Q, l'ensemble des fractions rationnel qui est dense dans R mais est différent de lui. La propriété passe partout partout n'est pas démontré pour la fonction car en prolongeant "f à R n'importe comment, par exemple en posant f(x)=0", sa fonction manque tout les nombres irrationnels .

Je fais suivre le lien http://allken-bernard.org/pierre/weblog/?p=1520


PS: vos réponses me donne plus de fil à retordre que je ne l'aurais pensé, surtout quand il y a des erreurs hmm

 #25 - 24-06-2011 16:06:06

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

une fonctiin passe partout partout

smile Moi je me contente de mon idée de départ. tongue Je serais curieux de voir la construction partielle de la chose mais à partir du moment ou on peut très rapidement démontrer que c'est possible et ou on ne peut pas la construire (puisque "partiellement" ce n'est pas le faire, c'est même manquer la majorité des valeurs de R en antécédent comme en image si j'ai bien compris tongue)
Mais c'est une belle fonction que tu nous as proposé que j'ajoute à mon panier de bébés monstres tongue

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(2) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2) (2) — Plus grand nombre denombrable 012 (2) — 0 1 2 denombrable plus grand (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les chiffres 012 (2) — Enigme plus grand denombrable (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec 012 (2) — Petits pour un grand quel est le plus grand nombre (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec ses 3 chiffre 0 1 2 (2) — Quelle est le plus grand nombre denombrable que l on peut former (2) — Enigme petits pour un grand denombrable (2) — Enigme 0 1 2 denombrable (2) — Gasole d?cimales (2) — Enigme grand denombrable 012 (2) — Plus grand nombre que l on peut former avec 0 1 2 (2) — Enigme et fonction (2) — Le plus grand nombre avec 19 fois le chiffre 1 (2) — Enigme le plus grand nombre denombrable avec 0 1 2 (2) — Le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 ? (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec les chiffres 0 1 2 (2) — Inverse fonction partie decimale (2) — Enigme il est partout (2) — Nmmbre denombrable (2) — Enigme petit pour grand nombre (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? enigme (2) — Nombre denombrable avec le 0 1 2 (2) — Plus grand nombre denombrable 0 1 2 enigme (2) — Reponse quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable.que lon peut former avec 3 chiffres (2) — Le plus grand nombre avec 0 1 2 (2) — Enigme passe partout (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec 3 chiffre (2) — Enigme nombre denombrable (2) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut formet avec les 3 chiffres 0 1 2 (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? enogmes (2) — Ensemble reel et intervalles math (2) — Plus grand nombre denombrable 0 1 2 enigme (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former (2) — Plus grand nombre possible que l on peut former a l aide de quatre 2 (2) — Plus grand nombre denombrable avec les 3 chiffres : 0 1 2 enigme (2) — Plus grand nombre denombrabke avec 2 0 1 (2) — Quelle est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec 012 (2) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? (2) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 (2) — Plus grand nombre denombrable 2 1 0 (2) — Le plus grand nombre denombrable avec a (2) — Plus grd nombre denombrable 0 1 2 (1) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable avec 3 chiffre : 0 1 2 (1) — On considere la fonction g definie sur ]-1 ; 0[ u ]0 ; 1] par calaculer la limite de g quand x tend vers o par valeur inferieur (1) — Quel est plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 enigme (1) — Denombrable 0 1 2 ? (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable former avec 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable enigme (1) — Denombrable avec 0 1 2 (1) — Solution denombrable 012 (1) — Grand denombrable 0 1 2 (1) — Nombre denombrable definition (1) — Enigme quelle est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec trois chiffres 0 1 2 (1) — Denombrable 012 enigme (1) — Enigme le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec 0 1 2 (1) — 0 1 2 enigme denombrable (1) — Plus grand nombre denombrable avec 3 chiffres (1) — Quel est le nombre le plus grand nombre