Bravao Halloduna qui a trouvé la réponse en utilisant un logiciel graphique.

Des propositions analytiques avec le résultat exact dans [latex]\Re[/latex] ?

Bonne chance à vous!

Bravo à vasimolo qui a donné la réponse réelle exacte.

Courage à ceux qui continuent de chercher!

Bonjour,

Le sommet des trois cônes forment un triangle équilatéral de côté 1m.
(si on projette ce triangle sur le plan où sont posés les cônes, c'est le triangle
formé par les trois centres des bases des cônes qui sont trois cercles tangents de rayon 0,5 m)

Le rayon du cercle circonscrit de ce triangle est donc [latex]{{\sqrt 3}\over 3}[/latex] mètres.

Considérons le cône renversé dont la base est le cercle cité ci-dessus et qui repose sur les trois autres cônes (i.e. l'intersection de ce cône avec les trois autres est trois droites qui se rejoignent au sommet de ce cône, qui se trouve un peu en dessous du plan où reposent les trois autres cônes).
Alors la sphère est inscrite dans ce cône renversé.

Dans l'image suivante, A est l'un des sommets des trois cônes.
AEF représente une section du cône renversé, et ABC une section d'un des trois cônes.
R est le rayon de la sphère.
EAF et ACB sont deux angles égaux que j'ai nommé [latex]\alpha[/latex]

(j'appellerai D le point où l'angle droit est marqué (i.e. milieu de AE), et O le centre du cercle, désolé j'ai oublié de le nommé )

Donc on a (toutes les longeurs seront exprimées en mètre):

AB = 1,2 ; BC = 0,5  ; AD = [latex]{{\sqrt 3}\over 3}[/latex].



Les formules trigonométriques dans le triangles (OAD) donnent :
[TeX]\tan{\alpha\over 2} = {R\over AD}[/latex]   (1)

Donc [latex]R = {{\sqrt 3}\over 3} * \tan{\alpha\over 2}[/TeX]
Il reste donc à déterminé  [latex]\tan{\alpha\over 2}[/latex].

Les formules trigonométriques dans le triangle (ABC) donnent :
[TeX]\tan\alpha = {AB\over BC} = {12\over 5}[/TeX]
D'autre part on a la relation :
[TeX]\tan\alpha = {{2\tan({\alpha\over 2})}\over{1-\tan^2({\alpha\over 2})}}[/TeX]
Posons [latex]x = \tan{\alpha\over 2}[/latex], on a donc :
[TeX]{12\over 5} = {{2x\over{1-x^2}} \Leftrightarrow 12 - 12x^2 = 10 x[/TeX]
En mettant tout du même côté, et en divisant par 2 on obtient :
[TeX]6x^2 + 5x -6 = 0[/TeX]
Le discriminant est 25 + 4 * 36 = 169 = 13²
donc les solutions sont x = (-5 + 13)/12 et x =(-5 - 13)/12, dans notre cas seul la solution positive nous intéresse : x = 2/3.

Donc d'après la relation (1) vu plus haut on a :
[TeX]R = {{\sqrt 3}\over 3} *{2\over 3} = {{2\sqrt 3}\over 9} \simeq 0,3849[/TeX]

On peut remarquer que si [latex]r_1[/latex] désigne le rayon de la sphère inscrite dans l'un des cônes alors le rayon cherché vaut [latex]r_3=\frac{r_1}{sin(\frac{\pi}3)}[/latex] . Plus généralement si on répartit régulièrement n cônes sur un cercle alors le rayon de la sphère coincée entre ces cônes vaut [latex]r_n=\frac{r_1}{sin(\frac{\pi}n)}[/latex] .

Vasimolo

Merci à vous pour les généralisations.
@Franky1103: en faisant les calculs avec cette formule, je trouve r=66.67 pour n=4 avec les données du problème. La réponse avec la formule de vasimolo donne r=47.14 tout comme une méthode perso. Ai-je raté un truc dans ta formule? Merci

@kossi_tg:
Si r1 désigne le rayon de la sphère inscrite dans l'un des cônes, alors je trouve:
1°) r1 = (H/2) / [1+V(1+(H/R)²)] (soit: r1=50/3, avec H=120 et R=50)
2°) rn = 4.r1 / tg(pi/n), où tg représente la fonction tangente
On retrouverait bien: r3 = env. 38,49 pour n=3 et: r4 = env. 66,67 pour n=4, mais cela ne veut pas dire que ma formule est juste.
@Vasimolo:
A t-on: rn = r1 / sin(pi/n) ou: rn = 4.r1 / tg(pi/n) ?

Un dessin à l'échelle acrédite la formule de Vasimolo: j'ai dû me gourrer quelquepart.