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 #1 - 25-08-2011 18:39:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

polynôme à valeurs ebtières

Montrer qu'un polynôme de degré n qui prend en 0,1,2,...,n des valeurs entières, prend des valeurs entières sur tous les entiers naturels.
(entier seul signifie entier relatif)


Bon travail.smile



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 #2 - 25-08-2011 21:11:02

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Plynôme à valeurs entières

Je ne comprends pas trop bien l'énoncé de la question. Est-ce c'est bien :

Soit P un polynôme de degré [latex]n[/latex] tel que [latex]P(i) = k_i[/latex] où [latex]k_i \in \mathbb{N}[/latex] pour [latex]1 \le i \le n[/latex].

Montrer que [latex]P(n) = k_n[/latex], [latex]\forall n \in \mathbb{N}[/latex]

???

 #3 - 25-08-2011 21:25:08

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

polynôme à valeurs ebtières

Non Clément, P(0),P(1),...,P(n) sont des entiers relatifs (Z) et il s'agit de montrer que P(n+1),P(n+2),.... sont aussi des entiers relatifs. (Ne pas oublier que P est de degré n)


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 #4 - 26-08-2011 09:58:32

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Polynôme à valeusr entières

OK ! Dernière précision : tu n'as pas précisé l'ensemble d'appartenance des coefficients du polynôme... Donc on peut supposer que le polynôme est dans [latex]\mathbb{R}[X][/latex] ou [latex]\mathbb{C}[X][/latex] ??

 #5 - 26-08-2011 10:02:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

polynôme à valzurs entières

Sauf erreur le résultat se démontre facilement par récurrence .

Notons [latex]P_n[/latex] la propriété : tout polynôme de [latex]\mathbb{R}[X][/latex] de degré inférieur ou égal à [latex]n[/latex] prenant des valeurs entières pour les [latex]n+1[/latex] premiers entiers prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels .

La proposition est clairement vraie pour [latex]n=0[/latex] ( et même pour le polynôme nul ) . Supposons la propriété vérifiée jusqu'au rang [latex]n[/latex] et considérons un polynôme [latex]P[/latex] de degré [latex]n+1[/latex] prenant des valeurs entières sur chacun des [latex]n+2[/latex] premiers entiers .
[latex]Q(X)=P(X+1)-P(X)[/latex] est un polynône de degré inférieur ou égal à [latex]n[/latex] prenant des valeurs entières sur les [latex]n+1[/latex] premiers entiers , par hypothèse il prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels .
La relation [latex]P(X+1)=P(X)+Q(X)[/latex] entraîne que [latex]P[/latex] prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels , la récurrence est établie .

Vasimolo

 #6 - 26-08-2011 10:18:20

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Polynôme à valurs entières

Pas de problème pour Vasimolo, Clément on va dire que le polynôme est à coefficients réels.


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 #7 - 29-08-2011 09:44:14

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Polynnôme à valeurs entières

La solution de Vasimolo est bonne, j'ajouterais simplement que [latex]P(n)=\sum_{i=1}^{n-1}Q(i)+P(0)[/latex] donc une fois qu'on a montré que [latex]Q[/latex] est à valeurs entières et puisque l'on sait que [latex]P(0)[/latex] est un entier, on a le résultat.


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