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 #1 - 27-07-2013 18:46:53

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

diamètre d'une dphère

Vous disposez d'une balle (disons une balle de croquet), d'un papier, d'un crayon, d'un compas et d'une règle non gradué. Tracez sur la feuille de papier un segment dont la longueur est le diamètre de la balle.

Note à propos de l'énigme : j'ai lu ce problème dans un livre intitulé "The Moscow puzzles", c'est un recueil d'énigmes et de curiosités mathématiques qui date des années 70. Pour ceux que ça pourrait intéresser, l'auteur est Boris A.Kordemsky. (Le livre de l'édition Pelican Books a une très belle illustration sur la couverture smile )

Indice :
Spoiler : [Afficher le message]
Une balle de croquet étant en bois, si les mines du crayon et du compas sont assez grasse, vous devez pouvoir dessiner dessus wink.
(Et pour la version tableau la craie écrit à peu près sur n'importe quels matériaux)

Indice 2 :
Spoiler : [Afficher le message]
Vous pouvez tracer un cercle sur la sphère et considérer la droite perpendiculaire au cercle qui passe par son centre.



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Il y a sûrement plus simple.
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 #2 - 27-07-2013 20:38:35

Tofic
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 72

Diamètre d''une sphère

Salut, en admettant que le compas soit suffisement grand pour ce qui suit

On trace un triangle équilatéral sur la feuille permettant de mettre le compas à 60°.
On pose la balle sur la feuille, compas tangent à la sphère, on marque les 2 points (pointes).
On joint ces 2 points, ce segment n'est autre que la base d'un triangle équilatéral ayant pour cercle inscrit un cercle de même diamètre que la balle.
Je vais plus loin? wink

 #3 - 27-07-2013 20:58:42

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

diamèrre d'une sphère

Non Tofic, si tu prends un écartement de 60° avec le compas et que tu traces un cercle avec cet écartement, ta solution ne marche pas si le diamètre de la balle est plus petit ou plus grand que le diamètre du cercle que tu viens de tracer.


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 27-07-2013 21:23:11

Tofic
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 72

Diamètre d'une sphèree

Je n'ai pas dû être assez clair.

Le premier segment que j'ai tracé (après avoir mis le compas tangent à la sphère) n'est pas le diamètre recherché, mais la base du triangle équilatéral. Le diamètre de la balle est le même que celui inscrit dans le dit triangle.
je manques un peu de temps pour faire un choli dessin dans géogébra...hmm

 #5 - 27-07-2013 21:39:38

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

diamètre d'yne sphère

Ce que je veux dire c'est que si après avoir pris l'écartement de 60°, tu poses les deux pointes du compas sur la feuille, et que la balle est assez petite pour qu'on puisse la faire rouler sous le compas sans qu'elle touche les bord du compas, tu ne peux pas appliquer ta solution.
Tu as remarqué que si le compas était trop petit alors en faisant ce que tu dis le compas ne touchait pas la feuille, mais si le compas est trop grand, si tu met la sphère tangent au compas, alors cette fois c'est la sphère qui ne touche pas la feuille, non ?

En gros, pour que ta solution fonctionne, il faut que la longueur des "bras" du compas soit exactement la longueur du côté du triangle équilatéral dont tu parles.
Mais tu n'as pas forcément du matériel sur mesure ^^.


Il y a sûrement plus simple.

 #6 - 27-07-2013 22:21:54

Tofic
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 72

duamètre d'une sphère

Aaah ouai, exact!hmm

 #7 - 28-07-2013 00:30:36

SpekTr
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 16

iamètre d'une sphère

Bonjours,
voici ma solution:
il faut enrouler le papier autour de la sphère, faire un trou avec le compas. Ensuite on déplie le papier et on trace à la règle le segment reliant les deux points !!! On a un segment de la taille du diamètre sans le connaître cool

 #8 - 28-07-2013 12:20:31

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

diamètre s'une sphère

Vasimolo : cool

SpekTr, c'est très astucieux smile.

