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 #1 - 10-05-2013 17:50:48

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

quites spéciales

On appelle écart spécial d'un nombre n la différence entre le plus grand nombre que l'on puisse écrire avec les chiffres de n et le plus petit nombre que l'on puisse écrire avec les chiffres de n.

Par exemple l'écart spécial du nombre 213 est 321-123, c-à-d 198.

On peut ainsi fabriquer une suite de nombres où, une fois fixé le premier terme de la suite, chaque terme de la suite est l'écart spécial du terme précédent. Cette suite sera appelée suite spéciale.

La suite spéciale de premier terme 213 commence ainsi :

213, 198, 792...

1) Que peut-on dire d'une suite spéciale commençant par un nombre à 2 chiffres ?

2) Que peut-on dire d'une suite spéciale commençant par un nombre à 3 chiffres ?

3) Que peut-on dire d'une suite spéciale commençant par un nombre à 4 chiffres ?



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 #2 - 10-05-2013 18:24:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Suite spéciales

Si tous les chiffres sont identiques tous les termes de la suite sont nuls sinon la suite converge très rapidement vers 495 pour trois chiffres et 6174 pour quatre .

Vasimolo

 #3 - 10-05-2013 20:57:29

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

suites spécialed

Déjà, tout les membres d'une suite spéciale sont divisibles par 9, excepté le premier dans certains cas.

Une suite spéciale d'un nombre à 3 chiffres se termine par 495 dont l'écart spécial donne 495. (Le cas d'un nombre à 3 chiffres identiques aboutit à 0)

Une suite spéciale d'un nombre à 4 chiffres se termine par 6174 dont l'écart spécial donne 6174. (Le cas d'un nombre à 4 chiffres identiques aboutit à 0)

Je veux dire par "se termine par" que la suite concernée aboutit obligatoirement à ce nombre qui, ensuite, se répète à l'infini dans la suite.

Voilà et j'espère que c'est ce que vous attendiez comme réponse. Par contre, je n'ai pas la capacité de prouver les résultats ci-dessus mais je peux essayer ...

 #4 - 10-05-2013 21:03:26

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Sutes spéciales

Je poste un nouveau message afin que vous le remarquiez. Je voulais vous dire que cette "suite" (car elle n'a pas d'origine constante) existe déjà : elle est appelée algorithme de Kaprekar. Et les deux nombres qu'on doit trouver sont appelés constante de Kaprekar. J'ai trouvé la page Wikipédia en faisant une recherche avec pour mots-clés 6174 et 495.

On apprend que les nombres de 1 chiffres ou de 2 chiffres aboutissent tous à 0 et que certains aboutissent à une constante et d'autres à des cycles.

 #5 - 10-05-2013 22:38:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

suotes spéciales

Je ne crois que ce que je vois. Vous auriez une preuve ? big_smile

 #6 - 10-05-2013 22:58:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Suitess spéciales

[latex]\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)[/latex] et [latex]\overline{abcd}-\overline{dcba}=999(a-d)+90(b-c)[/latex] après il suffit de tester les quelques possibilités .

Vasimolo

 #7 - 11-05-2013 05:41:05

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Suites spciales

Comme les ecarts sont forcement des multiples de 9, on peut dire...:

1) Que peut-on dire d'une suite spéciale commençant par un nombre à 3 chiffres ?
que le chiffre du milieu sera toujours un 9...
et donc que la suite a au plus 11 elements.

2) Que peut-on dire d'une suite spéciale commençant par un nombre à 4 chiffres ?
que la suite a au plus 1111 elements.

apres quoi, elles se repetent d'une maniere ou d'une autre...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 11-05-2013 11:01:58

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Suites séciales

Une preuve du site ou une démonstration mathématique et rigoureuse ?

Pour wikipédia, voilà 3 liens (une en anglais, deux en français) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Kaprekar
http://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Kapreka
http://en.wikipedia.org/wiki/6174_(number)

Pour la démonstration je ne peux mais pour les exemples, le dernier lien contient deux arbres qui représente l'algorithme de Kaprekar pour les nombres à 4 chiffres et l'autre pour les nombres à 3 chiffres.

 #9 - 11-05-2013 11:19:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suites spécialess

Pour un nombre à 3 chiffres, distinguons les nombres de la forme:
aaa----->0
aab ou abb ou abc---->a;9;9-a----->945.

