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 #26 - 18-08-2013 14:20:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Les suitess de Kuzrassi

En effet, Cogito. Alors qu'au final, tu verras si tu ne trouves pas, c'est plutôt simple.
Un indice peut être: tu peux essayer de travailler en base 3.

#0 Pub

 #27 - 18-08-2013 19:08:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Les suite sde Kuzrassi

Je crois avoir trouver la forme générale des Kuz , enfin presque smile

Je pars d'un Kuz=a et je note b=3a+1 son antécédent alors a est un Kuz si et seulement si l'un des cas suivant est réalisé :
[TeX]b\equiv 8\times 2^{6k+1}[Mod \ 36\times 2^{6k+1}][/TeX][TeX]b\equiv 32\times 2^{6k+3}[Mod \ 36\times 2^{6k+3}][/TeX][TeX]b\equiv 8\times 2^{6k+5}[Mod \ 36\times 2^{6k+5}][/TeX][TeX]b\equiv 32\times 2^{6k+5}[Mod \ 36\times 2^{6k+5}][/TeX]
Il reste à traduire ça pour a .

Vasimolo

 #28 - 18-08-2013 19:14:50

cogito
Expert de Prise2Tete
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Messages : 593

mes suites de kuzrassi

Bon alors après rectification j'obtiens :

-pour e = 3 j'obtiens la formule 48k + 29.
-pour e = 4 j'obtiens la formule 96k + 5.
-pour e > 4 j'obtiens des formules du même genre que précédemment avec seulement un décalage dans les puissances de 2 :
[TeX]{{64 * 4^l(3k+1) -1}\over 3}[/latex]    ou   [latex]{{32*4^l(3k+2) -1}\over 3}[/TeX]
pour tout couple (l,k).


Haaa, ça y est je viens de voir,  comme 4^l(3k+1) est congru à 1 modulo 3
alors il existe un K tel que 4^l(3k+1) = 3K+1, donc dans la première formule je peux me ramener uniquement au cas l = 0 ! 

La première formule devient donc 64k+21. (c'est magnifique smile)

De même dans la deuxième formule, si l > 1 alors on peut posé l = j+1
et on obtient :
[TeX]{{32*4^{j+1}(3k+2) -1}\over 3}={{32*4*4^j(3k+2) -1}\over 3}[/TeX]
[TeX]= {{32*(2*2)*4^j(3k+2) -1}\over 3}={{64*4^j*2(3k+2) -1}\over 3}[/TeX]
Or  [latex]4^j*2(3k+2)[/latex] est de la forme 3K+1, c'est donc déjà calculé par la première formule ! et donc pour la deuxième formule aussi on peut se ramener à l = 0 !

La deuxième formule devient donc : 32k + 21.

On peut remarquer aussi que la deuxième formule pour k pair est la même que
la première formule, donc les seul nombre intéressant de la deuxième formule
sont ceux de la forme 32(2k+1) + 21 = 64k +53.

Bon, pour récapituler, les Kuz sont les nombres de la forme :
48k + 29 , 96k + 5 , 64k + 21 ou 64 k + 53 .

Donc les quatre premiers Kuz sont 5 21 29 53, et les quatre suivants sont  77 85 101 et 117.

Voilà smile.


Il y a sûrement plus simple.

 #29 - 18-08-2013 20:03:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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les suites fe kuzrassi

Tu peux éliminer 21 et 117, multiples de 3, qui ne sont pas dans l'esprit de l'énoncé qui veut que l'on ne les prenne pas. Sinon les autres sont bons.
Peut être en supprimant les multiples de 3 dans ta démarche pourras tu simplifier encore ?
Le fait que je retire les multiples de 3 comme kuz est que je voudrais bien que le kuz soit accessible par l'algorithme Syracuse, ce qui ne peut se faire pour les multiples de 3 (sauf leurs multiples par 2).
Sinon, tu l'avais déja vu, tous les multiples de 3 sont des kuz.
Mais ces nombres là ne m'intéressent pas vraiment.

 #30 - 18-08-2013 20:16:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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les duites de kuzrassi

A tous:
Dans l'algorithme de Syracuse, le destin d'un nombre impair n est partagé par tous les nombres impairs obtenus à partir de n de cette façon:
n, 4n+1, 4(4n+1)+1, 4(4(4n+1)+1)+1, ...
par exemple 5 donne comme impair direct 1. Les nombres 21, 85, 341,..donneront aussi directement 1 comme impair.