denombrable (1) — Exemples nombres denombrables (1) — Reponse enigme quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 (1) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut (1) — Nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand chiffre denombrable enigme (1) — Enigme le plus grand nombre denombrable (1) — Quel le plus petit nombre denombrable (1) — Passe partout solution des jeux du numero 26 (1) — Plus grands nombres denombrables (1) — Plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? (1) — Nombres denombrables 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre avec 012? (1) — Quel est le plus grand denombrable avec 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut ecrire enigme (1) — Chiffre denombrable 012 (1) — Grand nombre denombrable avec les 3 chiffres 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) 0 1 2 (1) — Enigmequel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 enigme (1) — Petit pour grand enigme (1) — Quel est le plus grand nombre d?nombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 enigme (1) — Quel est le plus grand denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? (1) — Plus grand nombre 0 1 2 enigme (1) — Petit pour un grand enigme soluce (1) — Plus gran nombre denombrable 0 1 2 (1) — Plus grand nombre denombrable avec 2 1 et 0 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 ? (1) — Petits pour un grand solution (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 123 (1) — Quel plus grand nombre denombrable avec 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable forme avec les 3 chiffres (1) — Quel est le plus grand nombre d?nombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 0 1 2 (1) — Chiffres denombrable (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec 3 chiffre 0 1 2 (1) — Fonction partie decimale (1) — Quel est le plus petit nombre entier avec 014 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 ? enigme (1) — Petits pour un grand enigme denombrable (1) — 0 1 2 chiffre denombrable (1) — Nombre denombrable enigme 012 (1) — Nombres denombrable 0 1 2 (1) — Quel est le olus grand nombre denombrable (1) — Grand nombre denombrable avec 012 (1) — Lus grandnombre 1 2 3 denombrable eigme (1) — Quel est le plus denombrable (1) — Former un nombre avec 1 (1) — Le nombre denombrable (1) — Le plus grand nombre denombrable enigme (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 ? (1) — Un nombre a 3 chiffres est 26 fois plus grand que le nombre a deux chiffr (1) — Enigme 2 1 0 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec les trois chiffres 0 1 2 (1) — Solution enigme petit pour un grand (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec les 3chiffres 012 (1) — Enigme 0 1 2 plus grand denombrable (1) — Comment representer une construction (1) — Petits pour un gra (1) — Plus grand nombre entier avec 0 1 2 (1) — Solution enigme je fait de la musique et suis abstrait en mathematique (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec les 3 chiffres suivant : 012 (1) — Quel est le plus grand chiffre denombrable que l on peut former avec les (1) — Enigme le plus grand nombre 0 2 3 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l:on peut former avec les 3 chiffres 012 (1) — Denombrable 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre 0 1 2 (1) — Pensez a un nombre plus grand que 2 forum (1) — Plus grand nombre avec 19 fois le chiffre 1 (1) — 012 denombrable (1) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les3 chiffres : 012 (1) — Solution quel est le plus grand nombre denombrable (1) — Nombre denombrable exemple (1) — Je fais de la musique et suis abstrait en mathematique enigme (1) — Enigmepetits pour un grand (1) — Quel le plus grand nombre denombrable (1) — 0 1 2 le plus grand nombre (1) — Enigme petit pour un grand quel est le plus (1) — 0 1 2 nombre denombrable le plus grand (1) — 1 u 1/3 est plus grand oui ou non (1) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable forme avec 012 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 0 1 2 ? ( (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les : 0 1 2 ? (1) — Pass partout enigme (1) — Je fais de la musique et suis abstrait en mathematique (1) — Enigme nombre former denombrable 0 1 2 (1) — +allken bernard (1) — Le plus grand nombre former avec 012 (1) — Solution enigmes quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former (1) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 (1) — Petits pour un grand - quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? ( (1) — Enigme numeros possible avec 3 chiffres (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 ? enigme (1) — Listes enigmes passe partout (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 solution (1) — Plus quand nombre denombrable compose avec les chiffres 012 enigme (1) — Existe til un mot passe partou (1) — Nombre denombrable enigme 0 1 2 (1) — Enigme 012 denombrable (1) — Enigme plus grand nombre denombrable avec 0 1 2 a 3 chiffre (1) — Enigme plus grand nombre denombrable que l on peu former avec 1 2 3 (1) — Il est partout enigme (1) — Quel est le plus grand nombre entier 012 (1) — Reponse de l quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 (1) — Plus denombrable 0 1 2 (1) — Petits pour un grand 0 1 2 denombrable (1) — Enigme passe partout suite chiffres (1) — Enigme grand denombrable 0 1 2 (1) — Quel est le plus grande nombre denombrable que l on opeut former avec les 3 chiffres (1) — Denombrable nombre (1) — Quel nombre le plus grand 012 (1) — 0 1 2 plus grand nombre denombrable enigme (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec (1) — Plus grand nombre 2 1 0 (1) — Quel est le plus grand nombre d?nombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (1) — Enigme plus grand nombre denombrable former avec les 3 chiffres : 0 1 2 (1) — Quel esst leplus grand nombre entier denombrable avec les chiffre 2 0 1 (1) — Plus grand nombre denombrable avec 1 2 0? (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 ? enigme. (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 enigme (1) — Quel est le plus quand nombre denombrable compose avec les chiffres 012 (1) — Enigme chiffre denombrable 0 1 2 (1) — Plus grand nombre denombrable 0 1 2 3 chiffres (1) — Enigme nombre trois chiffres 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable 0 1 2 enigme (1) — Quelle est le plus grand nombre denombrable 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 ? (1) — Quel est le plus grand nombres denombrable qu on peut former avec 012 (1) — Fonction (1) — Le plus grands nombre avec 2 3 et 4 (1) — Passepartout mathematiques (1) — Combien de chiffre peut on faire avec les chiffres 0 1 et 2 (1) — Le plus grand chiffre denombrable 0 2 1 (1) — Denombrable 0 1 2 fois chacun (1) — Enigme 2 1 0 plus grand nombre (1) — Petit pour un grand enigme quel est le olus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 01 et 2 (1) — Qu elle est le plus grand nombre denombrable avec 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre a 3 chiffres (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec 0 1 et 2 (1) — Plus gand nombre denombrable 0 1 2 (1) — Enigme de passe partout (1) — Quel est a 01 (1) — Enigme plus grand nombre denombrable que l on peu former avec 0 1 2 (1) — Enigme : quel est le plus grand nombre que l on peut former avec les trois chiffres : 0 1 2? (1) — Suite de nombre 1 1 2 0 1 2 (1) — Nombre denombrable 0 1 2 solution (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : (1) — Quel est le plus grand nombre reel que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2? (1) — Quelle est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (1) — 0 1 2 plus grand nombre denombrable (1) — 0 1 2 enigme (1) — Plus grad denombrable avec 0 1 2 (1) — Petit pour un grand enigme 0 1 2 (1) — Enigme petit pour un grand 1 2 3 (1) — Faire apparaitre un nombre partout (1) — Denombrable 1 2 0 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec 0 1 2 (1) — Quel est les plus grand nombre que l on puisse former avec 0 1 2 (1) — 3 chiffres 0 1 2 (1) — Qu elle est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec 0 1 2 (1) — Passepartout mathematique (1) — Ellquel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les ttrois chiffre : 012 (1) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule foi chacun) : 0 1 2 (1) — Quel est le plus chiffres 0 1 2 (1) — Enigme reponse nombre denombrable (1) — Plus grand nombre denombrable qu on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec les 3 chiffres 012 (1) — Solution enigme plus grand nombre 0 1 2 (1) — Le plus grans nombre denombrable (1) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable que l:on peut former avec les 3 chiffres 012 (1) — On