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 #1 - 05-08-2013 20:32:01

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

Le cnogrés des myopes.

Il s’agit à nouveau d’un problème de chapeaux. Le congrès annuel des myopes se réunit. Un jeu est organisé avec 11 des congressistes. Après quelques minutes de discussion, pendant lesquelles les 11 myopes ont pu convenir de la stra­tégie qu’ils allaient utiliser, l’arbitre du jeu pose un chapeau noir ou rouge sur la tête de chacun et dispose les joueurs en cercle de telle façon que :
- Le myope 1 voit le chapeau du myope 11 et lui seulement ;
- Le myope 2 voit le chapeau du myope 1 et lui seulement ;
- Le myope 3 voit le chapeau du myope 2 et lui seulement ;
- ...
- Le myope 11 voit le chapeau du myope 10 et lui seulement.
Simultanément, chacun des 11 myopes indique la couleur du chapeau qu’il pense porter.En répondant au hasard, ils ont peu de chance de perdre, mais l’arbitre a pu les espionner pendant qu’ils parlaient avant l’épreuve et il est possible qu’il exploite ce qu’il a en­tendu pour les faire perdre. Pourtant, même dans un tel cas, les 11 joueurs sont certains de gagner. Quelle stratégie ont-ils convenu qui assure à 100 % que l’un d’eux (au moins) proposera la bonne couleur pour le chapeau qu’il porte ?
Plus étonnant, et maintenant on est encore plus proche d’un paradoxe, j’attends des lecteurs qu’ils résolvent un second problème :
- Prouvez que si l’un des myopes est en réalité un aveugle, alors cette fois aucune stratégie convenue à l’avance ne peut fonctionner dans 100 % des cas. Notez bien que, comme précédemment, on ne demande aux joueurs que de s’ar­ranger pour qu’au moins l’un d’eux devine correctement la couleur du chapeau qu’il porte.
Cette seconde partie du problème consiste à démontrer ce qu’on nomme un « résultat négatif ». L’histoire des mathé­matiques en compte de nombreux : la démonstration découverte par les savants grecs que √2 n’est pas un nombre rationnel (c’est-à-dire qu’il n’existe pas deux entiers p et q, tels que √2 = p/q) est sans doute le premier résultat de ce type. Ici, il faut démontrer qu’aucune stratégie de jeu n’est possible si la ronde des 11 personnages est composée de  10 myopes et 1 aveugle.



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 #2 - 05-08-2013 21:58:25

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Le congrés des myopes

Pour la première partie, c'est le truc que je disais dans l'énigme précédente en pensant qu'il y avait deux couleurs de chapeaux : chacun dit la couleur du chapeau qu'il voit, car quelque soit la disposition des chapeaux, il y aura forcément deux chapeaux consécutifs de même couleur.

Si il y a un aveugle, alors l'arbitre peut faire en sorte que chaque personne qui n'est pas aveugle donne la mauvaise réponse, et l'aveugle du coup aura une chance sur deux de dire la couleur de son chapeau.

Pour que l'arbitre trouve une tel configuration, (sachant qu'il connait la stratégie des joueurs) il procède ainsi :

Il pose un chapeau sur la tête de l'aveugle, connaissant la stratégie des joueurs,
il sait quelle couleur dira celui qui voit le chapeau de l'aveugle, il donnera donc à ce dernier la mauvaise couleur de chapeau, et ainsi de suite. Ainsi tous les myopes diront une mauvaise réponse, et l'aveugle aura une chance sur deux.

Edit : En fait s'ils disent la couleur de leur chapeau au hasard, ils ont a peu près 99,95% de chance de gagner, donc si il y a un aveugle, la meilleure stratégie est de dire la couleur de son chapeau au hasard !


Il y a sûrement plus simple.

 #3 - 05-08-2013 22:07:55

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Le congrés des myope.s

chacun annonce comme couleur de son chapeau la couleur du chapeau qu'il voit devant lui.
Pour qu'aucun ne gagne, il aurait fallu que la couleur des chapeaux soit alternée, or, 11 est impair donc l'arbitre ne peut alterner la couleur de tous les chapeaux.

Si l'un des 11 est aveugle, alors là, l'arbitre peut mettre 2 couleurs identiques consécutives sur l'aveugle et celui qui est devant lui : la stratégie précédente des myopes devient inopérante. (rem : je n'ai pas prouvé qu'aucune stratégie ne marche...).

 #4 - 06-08-2013 00:03:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

le congtés des myopes.

Chacun répond la couleur qu'il voit, le nombre étant impair, il y a au moins deux couleurs consécutives identiques.

Un aveugle peut se tromper et si c'est le suivant qui a le même couleur ça fiche tout en l'air.

 #5 - 06-08-2013 12:57:55

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le congrés dzs myopes.

Proposition
Considérons noir=0 et rouge=1 et raisonnons en modulo 2.
Soient a=couleur myope 1, b=couleur myope 2, ..., k=couleur myope 11.
Chacun des myopes disposent d'une seule information (couleur du myope devant lui) qu'il doit exploiter.
Réponse des myopes:
myope 1: k+y1,
myope 2: a+y2,
myope 3: b+y3,
.
.
.
myope 10: i+y10,
myope 11: j+y11.

où y1, y2, ..., y11 sont des entiers.
Par substitution successive, on arrive à cette équation:
a=a+y1+y2+y3+...y10+y11.
ce qui est vrai si et seulement si y1+y2+y3+...y10+y11=0 (en d'autre terme cette somme est paire car nous travaillons en modulo 2).
Je pose donc y1=y2=...=y10=1 et y11=0.
Stratégie gagnante: Les myopes 1 à 10 donnent la couleur opposée à celle du myope devant eux et le myope 11 donne la même couleur que celle du 1.

