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 #1 - 01-08-2013 02:58:13

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Faille loggique

Je rappelle que [latex]A \Rightarrow B[/latex] est équivalent à [latex]\lnot{A} \lor B[/latex].

Ainsi, [latex](P \land Q) \Rightarrow R \equiv \lnot(P \land Q) \lor R \equiv \lnot P \lor \lnot Q \lor R[/latex]

Et [latex](P \Rightarrow R) \lor (Q \Rightarrow R) \equiv (\lnot P \lor R) \lor (\lnot Q \lor R) \equiv \lnot P \lor \lnot Q \lor R[/latex]

Par conséquent, [latex](P \land Q) \Rightarrow R[/latex] est équivalent à [latex](P \Rightarrow R) \lor (Q \Rightarrow R)[/latex].

En prenant pour [latex]P[/latex] : "x > 0", [latex]Q[/latex] : "x < 2" et [latex]R[/latex] : "x² < 4" où x est un nombre réel,

Alors [latex](P \land Q) \Rightarrow R[/latex] est vraie.

donc [latex](P \Rightarrow R) \lor (Q \Rightarrow R)[/latex] est vraie.

Ainsi, (x > 0 [latex]\Rightarrow[/latex] x² < 4) ou (x < 2 [latex]\Rightarrow[/latex] x² < 4) est vraie.

Mais, l'on sait bien qu'aucune de ces 2 propositions n'est vraie...



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 #2 - 01-08-2013 09:06:28

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 804
Lieu: Seahaven island

Fille logique

On sait que P et Q => R  équivalent a P => R ou Q => R.

Ba non, on ne sait pas ça tongue et même mieux, on sait que c'est faux.
Avec la vision ensembliste c'est trivialement faux:
P et Q => R  veut dire que l'intersection de P et Q est inclue dans R.
Et on peut parfaitement avoir l'intersection de deux ensembles inclus dans un autre sans que pour autant ni l'un ni l'autre n'y soit inclus.

 #3 - 01-08-2013 10:16:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

faille logiqye

Quand tu écris P et Q--->R, es tu déja dans le langage logique ? A savoir qu'on pourrait le réécrire P*Q--->R. Ou est ce autre chose ?
Un rafraichissement sur ces normes d'écriture ne me ferait pas de mal.

 #4 - 01-08-2013 12:51:24

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

FFaille logique

J'ai ajouté la démonstration de la première équivalence et tout réécrit avec les symboles logiques.

 #5 - 01-08-2013 13:35:07

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 804
Lieu: Seahaven island

failme logique

Ha subtil! C'est plus cool avec la "fausse" démo!

En fait ça vient du fait que dans la démonstration on oublie que les prédicats sont paramétrés.
On devrait écrire:  Pour tout x, (P(x) et Q(x)) => R(x).
Et l’équivalence nous amène à Pour tout x, P(x) => R(x) ou Q(x) => R(x)
ce qui est différent de (Pour tout x, P(x) => R(x)) ou (Pour tout x, Q(x) => R(x))
Écrire P=>R ou Q=>R est dans ce cas la ambigüe parce qu’on n'est pas sur de savoir ou se place les quantificateurs. L'instinct/la convention va toujours vouloir que chaque opérateur"=>" ait son, ses quantificateurs dédiés, et dans ce cadre la, la démonstration est fausse.

 #6 - 01-08-2013 13:36:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

faille logiqur

P et Q ne sont pas indépendants dans ton exemple.
La configuration P=0 (x<0) et Q=0 (x>2) n'existe pas.
A partir de là, on ne peut pas vraiment raisonner en logique.

 #7 - 01-08-2013 14:06:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Faille loogique

Exactement Clydevil !

 #8 - 01-08-2013 16:13:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

fzille logique

Je ne pense pas que ce soit exact... Dans ton "par conséquent, tu considère que les relations au dessus sont réversibles., autrement dit que

P et q => R  oblige à  nonP ou nonQ ou R OK

Mais ça ne veut pas dire que
nonP ou nonQ ou R oblige à P et q => R

Le OU est inclusif donc ça ne tient pas compte de nonP et nonQ et R

La conclusion est donc fausse.

Dans l'exemple : on se retrouve à oublier : si x est compris entre 0 et 2 du coup... et là ça ne marche plus.

 #9 - 01-08-2013 16:48:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Faiille logique

@Nodgim : Où se situe l'arnaque très exactement ?

gwen27 a écrit:

Mais ça ne veut pas dire que
nonP ou nonQ ou R oblige à P et q => R

Si si gwen, je t'assure que nonP ou nonQ ou R oblige à P et q => R.
A => B est vrai si et seulement si B est vrai ou A est faux.

 #10 - 01-08-2013 17:40:15

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

fzille logique

Oui mais pas la réciproque :

Tu dis que A=> B est équivalent à nonA ou B Je dis NON

A=>B implique que nonA ou B
Mais si les deux ensembles sont en partie disjoints la réciproque est fausse.

