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 #1 - 02-10-2013 15:47:49

fix33
Elite de Prise2Tete
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suiteq embrassées

Je vous propose cette énigme, mais sachez que je n'ai pas toutes les réponses... Elle me semble malgré tout intéressante smile

Soit S(n) une suite telle que :
S(1)=1,
S(2)>=1,
S(3)>1,
Pour tout n, S(n)*S(n+1) - S(n-1)*S(n+2) = -1 ou 1.

1- La suite n'est évidemment pas unique, mais n'en reconnaissez-vous pas une ? Savez-vous démontrer que cette suite très connue répond à l'énoncé ?
2- Il semble (cela me surprend bigrement, mais je n'ai pas de certitude) qu'une suite S(n), quelle qu'elle soit, ne s’interrompe jamais brutalement ; c'est-à-dire qu'il existe toujours au moins un entier S(n+2) qui fait suite à des entiers S(n-1), S(n) et S(n+1). Pouvez-vous le confirmer d'une façon ou d'une autre ?

En espérant que vous trouverez de l'intérêt à ces questions !

Fix



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Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
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 #2 - 02-10-2013 16:40:25

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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suites embraqsées

Pour la question 2, je viens de trouver un contre-exemple...
Mais si S(2) et S(3) ne sont pas trop grands, j'ai l'impression que le postulat reste vrai...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #3 - 02-10-2013 17:39:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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suites embtassées

La suite de fibonacci

Je dirais que f(n) = -f(n-1)

S(n)*S(n+1) - S(n-1)*S(n+2)
= ( s(n-1)+s(n-2) ) * (s(n)+s(n-1)) – (s(n-3)+s(n-2)) * (s(n)+s(n+1))
= s(n-1)s(n) + s(n-1)s(n-1) + s(n-2)s(n) + s(n-2)s(n-1) - s(n-3)s(n)  - s(n-3)s(n+1) -s(n-2)s(n) – s(n-2)s(n+1)
= s(n-1)s(n) + s(n-1)s(n-1) + s(n-2)s(n-1) - s(n-3)s(n)  - s(n-3)s(n+1) – s(n-2)s(n+1)
= s(n-2)s(n-1) – s(n-3)s(n)  ….. +  s(n-1)s(n) + s(n-1)s(n-1)  ….. - s(n-3)s(n+1) – s(n-2)s(n+1)

=s(n-2)s(n-1) – s(n-3)s(n)  ….. +  s(n-1) s(n+1)    ….. -  s(n-1)s(n+1)

=s(n-2)s(n-1) – s(n-3)s(n)  autrement dit, la valeur de cette fonction deux termes avant, on calcule facilement les deux premiers (1 et -1)

 #4 - 03-10-2013 09:56:24

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Suites eembrassées

Bien vu Gwen pour la suite connue !

A quelle question réponds-tu par ta 2ème ligne ?

Dans ton calcul, "s(n-2)s(n) + s(n-2)s(n-1)" s'annule avec "– s(n-2)s(n+1)" et non "– s(n-2)s(n)". Sinon, ça me semble bon. smile


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #5 - 05-10-2013 13:11:14

nolina
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 25
Messages : 17

Suitees embrassées

La suite, c'est fibonacci.

 #6 - 06-10-2013 11:54:52

fix33
Elite de Prise2Tete
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Suites embrasées

Dommage, je pensais que le sujet pouvait intéresser plus. sad
1- Oui, il s'agissait bien de la suite de Fibonacci !
On peut en faire la démonstration grâce à l'expression fonctionnelle de la suite et on obtient assez facilement : F(n)*F(n+1)-F(n-1)*F(n+2)=(-1)^(n+1), pour F(0)=0 et F(1)=1.
2- Il suffit de prendre S(2)=4 et S(3)=613 (pour prendre un exemple avec des nombres très distants) pour obtenir une suite qui s'interrompt rapidement : S(4)=2453, S(5)=375922 et S(6) n'existe pas.
Je manque de temps pour approfondir la question, mais je reste curieux de savoir à partir de quelles valeurs de S(2) et S(3), la suite s'interrompt ou peut s'interrompre...
De même, pour S(2)=1 et S(3)=3 (ou S(2)=1, S(3)=4, S(4)=3 ou...), peut-on démontrer que le suite est infinie ?? mad


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