La règle pour trouver les kuz est plus simple. N'oubliez pas qu'un kuz est lui même origine d'une suite kuz.

 #31 - 18-08-2013 21:55:44

cogito
Expert de Prise2Tete
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Les suites de Kurassi

48k+ 29 et 96k + 5 ne seront jamais des multiples de 3.

64k+21 est un multiple de 3 seulement si k est un multiple de 3, on obtient donc
64(3k+1) + 21 = 192k + 85 et 64(3k+2)+21 = 192k + 149.

64k + 53 est un multiple de 3 seulement si k est congru à 1 modulo 3, on obtient donc 64(3k) + 53 = 192k + 53 et 64(3k+2) +53 = 192k + 181.

Les premiers élément de la suite 48k + 29 sont 29 77 125 173, et nous avons 48 * 4 = 192, donc les 48k+29 correspondent aux 192k+29, 192k+ 77, 192k + 125, 192k + 173.

Les premeirs éléments de la suite 96k + 5 sont 5, 101, et 96 * 2 = 192 donc les 96k+5 correspondent aux 192k + 5, 192k + 101.

Donc les Kuz non multiples de 3 sont ceux de la forme :
192k+5, 192k+29, 192k+53, 192k+77,192k+85, 192k+101, 192k+125, 192k+149, 192k+173, 192k+181.

La liste des Kuz non multiples de 3 inférieure à 200 est donc :
5 29 53 77 85 101 125 149 173 181 197.

J'ai tout uniformisé modulo 192, je ne vois pas d'autres points communs qui pourrait unifier ces formules.

P.S. : c'est vrai que dans les suites de Syracuse on n'a pas de multiples de 3, mais dans sa généralisation c'est plutôt le contraire, on a pas de multiples de 3 (à part peut-être leurs multiples de 2).


Il y a sûrement plus simple.

 #32 - 18-08-2013 23:56:59

Vasimolo
Le pâtissier
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Les suites de Kuzrasssi

J'ai l'impression de me perdre de plus en plus sad

Tu as sûrement trouvé une propriété remarquable de la suite de Syracuse mais on n'est pas dans ta tête smile

J'ai proposé dans ma liste [latex]b=8\times 2^{11}[36\times 2^{11}][/latex] .

Par exemple [latex]b=90112\rightarrow a=\frac{b-1}3=30037[/latex] est-il un Kuz ( dernière version ) ou non ? Ma liste est-elle complète ?

Il existe peut être une façon simple de caractériser les Kuz mais j'avoue que parmi toutes les erreurs et variations qui émaillent ce post , je ne sais plus vraiment ce que je cherche lollollollol

Vasimolo

 #33 - 19-08-2013 11:44:00

Vasimolo
Le pâtissier
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Les suites de Kuzrasssi

En détaillant les quatre cas je me suis rendu compte que les deux derniers étaient redondants avec les deux premiers .

En bref les Kuz sont les entiers dont le prédécesseur immédiat a l'une des formes suivantes :
[TeX]b=8\times 64^k(9n+2)[/latex] ou [latex]b=32\times 64^k(9n+8)[/TeX]
A confirmer ou à infirmer smile

Vasimolo

 #34 - 19-08-2013 19:06:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Les suites de KKuzrassi

Cogito, tu as presque bon, c'est dans la toute première expression que tu as quelque chose à corriger. La seconde est bonne.
Je t'aide un peu: en corrigeant ta 1ère expression, tu vas trouver tous les cas possibles.

Vasimolo, tu n'es pas loin du tout, depuis le début d'ailleurs, mais au final, tu devrais pouvoir t'en sortir avec 2 expressions...linéaires!

 #35 - 19-08-2013 19:28:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Les suites de Kuzrrassi

Je corrige ce que j'ai écrit tantôt à Cogito: les 2 premières expressions sont à corriger, et si tu sais les redresser, tu auras tous les cas.

 #36 - 19-08-2013 19:52:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Les suites de Kuzassi

Vasimolo: 30037 est bien un kuz.

