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 #26 - 29-07-2013 10:27:23

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamètre d'une sphèe

gwen27 comment trouve tu l'écartement maximum avec certitude ?

@tous : La feuille de papier n'est la que pour faire des dessins (voir poste #21).

@nodgim: oui, je vais le rajouter en indice.

@SpekTr: Comment fais-tu pour tracer un trait de longueur 1 ?? (la règle n'est pas gradué).


Il y a sûrement plus simple.

#0 Pub

 #27 - 29-07-2013 11:48:04

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

iamètre d'une sphère

Proposition

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Boule_Papier.JPG

Construction
*** A partir d'un point M choisi sur la balle et à l'aide du compas, on trace un cercle de rayon quelconque sur la balle. Appelons O le centre de ce cercle sur lequel on note 3 points A, B et C.
*** Sur le papier, on reporte le triangle ABC qu'on note A'B'C'. Puis on trace le cercle circonscrit à A'B'C' dont le centre est noté O' (point de concours des médiatrices de A'B'C').
*** On trace par le point O' la perpendiculaire à (A'O'). Cette perpendiculaire coupe le cercle (sur le papier bien sûr smile) en E et F.
*** Avec le compas, on reporte la longeur AM sur le papier en A'M' tel que M' soit sur (EF).
*** Par le point A', on trace la perpendiculaire à (A'M'). Cette perpendicualire coupe (EF) en N'.

Démontration:
En considérant N comme l'opposé diamètral de M sur la balle, le triangle MAN est rectangle en A. D'après notre construction, le triangle M'A'N' est rectangle en A'.
MAN et M'A'N' sont égaux puisque A'M'=AM et A'O'=AO.
On en déduit M'N'=MN. M'N' est donc le diamètre de la balle.

Merci Mr Zonou, mon prof de maths en 2nd au lycée de Tsévié en 2002/2003 smile

 #28 - 29-07-2013 11:58:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Diamètre d'unne sphère

Bah , parce qu'il est maximum, donc avec un point fixe ça devrait le faire si la feuille est bien rigide. hmm

 #29 - 29-07-2013 17:19:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

diamèrre d'une sphère

Alors je propose ça:
On pique la pointe du compas sur la sphère à un endroit qu'on appelera Pole Nord. On trace un cercle assez proche de l'équateur (donc une parallèle). De cette parallèle, on peut construire 2 méridiens qui se coupent, pour repérer le Pôle Sud. A partir des 2 pôles identifiés, on peut dessiner un point sur l'équateur. On a donc à disposition la distance Pôle équateur, qui représente rac 2 fois le rayon. On trace ce rac2 sur la feuille. on peut tracer une perpendiculaire à une extrémité, et de longueur rac2. la diagonale qui relie les 2 extrémités libres des 2 segments perpendiculaires est égale au diamétre de la sphère.

 #30 - 29-07-2013 21:17:01

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

dizmètre d'une sphère

Oui kossi_tg, bravo !

@gwen27: Mais même avec une feuille rigide il me semble difficile de garder une pointe de compas au-dessus d'un même point hmm.

@nodgim: Comment construis-tu le méridien et le point sur l'équateur ?


Il y a sûrement plus simple.

 #31 - 30-07-2013 09:55:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

diamètre d'unr sphère

Je n'ai pas vraiment besoin de dessiner l'ensemble des méridiens, mais seulement la partie autour du pole sud, pour l'identifier. ça se construit comme une perpendiculaire sur un plan. Cependant, il restera toujours un petit tracé à faire à main levée pour rejoindre 2 pts proches. Idem pour la recherche d'un point de l'équateur. Ou bien encore me servir du bord de la feuille (qu'on peut avoir rectiligne avec la règle) pour tracer un trait droit sur la sphère.

 #32 - 30-07-2013 15:51:34

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Damètre d'une sphère

Avec un pied à coulisse on mesure précisément le diamètre d'un tube, même intérieur... Il peut encore grandir ou pas. Une feuile, ce n'est pas sensé avoir vraiment d'épaisseur.

 #33 - 30-07-2013 20:27:23

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamtère d'une sphère

@gwen27 : oui mais tu n'a pas de pied à coulisse à ta disposition, et un pied à coulisse est un outils très différent d'un compas.

@nodgim : Je ne vois toujours pas comment tu peut tracer un méridien, et je ne suis pas sûr que la géométrie du plan soit la même que la géométrie de la sphère.
Mais tu n'es vraiment pas très loin de la solution smile (le point dont tu parle n'a pas besoin d'être sur l'équateur).


Il y a sûrement plus simple.

 #34 - 31-07-2013 21:30:38

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

diamètre d'unr sphère

La même différence qu'entre une règle graduée et une non grduée, je ne vois pas d'autre différence. On prend une mesure et on la reporte. Il suffit d'inventer un compas gradué pour avoir un pied à coulisse. big_smile

 #35 - 31-07-2013 23:19:07

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamètre d'une sphèer

Un pied à coulisse a deux bras parallèles que tu peut faire coulissé en les gardant parallèles. Avec un outils comme ça je vois très bien comment tu mesure le diamètre d'un cylindre de papier (si il a un minimum de rigidité).
Mais le faire avec un compas ... (ou alors avec une très grande, voir excellente dextérité wink )


Il y a sûrement plus simple.

 #36 - 01-08-2013 19:55:48

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamèètre d'une sphère

Pour l'instant seuls Vasimolo et kossi_tg ont donné la bonne réponse.
SpekTr, gwen27 et titoufred ont une bonne approximation dans certains cas particuliers. nodgim n'est vraiment pas très loin de la solution, l'idée est là.

