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 #1 - 08-08-2013 17:17:26

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Les cônes et la shpère

Bonjour,

Peut-être ce problème a été déjà posé mais je le pose quand même smile

Trois cônes identiques de hauteur H=120cm et de rayon de base R=50cm sont posés sur un plan horizontal telles que leurs bases se touchent. Dans l'espace entre les sommets, on pose une sphère dont la partie supérieure arrive à la même hauteur que les 3 cônes. (figure ci-après)
http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Cone.JPG

Quel est le rayon r de la sphère? Dans la réponse à valider, il y a 6 chiffres dans la partie décimale. Le point est utilisé comme séparateur décimal.

Bonne chance à tous!



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 #2 - 09-08-2013 08:29:06

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Less cônes et la sphère

On trouve r=38.490017945975... soit environ 38.490018 cm

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-cones-sphere.png

Je n'ai pas fait les calculs, Geogebra me donne suffisamment de précision.

EDIT
Les triangles sont semblables de rapport [latex]\frac 2 {\sqrt3}[/latex].
Le rayon du cercle inscrit dans une section de cône est S/p = 60/18 = 10/3.
Le rayon recherché est donc [latex]\frac {10}3*\frac 2 {\sqrt3} = \frac {20}{3\sqrt3} \approx 38.490018 \ cm[/latex] comme annoncé.

 #3 - 09-08-2013 09:12:20

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Les cônes e la sphère

Bravao Halloduna qui a trouvé la réponse en utilisant un logiciel graphique.

Des propositions analytiques avec le résultat exact dans [latex]\Re[/latex] ?

Bonne chance à vous!

 #4 - 09-08-2013 18:07:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

LLes cônes et la sphère

Avec un "peu" de géométrie élémentaire j'arrive à [latex]R=\frac{200\sqrt{3}}9[/latex] .

Vasimolo

 #5 - 09-08-2013 18:19:01

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

les cônes er la sphère

Bravo à vasimolo qui a donné la réponse réelle exacte.

Courage à ceux qui continuent de chercher!

 #6 - 09-08-2013 20:58:04

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Les ôcnes et la sphère

Je m’intéresse d’abord à l’axe de symétrie "révolutionnaire" de ce système qui passe par le centre de la sphère et le barycentre du triangle équilatéral formé par les trois centres des cercles de base des cônes.
Ce triangle équilatéral est de côté 2R, donc la distance de ce barycentre à un centre de ces cercles est: 2R.V3/3.
Je considère maintenant la coupe verticale passant par cet axe de symétrie et un des axes des cônes. Le rayon r cherché est celui du cercle inscrit dans le triangle formé par les arêtes de révolution des cônes, soit: r = 2S / P.
Le côté supérieur du triangle vaut: 4R.V3/3, et la hauteur est donnée par Thalès (un de nos amis): 2H.V3/3. Les deux autres valent donc chacun: 2.V(H²+R²).V3/3.
La surface du triangle inscrit est donc: (2R.V3/3).(2H.V3/3) = 4HR/3, et le périmètre: 4.V(H²+R²).V3/3 + 4R.V3/3 = 4.[R+V(H²+R²)].V3/3.
Au final, on aura: r = [8HR/3] / {4.[R+V(H²+R²)].V3/3}, soit encore:
r = [2H.V3/3] / [1+V(1+(H/R)²)].
Application numérique: H = 120 cm et R = 50 cm donnent:
r = 200.V3/9 = env. 38,490018 cm.

 #7 - 10-08-2013 14:24:28

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

les côbes et la sphère

Bonjour, smile

Le sommet des trois cônes forment un triangle équilatéral de côté 1m.
(si on projette ce triangle sur le plan où sont posés les cônes, c'est le triangle
formé par les trois centres des bases des cônes qui sont trois cercles tangents de rayon 0,5 m)

Le rayon du cercle circonscrit de ce triangle est donc [latex]{{\sqrt 3}\over 3}[/latex] mètres.

Considérons le cône renversé dont la base est le cercle cité ci-dessus et qui repose sur les trois autres cônes (i.e. l'intersection de ce cône avec les trois autres est trois droites qui se rejoignent au sommet de ce cône, qui se trouve un peu en dessous du plan où reposent les trois autres cônes).
Alors la sphère est inscrite dans ce cône renversé.

Dans l'image suivante, A est l'un des sommets des trois cônes.
AEF représente une section du cône renversé, et ABC une section d'un des trois cônes.
R est le rayon de la sphère.
EAF et ACB sont deux angles égaux que j'ai nommé [latex]\alpha[/latex]

(j'appellerai D le point où l'angle droit est marqué (i.e. milieu de AE), et O le centre du cercle, désolé j'ai oublié de le nommé big_smile )

Donc on a (toutes les longeurs seront exprimées en mètre):

AB = 1,2 ; BC = 0,5  ; AD = [latex]{{\sqrt 3}\over 3}[/latex].