Pour un nombre à 4 chiffres, c'est un peu plus compliqué (représentation chiffres décroissants):
aaaa ou aaab ou abbb ou abbc ou ab(b-5)c ou 9531 ----->0
Tous les autres donnent 7641

Démo:
aaab-baaa=a99(9-a) qui aboutit à 999 donc 0.
Idem pour abbb, abbc.
Pour les autres
abcd-dcab=a-d;b-c-1;9+c-b;d-a+10.
On remarque que la somme des 2 nombres d'extrémité fait 10, les 2 centraux fait 8. ça réduit considérablement le nombre de cas possibles!

Pour les nombres à 5 chiffres et plus, on tombe dans plusieurs boucles différentes.

 #10 - 11-05-2013 17:17:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Sutes spéciales

@Vasimolo : oui.

@SabanSuresh : ok, merci !

@dhrm : oui tu as raison, mais on peut dire bien plus que ça. Déroule quelques exemples et tu vas comprendre...

@nodgim : ok sur le fond, mais tu fais plein de cas particuliers qui n'en sont pas.

 #11 - 12-05-2013 20:50:44

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Suites péciales

Propositions:

1) Deux chiffres:
Soit le nombre avec les chiffres a et b tel que a<=b
Le terme suivant de la suite U1=ba-ab=10*b+a-10*a-b=9*(b-a)
U1=9*q où q=b-a
On peut donc avoir 10 cas différents; q=0 à 9
Dans chaque cas, on U5=0;
Conclusion: La suite spéciale dans ce cas est convergente et converge vers 0.

2) Trois chiffres:
Soit le nombre avec les chiffres a, b et c tel que: a<=b<=c
Le terme suivant de la suite U1=cba-abc=100*c+10*b+a-(100*a+10*b+c)
U1=99*c-99*a=99*(c-a)=99*n avec n=c-a;
On peut donc avoir 10 cas différents; n=0 à 9.
# n=0; U1=0; U2=0; ...; Uinf=0;
# n=1; U1=99; U2=0; ...; Uinf=0;
# n=2 à 9; on trouve U5=495 or l'écart spécial de 495 est égal à 495 donc Uinf=495.
Nota: Uinf=valeur U à l'indice infini.
Conclusion: La suite spéciale dans ce cas est convergente et converge vers:
# 0 si le nombre formé de 3 chiffres identiques ou de 2 chiffres identiques et d'un 3ième chiffre +/- 1 les 2 identiques (exple 565);
# 495 dans tout autre cas.

3) Quatre chiffres:
Soit le nombre avec les chiffres a, b, c et d tel que a<=b<=c<=d
Comme précédemment, on trouve U1=999*(d-a)+90(c-b)=999*m+90*p où m=d-a et p=c-b
Remarque: p<=m (merci titoufred pour la remarque),
Il y a donc au total 55 cas différents à étudier . Un rapide algorithme permet d'arriver à la conclusion suivante.
Conclusion: La suite spéciale dans ce cas est convergente et converge vers:
# 0 dans les 2 cas suivants m=0 et p=0  /  m=1 et p=0
# 6174 dans tout autre cas.
Nota: Notons au passage que l'écart spécial de 6174 est égal à 6174.

 #12 - 12-05-2013 21:31:20

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

quites spéciales

Oui bravo kossi_tg.

Remarque : p <= m donc il y a quelques cas qui disparaissent.

Je viens de penser que j'ai éludé la question pour 2 chiffres. Je la rajoute.

 #13 - 12-05-2013 21:37:51

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Suites spéicales

Tout les nombres à deux chiffres aboutissent à 0 à coup sûr.

 #14 - 12-05-2013 21:54:38

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Suites spécilaes

en un coup ?!

 #15 - 13-05-2013 13:02:19

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Suites sépciales

Ch'ui bête je voulais dire à coup sûr, me suis trompé roll. Corrigé.

 #16 - 13-05-2013 15:05:37

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

suites dpéciales

Oui, bravo. Pourquoi ?

 #17 - 13-05-2013 18:24:24

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Siutes spéciales

Bah, on fait l'opération 10a+b-(10b+a) qui est égal à 9a-9b ou 9(a-b). a-b peut valoir de 0 à 9 et on essaye les différents cas et ça aboutit chaque fois à zéro.

 #18 - 13-05-2013 21:30:14

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Siutes spéciales

Vous pouvez à présent regarder le message de kossi_tg, qui est le seul à avoir trouvé la-bonne-réponse-complète-avec-tous-les-cas-particuliers. Encore bravo à lui.

 

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