considere une fonction f definie sur un intervalle i. repondez par oui ou par non a chacune des questions suivantes (1) — Enigme le plus grand chiffre denombrable 012 (1) — Passe partout mathematique (1) — Quel est leplus grand nombre denombrable que lon puisse former avec les 3 chiffre 012 (1) — Plus grand chiffre denombrable forme chiffre 0 1 2 (1) — Nombre denombrable 0 1 2 fonctions simples (1) — Enigme petits pour un grand avec chiffre 0 1 2 (1) — Pass partout mathematique (1) — Dans tan(x) que se passe t-il aux bornes de l intervalle ]-pie/2;pie:2[ (1) — Enigme avec pour solution le chiffre 2 (1) — Enigme petits pour les grand (1) — Jeux dans le passe partout 1 et 0 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) (1) — Solution quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? (1) — Former 2 nombres a trois chiffres avec (1) — Petits pour un grand enigme (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable avec 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 enigme (1) — Quel est le plus grand chiffre denombrable avec 012 (1) — Quel est le plus nombre denombrable (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable que l ont peut former avec 0 1 et 2 (1) — Quelle est le plus grand nombre denombrable que l on peut (1) — Enigme chiffre nombre denombrable (1) — Nombre denombrable definition avec 0 1 2 (1) — 012 nombre denombrable (1) — Enigme le nombre denombrable 0 1 2 (1) — Enigme plus grand nombre avec 0 1 2 (1) — Nombre denombrable 3 chiffres (1) — Uel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? (1) — Petit pr un grand enigme (1) — : 0 1 2 ? enigme solution (1) — Le plus grand nombre denombrable 012 (1) — Enigme quel est le plus grand denombrable avec 0 1 2 (1) — Enigme grand nombre denombrabe 0 1 2 ? (1) — Plus grand denombrables 0 1 2 (1) — Plus grand nombre denombrable 012 enigme (1) — 0 1 2 plus grand denombrable enigme (1) — Nombres plus petits avec plein de zero (1) — Comment fonctione un passe partout (1) — Plus petit nombre denombrable 0 2 1 (1) — Le plus grand nombre denombrable 0 1 2 enigme (1) — Plus grand nombre denombrable avec 0 1 2 reponse (1) — Plus grands nombres avec 0 1 2 fonctions simples (1) — Enigme plus grand denombrable 0 1 2 (1) — Quel est le plus grand nombre denombrable 3 chiffres 0 1 2 (1) — Grand nombre denombrable 3 chiffres : 0 1 2 ? (1) — Nombres formes avec 3 chiffres (1) — Denombrable que l on peut former (1) — Enigme petit pour un grand 0 1 2 (1) — Enigmes quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (1) — Enigme pour definir le chiffre 1 (1) — Existe passe partou (1) — Le plus grand nombre denombrable forme avec les trois chiffres 0 1 et 2 (1) — Plus grand nombre a partir des trois chiffres 0 1 2 (1) — Quelle est le plus grand nombre denombrable enigme (1) — Quel plus grand nombre denombrable 0 1 2 (1) — Solution grand nombre denombrable avec 0 1 2 (1) — Quel denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres (une seule fois chacun) : 0 1 2 ? (1) — Quel est le plus grand nombre que l on peut former (1) — Enigme nombre plus grand denombrable 0 1 2 (1) — Enigme petits pour un grand plus grand nombre denombrable 012 (1) — Quel est le us grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 (1) — Nombre denombrable petits pour un grand (1) — Quelle. est le plus grand nombre denombrable (1) — Plus grand nombre denombrable 2 1 0 enigme (1) — Enigme quel est le plus grand nombre denombrable avec 0 1 2 (1) — Reponse de l enigme suivante quel est le plus grand nombre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres 0 1 2 (1) — Quel est les plus grand nombre denombrable que l on peut former avec 0 1 et 2 (1) — Passe carreau enigme (1) — Enigme il est aprtout (1) — Solution enigme le plus grand nombre denombrable avec 0 1 2 (1) — Irrationnel (1) — Enigme 0=1 (1) — .passe-partout. tel (1) — Reponse un petit pour un grand (1) — Petits pour un grand denombrable (1) — 0 1 2 plus grand chiffre denombrable (1) — Plus grand chiffres denombrable (1) — Quel est le plus grand chiffre denombrable que l on peut former avec les 3 chiffres : 0 1 2 (1) — Enigme 0 1 2 plus grand denombrable fonctions simples (1) — Nombres denombrables fonctions simples (1) — Enugme petiys pour un grand (1) — Chiffre denombrable avec 0 . 1 2 (1) — Combien de nombre peut on former avec 0 et 1 (1) —

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