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-sphere_cone.png

Les formules trigonométriques dans le triangles (OAD) donnent :
[TeX]\tan{\alpha\over 2} = {R\over AD}[/latex]   (1)

Donc [latex]R = {{\sqrt 3}\over 3} * \tan{\alpha\over 2}[/TeX]
Il reste donc à déterminé  [latex]\tan{\alpha\over 2}[/latex].

Les formules trigonométriques dans le triangle (ABC) donnent :
[TeX]\tan\alpha = {AB\over BC} = {12\over 5}[/TeX]
D'autre part on a la relation :
[TeX]\tan\alpha = {{2\tan({\alpha\over 2})}\over{1-\tan^2({\alpha\over 2})}}[/TeX]
Posons [latex]x = \tan{\alpha\over 2}[/latex], on a donc :
[TeX]{12\over 5} = {{2x\over{1-x^2}} \Leftrightarrow 12 - 12x^2 = 10 x[/TeX]
En mettant tout du même côté, et en divisant par 2 on obtient :
[TeX]6x^2 + 5x -6 = 0[/TeX]
Le discriminant est 25 + 4 * 36 = 169 = 13²
donc les solutions sont x = (-5 + 13)/12 et x =(-5 - 13)/12, dans notre cas seul la solution positive nous intéresse : x = 2/3.

Donc d'après la relation (1) vu plus haut on a :
[TeX]R = {{\sqrt 3}\over 3} *{2\over 3} = {{2\sqrt 3}\over 9} \simeq 0,3849[/TeX]


Il y a sûrement plus simple.

 #8 - 10-08-2013 17:23:44

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

mes cônes et la sphère

Que de bonnes réponses. Bravo à tous!

 #9 - 11-08-2013 19:04:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Les cônes et la sphèe

On peut remarquer que si [latex]r_1[/latex] désigne le rayon de la sphère inscrite dans l'un des cônes alors le rayon cherché vaut [latex]r_3=\frac{r_1}{sin(\frac{\pi}3)}[/latex] . Plus généralement si on répartit régulièrement n cônes sur un cercle alors le rayon de la sphère coincée entre ces cônes vaut [latex]r_n=\frac{r_1}{sin(\frac{\pi}n)}[/latex] .

Vasimolo

 #10 - 12-08-2013 10:34:58

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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les cônes et la sphèrr

C'est astucieux: avec n cônes régulièrement répartis sur un
cercle, on aura alors: r = [2H/tg(pi/n)] / [1+V(1+(H/R)²)]
Et, avec nos valeurs: r = (200/3) / tg(pi/n)

 #11 - 12-08-2013 11:49:59

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

Les cônees et la sphère

Merci à vous pour les généralisations.
@Franky1103: en faisant les calculs avec cette formule, je trouve r=66.67 pour n=4 avec les données du problème. La réponse avec la formule de vasimolo donne r=47.14 tout comme une méthode perso. Ai-je raté un truc dans ta formule? Merci

 #12 - 12-08-2013 12:11:26

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Montargis

Les cônes et la spère

Ajoutons par ailleurs qu'il y a un nombre maximal de cone à mettre sur un cercle pour respecter les conditions du problème. Il faudra avoir 2*rn<H soit
n<pi/[asin(2*r1/H)]. r1 et rn sont ceux donnés dans le dernier poste de vasimolo.
Avec les données de ce problème (H=120 et R=50) n_maxi=5.

 #13 - 12-08-2013 16:03:44

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Less cônes et la sphère

@kossi_tg:
Si r1 désigne le rayon de la sphère inscrite dans l'un des cônes, alors je trouve:
1°) r1 = (H/2) / [1+V(1+(H/R)²)] (soit: r1=50/3, avec H=120 et R=50)
2°) rn = 4.r1 / tg(pi/n), où tg représente la fonction tangente
On retrouverait bien: r3 = env. 38,49 pour n=3 et: r4 = env. 66,67 pour n=4, mais cela ne veut pas dire que ma formule est juste.
@Vasimolo:
A t-on: rn = r1 / sin(pi/n) ou: rn = 4.r1 / tg(pi/n) ?

 #14 - 12-08-2013 16:41:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Les cônes et la spère

Si je n'ai pas fait d'erreur j'ai bien [latex]r_1=\frac Rh(\sqrt{R^2+h^2}-R)[/latex] et [latex]r_n=\frac{r_1}{sin\alpha}[/latex] avec [latex]R[/latex] et [latex]h[/latex] les rayons et hauteurs des cônes .

Vasimolo

 #15 - 12-08-2013 18:14:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Les cônes et la sphèe

Un dessin à l'échelle acrédite la formule de Vasimolo: j'ai dû me gourrer quelquepart.

 

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