Pour la deuxième partie, si un des personnages est aveugle alors il faut éviter d'aller à ce jeu avec lui smile smile. Je continue à voir comment formuler l'impossibilité de manière mathématique.

 #6 - 07-08-2013 00:50:52

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Le congrés des mmyopes.

Chacun dit la couleur de celui qui est devant lui. Comme ils sont un nombre impair, alors il y en a deux voisins qui ont leur chapeau de la même couleur.

 #7 - 07-08-2013 17:57:04

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

Le congrés des mmyopes.

Bravo à tous!

 #8 - 07-08-2013 20:04:52

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Le congrés dees myopes.

Bon alors maintenant, on veut savoir pourquoi c'est impossible avec un aveugle !

 #9 - 07-08-2013 20:41:32

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

Le conrés des myopes.

Une stratégie gagnante à tous coups pour l’équipe de
myopes est la suivante. Le premier myope (ou l’un des
myopes choisi une fois pour toutes) indique la couleur qu’il
voit devant lui. Les autres indiquent la couleur inverse de
celle qu’ils voient devant eux. De deux choses l’une :
(a) Tous les chapeaux ont la même couleur. Dans ce cas, le
premier myope a deviné la couleur de son chapeau.
(b) Les couleurs ne sont pas toutes identiques. Dans ce cas,
il existe au moins deux myopes qui ont devant eux un chapeau
différent du leur, l’un au moins n’est pas le premier
myope et donc devine la couleur de son chapeau.
Notez que cette stratégie fonctionne avec un nombre pair
ou impair de joueurs.

Pour le second problème, on peut, sans perte de généralité,
supposer que le cercle des onze joueurs est composé : de
l’aveugle, du myope 1 qui voit le chapeau de l’aveugle, du
myope 2 qui voit le chapeau du myope 1, du myope 3 qui
voit le chapeau du myope 2, ..., du myope 10 qui voit le
chapeau du myope 9.
Une stratégie qui ne fait pas intervenir le hasard (on se limite
à ce type de stratégies dans un premier temps) est une règle
qui, en fonction de ce que voit un joueur, décide ce qu’il
doit répondre. Une stratégie s’exprime donc sous la forme
d’une série de consignes de genre :
- L’aveugle propose rouge ;
- Le myope 1 propose rouge s’il voit un chapeau noir et noir
s’il voit un chapeau rouge ;
- Le myope 2 propose noir s’il voit un chapeau noir et noir
s’il voit un chapeau rouge.
- etc.
- Le myope 10 propose rouge s’il voit un chapeau noir et
noir s’il voit un chapeau rouge.
Au total, il y a 21 éléments de consigne (écrits en italique
dans l’exemple) pour définir une stratégie, ce qui signifie
qu’il y a 221 stratégies différentes possibles.
Imaginons qu’une telle stratégie est fixée.
La réponse de l’aveugle est fixée. On ne considérera, pour la
suite du raisonnement, que des distributions de chapeaux
qui comporteront pour lui un chapeau de la mauvaise couleur
(si la stratégie retenue lui commande, par exemple, de dire
rouge, toutes les distributions de la suite du raisonnement
lui attribueront un chapeau noir).
Si la réponse du myope 1 (celui qui voit le chapeau de
l’aveugle) est rouge pour la couleur que nous venons de
fixer pour l’aveugle, nous n’envisagerons pour la suite que
des distributions de couleurs où le chapeau du myope 1 est
noir, et inversement. Il en résulte que, pour toutes les distributions
de chapeaux que nous envisagerons par la suite,
l’aveugle et le myope 1 se tromperont.
Si la réponse du myope 2 est rouge pour la couleur que nous
venons de fixer pour le myope 1, nous n’envisagerons, pour
la suite, que des distributions de couleurs où le chapeau du
myope 2 est noir, et inversement. Il en résulte que, pour
toutes les distributions de chapeaux que nous envisagerons
pour la suite, l’aveugle, le myope 1 et le myope 2 seront dans
l’erreur.
On continue de la même façon construisant ainsi, petit à
petit, une distribution de chapeaux qui met l’aveugle et les
10 myopes en défaut. Cette distribution qui existe donc,
quelle que soit la stratégie convenue à l’avance par les 10
myopes et l’aveugle, montre qu’aucune stratégie ne réussit à
garantir au moins une réponse juste pour chaque distribution
possible. En conséquence, si l’arbitre les a espionnés, il
est certain de pouvoir les faire perdre. Dans le cas où il ne
les a pas espionnés et où il pose les chapeaux au hasard, il a
au moins une chance sur 211 de les faire perdre.
Le raisonnement précédent suppose que les joueurs
ne jouent pas au hasard, autrement dit que la stratégie est
déterministe. Si elle ne l’était pas (c’est-à-dire si elle est probabiliste)
et qu’elle était gagnante dans 100 % des cas, alors,
en retenant, face à une distribution donnée, l’une des
réponses possibles de la stratégie, on en tirerait une stratégie
déterministe gagnante dans 100 % des cas. Comme de
telles stratégies n’existent pas d’après la première partie du
raisonnement, on en déduit que, même utilisant le hasard,
aucune stratégie de jeux (déterministe ou probabiliste) ne
gagne dans 100 % des cas.

 #10 - 07-08-2013 21:34:22

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

le congrés des myopzs.

Ha oui, c'est très simple une fois qu'on a la réponse !

 

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