J'ai rajouté un gros indice pour ceux qui bloqueraient encore.


Il y a sûrement plus simple.

 #37 - 02-08-2013 00:38:04

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

diamètre d'une sphète

Même avec l'indice 2, j'ai beaucoup de mal.

Bon, on trace un cercle "polaire" sur la balle. On a donc un cercle C de rayon r et la pointe de compas en P. La droite qui traverse le centre perpendiculairement au cercle passe par le centre de la sphère O et aussi par le point opposé à P, Q.
[PQ] est le diamètre recherché, j'imagine.
On reporte l'écartement de compas sur le papier, avec un cercle de centre P' et de rayon r. On choisit un point A'.

[PQ] étant un diamètre, soit A un point du cercle C, alors PAQ forme un triangle rectangle (en A) et [PA]=r.

Là, ça se complique (et ça triche un peu smile)...

On trouve l'emplacement exact du point Q sur la sphère (je ne sais pas... en posant la boule sur P et en marquant le point le plus haut... en traçant des arcs de cercles successifs depuis des points de C... en demandant à Napoléon !)

Et là tout de suite c'est beaucoup plus facile smile. On reporte la distance [AQ] au compas sur la feuille en se plaçant sur A', puis on trace la perpendiculaire à [P'A'] en A' (en 3 coups de compas et 2 coups de règle).
Et on obtient 2 intersections qui donnent l'une et l'autre un point Q' possible.

Bon, après cette brillante démonstration, à peine bâclée, il est largement l'heure que je me couche !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #38 - 02-08-2013 02:56:29

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Diamtre d'une sphère

Je ne comprends pas le 2ème indice :

Comment fait-on pour tracer une 'droite' sur la balle ?

Je sais bien que ce n'est pas une droite, mais un genre de méridien ou d'équateur. Toujours est-il que je ne vois pas comment faire.

A moins de viser à peu près avec la règle en faisant au départ un cercle assez petit pour que la règle soit à peu près à plat sur la balle ?

A ce moment là ok, on trace cet équateur de proche en proche, puis on essaye des écartements de compas qui font le tour en 6 coups, ce que l'on trouve par tâtonnements. On a alors une mesure du rayon de la balle.

 #39 - 02-08-2013 09:25:25

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamètre d'une phère

@titoufred :Non, non, la droite dont je parle dans le deuxième indice traverse la balle et est orthogonale au plan qui contient le cercle, et passe par son centre.

@fix33 : Pas tout à fait, si tu trace un cercle sur une sphère, et qu'ensuite sans changer l'écartement du compas tu trace un cercle sur une feuille alors le cercle sur la feuille a un rayon un peu plus grand. Et tu n'a pas besoin savoir où se trouve le point Q, mais sinon le début c'est bien parti.
Spoiler : [Afficher le message] Pour reporter (le cercle qui est sur la balle) sur un plan il faut utiliser une petite astuce.


Il y a sûrement plus simple.

 #40 - 02-08-2013 22:08:36

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Diamètre d'une sphèrre

Ton petit problème me trotte dans la tête depuis quelques jours, mais je pense avoir trouvé une solution ( ... peut-être différente de celle que tu attends ? )

En supposant que la feuille de papier est assez grande, on enroule un bord autour d'un grand diamètre de la sphère. On obtient ainsi un segment A-B de longueur 2 * pi * R .
On divise ce segment en 6.

Pour ce faire on trace 2 arcs de même rayon centrés sur le segment précédent, puis une bi-tangente à ces 2 arcs de manière à obtenir une parallèle au 1er segment.
En partant d'un point C sur cette tangente on défini au compas les points D, E, F, G, H et I équidistants.

On trace les 2 demi-droites A-C et B-I qui se coupent en J, puis  la demi-droite J -D qui vient couper le segment A-B en K. Le segment AK a pour longueur pi * R / 3.

On applique ce segment sur la sphère et on vient régler l'écartement du compas entre ces 2 points A et K.
Cet écartement à bien la valeur de R recherchée smile .

EDIT :

Un seul point me dérange, comment te places-tu sur un grand cercle de la balle ?

On peut placer le bord de la feuille sur un cercle qui n'est pas tout à fait le plus grand et en se déplaçant lentement atteindre le plan où ce diamètre n'augmente plus.

On peut aussi enrouler la feuille en cylindre autour de la sphère en faisant coïncider un bord (supposé rectiligne) de la feuille et piquer avec la pointe du compas au travers de 2 épaisseurs, et ce, même légèrement à coté du grand cercle de la sphère puisque le cylindre ainsi défini n'est pas un cône et a donc un diamètre constant big_smile .

 #41 - 02-08-2013 23:03:48

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamètre d'une spèhre

@Jackv : Pas tout à fait, si j'ai bien compris, l'écartement du compas est le côté d'un hexagone régulier, mais à partir de ça je vois comment tu peux avoir R.
(effectivement le triangle est équilatéral big_smile )

Un seul point me dérange, comment te places-tu sur un grand cercle de la balle ?


Il y a sûrement plus simple.

 #42 - 03-08-2013 21:11:45

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

diamètre d'une spjère

Merci à tous pour vôtre participation, malgré une utilisation inattendue de la feuille il y a eu dans l'ensemble de bonnes idées smile.

Pour la solution vous pouvez aller voir celle donnée par kossi_tg qui a fait un beau dessin avec la sphère.

P.S : Jackv, désolé je n'ai pas vu la modification, on va dire que tu rejoins ceux qui ont une bonne approximation du diamètre wink .


Il y a sûrement plus simple.

 #43 - 04-08-2013 09:06:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Diamèttre d'une sphère

Pigé.
C'est propre.

 

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