Cependant j'ai quelques objections :

-La première est qu'il faut que tu t'assure que si tu prolonge la feuille à l'infini tu n'obtiendras pas un cône, autrement dit il faut que tu fasse un cylindre parfait.
(Mais ça si la feuille est rectangulaire, ça doit pouvoir se faire wink)

-La seconde est que l'intersection de ce cylindre avec la balle est un cercle, pour que ta solution fonctionne il faudrait que tu plantes la pointe du compas précisément sur ce cercle, et cela ne me parait pas faisable de façon certaine hmm.

Edit : Eh, mais non! SpekTr tu pourrais préciser un peu plus ta solution, parce que si c'est ce que j'ai compris tu obtiens un segment dont la longueur est le périmètre d'un grand cercle de la balle, pas son diamètre !


Il y a sûrement plus simple.

 #9 - 28-07-2013 12:36:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

DDiamètre d'une sphère

Bonjour smile

Je suppose qu'on peut écrire sur la balle .

Je prends un rayon R avec le compas et je trace un cercle sur la balle ( le rayon du cercle est donc inférieur à R ) . Je reproduis le cercle C sur ma feuille en reportant trois points et le cercle circonscrit à ces points . Je note I le centre de C , je choisis un point M sur C et un point P de la perpendiculaire à (MI) passant par I  tel que MP=R . La perpendiculaire en M à (MP) coupe la droite (PI) en P' , PP' est le  diamètre de la balle . 
http://img29.imageshack.us/img29/5011/uyev.jpg
Vasimolo

PS : j'ai reposté pour fignoler un peu l'image smile

 #10 - 28-07-2013 13:25:52

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Diamètre d'une sphèr

C'est le problème N° 191.
Ayant pu me procurer le livre, je ne répondrai pas, ce serait de la triche.
Intéressant...

Merci à cogito pour les références.

 #11 - 28-07-2013 13:33:56

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

diamètre d'ine sphère

cogito a écrit:

-La seconde est que l'intersection de ce cylindre avec la balle est un cercle, pour que ta solution fonctionne il faudrait que tu plantes la pointe du compas précisément sur ce cercle, et cela ne me parait pas faisable de façon certaine hmm

Ah bon comment ça?
Regarde bien ici : Ceci wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 28-07-2013 15:22:45

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

diamètre d'ine sphère

@shadock : pour appliquer cette méthode il faudrait pouvoir reproduire le cercle sur la feuille de papier, ce qui ne me semble pas évident non plus.


Il y a sûrement plus simple.

 #13 - 28-07-2013 17:37:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

diamètre f'une sphère

Est-il possible d'écarter le compas au dessus de la balle de sorte que ses branches soient tangentes à la balle et ses extrémités touchent la feuille ?

 #14 - 28-07-2013 19:03:41

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamère d'une sphère

Non nodgim, ce n'est pas toujours possible, c'était aussi l'idée de Tofic.
Pour cela il faut vraiment que la longueur des bras du compas soit particulière.
Mais comme je le disais à Tofic, on n'a pas toujours la chance d'avoir du matériel sur mesure smile


Il y a sûrement plus simple.

 #15 - 28-07-2013 19:17:11

SpekTr
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 16

Diamètre d'une sphre

Ah oui pardon, j'ai confondu les deux.
On connait le périmètre P du cercle avec ma méthode (le cylindre). Mais je ne peux pas déterminer le diamètre D avec le périmètre sans calculatrice. En effet P = π D. Je n'ai pas trouvé de méthode purement géométrique pour trouver D. Mon objectif était de tracer un cercle de périmètre P.
Edit: on peux toujours faire comme les anciens, découper un papier fin de longueur P, tracer un cercle avec celui-ci et ainsi connaître son diamètre.

 #16 - 28-07-2013 19:23:52

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamètre d''une sphère

Ta solution aurait peut-être pu fonctionner si pi était constructible à la règle et au compas, mais malheureusement ce n'est pas le cas.


Il y a sûrement plus simple.

 #17 - 28-07-2013 19:27:34

SpekTr
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 16

Diamètre d'nue sphère

Il existe des méthodes géométriques pour construire pi avec une règle graduée ^^
http://villemin.gerard.free.fr/Construc/PiKochan.htm
Mais c'est le rapport pi entre deux longueurs qui m'intéresse.