On peut avoir A et nonB. Ce n'est pas une équivalence, c'est une implication.

Or dans tes deux cas qui mènent à la même conclusion (exacte) la conclusion ne ramène pas à l'hypothèse, on ne peut pas les lier dans la conclusion finale. Il n'y a pas d'équivalence.

Un dessin :

Plus tard, des problèmes de connexion...

 #11 - 01-08-2013 17:55:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Faille olgique

Ta proposition de départ n'est pas complète. ça devrait être:
P*Q---->R et
/P--->Q et
/Q--->P.
équivalent à:
(/P+/Q+R)*(P+Q)
différent de (P-->R)+(Q-->R)=/P+/Q+R.

 #12 - 01-08-2013 18:35:50

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

 #13 - 01-08-2013 19:32:45

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

faille lofique

Mais, l'on sait bien qu'aucune de ces 2 propositions n'est vraie..

Euh... non, une implication peut-être vraie même si la conclusion de l'implication est fausse. (car Faux -> P est toujours vraie quelque soit la valeur de vérité de P).

Ici il les deux prémisses x > 0 et x < 4 ne peuvent pas être vérifiées en même temps, donc les deux propositions de la disjonction ne peuvent pas être fausses en même temps, donc la disjonction est effectivement vraie.


Remarque :

Je rappelle que [latex]A \Rightarrow B[/latex] est équivalent à[latex]\lnot{A} \lor B[/latex].

Pas forcément, c'est vrai si tu te place dans le cadre de la logique classique.
Mais il existe des logiques pour lesquelles on ne peut pas prouver cette équivalence. (c'est le cas de la logique intuitionniste qui n'admet pas l'axiome du tiers exclu).


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 01-08-2013 23:12:28

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Faille llogique

La formule initiale est toujours VRAIE, c'est ce qu'on appelle, je crois, une tautologie.

(x > 0 => x² < 4) n'est certes pas vraie pour tout x, mais pour x strictement inférieur à 2.
(x < 2 => x² < 4) est vraie pour x strictement supérieur à -2.

Donc la formule complète (union de ceux deux implications) est vraie pour tout x réel, donc équivalente à VRAI, donc équivalente à la première !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #15 - 01-08-2013 23:24:05

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Faille loique

Merci pour le lien, mais c'est ce que je disais...  S'il pleut, mon jardin est arrosé , mais si mon jardin est arrosé, ça ne veut pas dire qu'il pleut.

De la même façon, si un canadair largue au dessus de mon jardin, il est arrosé. Et pour autant, si un canadair largue au dessus de mon jardin, ça ne veut pas dire qu'il pleut, même si les deux peuvent coincider.

Ce n'est pas le terme => qui cloche chez wiki c'est le terme "équivalent à" que tu y substitues  . C'est faux.

 #16 - 02-08-2013 00:22:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

faille logisue

[latex](x > 0  \Rightarrow x² < 4) \text{ ou }(x < 2  \Rightarrow x² < 4)[/latex] est curieusement vraie.

C'est bien le cas si [latex]x\leq 0[/latex] ou [latex]x\geq 2[/latex] car il n'y a rien à discuter et dans le cas contraire c'est à dire quand [latex]0<x<2[/latex] il n'y a aucun problème .

Vasimolo

 #17 - 03-08-2013 20:49:40

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

faille lpgique

cogito a écrit:

Ici il les deux prémisses x > 0 et x < 4 ne peuvent pas être vérifiées en même temps

L'autre prémisse est x < 2 et elles peuvent évidemment être vérifiées en même temps.

@fix33 : oui !

@gwen27 : je t'assure que [latex]A \Rightarrow B[/latex] est bien équivalent à [latex]\lnot{A} \lor B[/latex].

@Vasimolo : oui, c'est bien ça.

 #18 - 03-08-2013 21:29:33

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

faille loguque

Bon on va mettre ça sur le compte de la fatigue wink

Oui, effectivement, si elles sont toutes les deux vérifiées alors la conclusion est vraie, donc la disjonction est vraie. Les deux prémisses ne peuvent pas être vérifiées en même temps lorsque la conclusion est fausse.

En fait l'arnaque est ici :

Mais, l'on sait bien qu'aucune de ces 2 propositions n'est vraie...

Ce qui n'est pas vrai ce sont les propositions :

V x, x> 0 -> x² < 4 et
Vx, x < 2 -> x² < 4  (où le V représente la quantification universelle)

mais pour un x fixé, on a forcément une des deux proposition qui est vraie.


Il y a sûrement plus simple.

 #19 - 03-08-2013 22:13:19

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Faille logqiue

Oui, cogito, c'est exactement ça !

 #20 - 04-08-2013 15:04:09

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

faolle logique

Oui, attention : P implique R ne se traduit pas, géométriquement, par P inclus dans R, mais par tout sauf la partie de P non commune à R (un dessin avec des patates serait mieux...). Cette confusion vient une fois de plus du fait qu'on oublie trop souvent que si P est faux, l'implication est vraie !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
 

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