 #37 - 19-08-2013 20:04:14

cogito
Expert de Prise2Tete
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les syites de kuzrassi

J'ai un peu mieux, les nombres de la forme
192k +5, 192k+29, 192k+53, 192k+77,192k+101,192k+125,192k+149 et 192k+173 sont tous générés par les nombres de la forme 24k+5 ! (c'est beaucoup mieux même smile)
Et les nombres de la forme 192k+85 et 192k+181 sont donnés par les nombres
de la forme 96k+85.

Il ne me reste plus que deux formules qui sont 24k+5 et 96k+85 !  smile


Il y a sûrement plus simple.

 #38 - 20-08-2013 19:48:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
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mes suites de kuzrassi

Cogito, c'est bon !
Vasimolo n'arrive pas à se débarrasser de la puissance de 2...

 #39 - 21-08-2013 11:18:18

Vasimolo
Le pâtissier
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les suites de kyzrassi

J'avais la bonne réponse mais je n'avais pas vu que toutes les solutions étaient contenues dans le cas k=0 .

En bref on a b/8=9n+2 ou b/32=9n+8 ce qui donne bien les Kuz de Cogito smile

Je ne suis pas sûr que tout ça fasse progresser l'étude de Syracuse mais un petit plaisir ne peut pas faire de mal cool

Vasimolo

 #40 - 21-08-2013 18:41:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Lees suites de Kuzrassi

Oui Vasimolo, comme tu dis, on a le droit se faire plaisir sur ce sujet, il est tellement dérangeant...
Je vais donner ma méthode, juste pour montrer à quel point, une fois qu'on a trouvé, on se dit: mais bon dieu, mais c'est bien sûr !

Un entier exprimé en base 3, s'il est écrit puissance forte à droite, est multiple de 3 quand il finit par 0, et multiple de 9 quand il finit par 00.
Si un pair finit par 10, c'est un 9k+1, on ne peut en faire un impair.
On ne peut fabriquer un impair que pour: 11...ou 12...
11...devient 1..après avoir ôté 1 puis division par 3.
12.. devient 2..par la même opération.
Pour trouver un kuz, il suffit de ne pas suivre l'algorithme et de mulitplier ce pair qui se termine par 11 ou 12, et qui devrait donner un impair, par 2. Ensuite, on revient à l'algorithme kuz pour trouver l'impair kuz.
Pour 11...
11.. on double
22..on doouble
12...on divise
2..=A

A est tel que
3A+1=9K+7=8J

Après traitement, on obtient les kuz de la forme 24k+5

Pour 12..
12...on double
21..on double
10...on double
20...on double
11...on divise
1...=B

B est tel que
3B+1=9K+4=32J

Après traitement, on obtient les kuz de la forme 96k+85

Ce qui remarquable avec ces suites, c'est qu'elles sont infinies, globalement croissantes, nombreuses (plus d un impair sur 8, si on ne tient pas compte des 3n), indépendantes les unes des autres, et sont inversibles, l'algorithme inverse étant celui de Syracuse.
Ainsi, les boucles éventuelles, tant cherchées, peuvent se produire:
-par une suite kuz sans nombre kuz, mais cette éventualité est extrêmement faible, compte tenu qu'on sait déja par ailleurs qu'il faut au moins 1000 opérations pour avoir une boucle.
-par un chainage de kuz successifs, beaucoup plus probable (par rapport à la suite sans kuz, pas par rapport à l'éventualité d'une boucle).

Si on s'amuse à chercher le chainage des kuz par Syracuse, on se rend assez vite compte que des nombres kuz sont très attractifs. En particulier le kuz 2429=24*101+5, suite dans laquelle on trouve le nombre 31, origine d'une longue suite Syracuse.

Si on veut établir un record pour trouver le plus grand nombre en deça duquel il n'y a pas de boucles, pas la peine de tester tous les impairs, seul le test des kuz suffit. On peut même en sauter, en prendre 1 sur 10 par exemple, compte tenu qu'une boucle ne peut s'établir qu'avec beaucoup de nombres, et a donc un fort pouvoir d'attraction.

On s'amuse comme on peut.

Hommage à Cogito et Vasimolo qui ont bien trouvé les solutions sous une forme différente.

 

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