 #18 - 28-07-2013 19:53:49

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

diamètre d'ube sphère

Il existe aussi des moyens de faire les opérations élémentaires (+, -, *, /) à la règle et au compas sur les longueurs des segments :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_constructible

Donc tu peux avoir un segment qui fait à peu près le diamètre de la balle. Mais cela reste une approximation.


Il y a sûrement plus simple.

 #19 - 28-07-2013 20:19:08

SpekTr
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 16

diamètre d'une sohère

Je vais tout de même proposé une réponse approximative complète:

Détermination du périmètre du cercle:
il faut enrouler le papier autour de la sphère selon un cylindre, faire un trou avec le compas. Ensuite on déplie le papier et on trace à la règle le segment reliant les deux points, pour obtenir le périmètre P du cercle.

On trace un repère puis un segment de longueur pi dans ce repère grâce à la méthode de Kochanski http://villemin.gerard.free.fr/Construc/PiKochan.htm (on peux tracer facilement  AE avec le compas).

Tracement du diamètre D
On sait que  P = π D. Il faut alors diviser P par pi grâce à Thalès et à Wikipédia big_smile https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_constructible
On obtient alors le diamètre. C'est approximatif, mais c'est mieux que rien !! Pour l'exactitude, je n'ai pas trouvé et j'attend la réponse.

 #20 - 28-07-2013 20:26:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Daimètre d'une sphère

Je donne ici une solution plutôt approximative, qui ne fonctionne que si la boule est petite par rapport aux bras du compas.

On place la pointe du compas sur la boule de façon à ce qu'elle soit tangente à la boule et l'on fait de même avec la pointe du crayon du compas. Ensuite, on bouge la pointe du crayon de façon à l'amener à l'antipode de la pointe, mais toujours en gardant les 2 pointes tangentes à la boule. On saura qu'on est à l'antipode lorsque l'écartement est maximal.

On a ainsi un écartement de compas égal au diamètre de la boule. Il suffit alors de planter le compas dans la feuille et faire un mini trait pour reporter ce diamètre. On finit par tracer avec la règle.

 #21 - 28-07-2013 21:10:43

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Diamètre d'une sphrèe

Non titoufred, les bras du compas ne sont pas parallèles, donc ce que tu obtient est un peu plus grand que le diamètre de la balle.
Peut-être que pour des billes cela donne une bonne approximation, mais pour une balle de croquet cela ne marche pas wink

@àtous : On pourrait le faire grandeur nature, avec un tableau et une craie.
Pour la règle non gradué on peut utiliser ces espèce de règle jaune qu'on avait à l'école (une très vieille pour que les graduations soient effacées wink). Le compas serait un grand compas à ventouse avec une craie attachée au bout. Et la balle serait un très gros ballon (genre qu'on a du mal à porter dans ses bras). Peut-être en s'y mettant à deux pour bien manipuler les outils (parce que j'ai le souvenir que tracer un trait au tableau avec la règle jaune ce n'était pas facile smile)
on peut tracer sur le tableau un trait dont la longueur est le diamètre du gros ballon.


Il y a sûrement plus simple.

 #22 - 28-07-2013 21:19:35

SpekTr
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 16

Diammètre d'une sphère

J'ai une idée:
on pose le ballon sur le tableau avec une feuille parallèle au tableau et tangente au ballon, la distance tableau-feuille correspond au diamètre.

 #23 - 28-07-2013 21:24:45

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Dimaètre d'une sphère

SpekTr a écrit :

J'ai une idée:
on pose le ballon sur le tableau avec une feuille parallèle au tableau et tangente au ballon, la distance tableau-feuille correspond au diamètre.

lollollol


Il y a sûrement plus simple.

 #24 - 28-07-2013 23:49:06

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Diamètre d'une sphèère

Si j'enroule la feuille autour de la boule, en faisant une marque le long du périmètre, je la déroule et je reporte cette marque?

En enroulant de nouveau la feuille, les marques m'assurent de trouver un tube parfait et donc je prend l'écartement maximum du compas.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-boulecompas.PNG

 #25 - 29-07-2013 08:11:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Diamètre d'une spère

Peut on dessiner des cercles sur la balle ?

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