En effet, Cogito. Alors qu'au final, tu verras si tu ne trouves pas, c'est plutôt simple.
Un indice peut être: tu peux essayer de travailler en base 3.

Bon alors après rectification j'obtiens :

-pour e = 3 j'obtiens la formule 48k + 29.
-pour e = 4 j'obtiens la formule 96k + 5.
-pour e > 4 j'obtiens des formules du même genre que précédemment avec seulement un décalage dans les puissances de 2 :
[TeX]{{64 * 4^l(3k+1) -1}\over 3}[/latex]    ou   [latex]{{32*4^l(3k+2) -1}\over 3}[/TeX]
pour tout couple (l,k).


Haaa, ça y est je viens de voir,  comme 4^l(3k+1) est congru à 1 modulo 3
alors il existe un K tel que 4^l(3k+1) = 3K+1, donc dans la première formule je peux me ramener uniquement au cas l = 0 ! 

La première formule devient donc 64k+21. (c'est magnifique )

De même dans la deuxième formule, si l > 1 alors on peut posé l = j+1
et on obtient :
[TeX]{{32*4^{j+1}(3k+2) -1}\over 3}={{32*4*4^j(3k+2) -1}\over 3}[/TeX]
[TeX]= {{32*(2*2)*4^j(3k+2) -1}\over 3}={{64*4^j*2(3k+2) -1}\over 3}[/TeX]
Or  [latex]4^j*2(3k+2)[/latex] est de la forme 3K+1, c'est donc déjà calculé par la première formule ! et donc pour la deuxième formule aussi on peut se ramener à l = 0 !

La deuxième formule devient donc : 32k + 21.

On peut remarquer aussi que la deuxième formule pour k pair est la même que
la première formule, donc les seul nombre intéressant de la deuxième formule
sont ceux de la forme 32(2k+1) + 21 = 64k +53.

Bon, pour récapituler, les Kuz sont les nombres de la forme :
48k + 29 , 96k + 5 , 64k + 21 ou 64 k + 53 .

Donc les quatre premiers Kuz sont 5 21 29 53, et les quatre suivants sont  77 85 101 et 117.

Voilà .

A tous:
Dans l'algorithme de Syracuse, le destin d'un nombre impair n est partagé par tous les nombres impairs obtenus à partir de n de cette façon:
n, 4n+1, 4(4n+1)+1, 4(4(4n+1)+1)+1, ...
par exemple 5 donne comme impair direct 1. Les nombres 21, 85, 341,..donneront aussi directement 1 comme impair.

La règle pour trouver les kuz est plus simple. N'oubliez pas qu'un kuz est lui même origine d'une suite kuz.

J'ai l'impression de me perdre de plus en plus

Tu as sûrement trouvé une propriété remarquable de la suite de Syracuse mais on n'est pas dans ta tête

J'ai proposé dans ma liste [latex]b=8\times 2^{11}[36\times 2^{11}][/latex] .

Par exemple [latex]b=90112\rightarrow a=\frac{b-1}3=30037[/latex] est-il un Kuz ( dernière version ) ou non ? Ma liste est-elle complète ?

Il existe peut être une façon simple de caractériser les Kuz mais j'avoue que parmi toutes les erreurs et variations qui émaillent ce post , je ne sais plus vraiment ce que je cherche

Vasimolo

Cogito, tu as presque bon, c'est dans la toute première expression que tu as quelque chose à corriger. La seconde est bonne.
Je t'aide un peu: en corrigeant ta 1ère expression, tu vas trouver tous les cas possibles.

Vasimolo, tu n'es pas loin du tout, depuis le début d'ailleurs, mais au final, tu devrais pouvoir t'en sortir avec 2 expressions...linéaires!

Vasimolo: 30037 est bien un kuz.

Cogito, c'est bon !
Vasimolo n'arrive pas à se débarrasser de la puissance de 2...

Oui Vasimolo, comme tu dis, on a le droit se faire plaisir sur ce sujet, il est tellement dérangeant...
Je vais donner ma méthode, juste pour montrer à quel point, une fois qu'on a trouvé, on se dit: mais bon dieu, mais c'est bien sûr !

Un entier exprimé en base 3, s'il est écrit puissance forte à droite, est multiple de 3 quand il finit par 0, et multiple de 9 quand il finit par 00.
Si un pair finit par 10, c'est un 9k+1, on ne peut en faire un impair.
On ne peut fabriquer un impair que pour: 11...ou 12...
11...devient 1..après avoir ôté 1 puis division par 3.
12.. devient 2..par la même opération.
Pour trouver un kuz, il suffit de ne pas suivre l'algorithme et de mulitplier ce pair qui se termine par 11 ou 12, et qui devrait donner un impair, par 2. Ensuite, on revient à l'algorithme kuz pour trouver l'impair kuz.
Pour 11...
11.. on double
22..on doouble
12...on divise
2..=A

A est tel que
3A+1=9K+7=8J

Après traitement, on obtient les kuz de la forme 24k+5

Pour 12..
12...on double
21..on double
10...on double
20...on double
11...on divise
1...=B

B est tel que
3B+1=9K+4=32J

Après traitement, on obtient les kuz de la forme 96k+85

Ce qui remarquable avec ces suites, c'est qu'elles sont infinies, globalement croissantes, nombreuses (plus d un impair sur 8, si on ne tient pas compte des 3n), indépendantes les unes des autres, et sont inversibles, l'algorithme inverse étant celui de Syracuse.
Ainsi, les boucles éventuelles, tant cherchées, peuvent se produire:
-par une suite kuz sans nombre kuz, mais cette éventualité est extrêmement faible, compte tenu qu'on sait déja par ailleurs qu'il faut au moins 1000 opérations pour avoir une boucle.
-par un chainage de kuz successifs, beaucoup plus probable (par rapport à la suite sans kuz, pas par rapport à l'éventualité d'une boucle).

Si on s'amuse à chercher le chainage des kuz par Syracuse, on se rend assez vite compte que des nombres kuz sont très attractifs. En particulier le kuz 2429=24*101+5, suite dans laquelle on trouve le nombre 31, origine d'une longue suite Syracuse.

Si on veut établir un record pour trouver le plus grand nombre en deça duquel il n'y a pas de boucles, pas la peine de tester tous les impairs, seul le test des kuz suffit. On peut même en sauter, en prendre 1 sur 10 par exemple, compte tenu qu'une boucle ne peut s'établir qu'avec beaucoup de nombres, et a donc un fort pouvoir d'attraction.

On s'amuse comme on peut.

Hommage à Cogito et Vasimolo qui ont bien trouvé les solutions sous une forme différente.