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 #1 - 12-09-2012 17:34:17

castorreglisse
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

les suites er le raisonnement par récurrence

Bonjour!!!
je vous écris aujourd'hui parce que j'ai un petit problème. hmm
Je suis en Term S et je fais un chapitre sur les suites ( déjà un peu étudié l'an passé ) et je révise pour mon contrôle. Je fais donc des exercices types mais j'ai bloqué sur celui ci :

Soit (u_n) la suite définie pour tout entier n par:
               U_0=0
               U_(n+1)="racine de" U_n +6

1) Montrer que pour tout entier n : o<=U_n <=3
2) Etudier la monotonie de ( U_n)
3) Est-il possible de réaliser: 3- U_n<10^-6


Merci d'éclairer ma lanterne tongue
castor, une élève un peu perdu



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 #2 - 12-09-2012 20:14:14

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

kes suites et le raisonnement par récurrence

1)

tu poses f(x) = "racine de " x + 6 définie sur [0;+inf[

cette foncion est croissante car "racine de " x et 6 le sont et que la somme de deux fonctions croissantes est une fonction croissante.

On a donc f(U_n) = U_(n+1)

Ici démarre la récurrence :
Etape Initiale : U_0=0 et 0<=0 <=3 donc 0<=U_0 <=3 est vrai.

Etape hérédité: Supposons U_p vrai, montrons U_(p+1) vrai

Par hypothèse on a  :                       0<=U_p <=3,
                                comme f est une fonction croissante, on en déduit
                                                   f(0)<=f(U_p) <=f(3),
c'est à dire                                      6<=U_(p+1) <="racine de"3 + 6
au sens large on a donc bien             0<=U_(p+1) <=3,

Puisque l'étape initiale et celle de l'hérédité sont vérifiées on en conclut que :

0<=U_n <=3 est vrai pour tout n entier naturel.

2) On fait encore de la récurrence pour montrer la croissance de la suite.

Etape initiale : U_(1)=7, U_(0)=0 donc vrai.

Etape hérédité: Supposons U_(p)<=U_(p+1), montrons U_(p+1)<=U_(p+2)

                       Par hypothèse on a : U_(p)<=U_(p+1)
                      comme f est une fonction croissante, on en déduit 
                                                    f(U_(p))<=f(U_(p+1))
c'est à dire                                      U_(p+1)<=U_(p+2)   

Puisque l'étape initiale et celle de l'hérédité sont vérifiées on en conclut que :

U_n est croissante.
3) La suite U_n est croissante et majoré car U_n <=3 donc elle est convergente (théorème) vers un nombre que nous noterons L.

On a donc  lim (U_(n+1)) ="racine de" lim (U_n) +6

C'est à dire L =  L + 6 car lim (U_(n+1))=lim (U_n)=L vu qu'elle est convergente.

d'où L = 3.

U_n prendra donc toutes les valeurs sur [0;3[ or quand on résout l'inéquation :
3- U_n<10^-6 on trouve 3- 10^-6<U_n ce qui est donc possible.

 #3 - 12-09-2012 21:15:43

castorreglisse
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Less suites et le raisonnement par récurrence

Merci pour cette réponse rapide ! big_smile tu as réussi a me faire comprendre tous mon chapitre.yikes
Encore merci et bonne continuation

castor, une élève un peu moin perdu

 #4 - 12-09-2012 22:27:16

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

les suites et le raisonnement par técurrence

"Sonnez hautbois, résonnez musettes"

 #5 - 12-09-2012 22:35:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Les suites et le raisoonnement par récurrence

J'aime beaucoup :

gilles355 a écrit:

U_n prendra donc toutes les valeurs sur [0;3[ .

Vasimolo

 #6 - 12-09-2012 23:28:11

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Les suites et le raisoonnement par récurrence

Oui je me suis emporté, j'ai dis n'importe quoi sur ce coup, j'aurais dû dire il existe U_n appartenant [0;3[ pour un n assez grand tel que U_n soit supérieur à 3-10^6.

Bref l'essentiel en tous cas c'est que ce type d'exercice est un classique et qu'il ressort souvent donc entraîne toi bien dessus.

 #7 - 13-09-2012 01:47:31

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Les suites e le raisonnement par récurrence

masab a écrit:

"Sonnez hautbois, résonnez musettes"

...ça résonne, et ça récure.


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #8 - 13-09-2012 10:46:40

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

les suites et ke raisonnement par récurrence

Quelqu'un a pensé à préciser que ce forum n'est pas un site d'aide aux devoirs, ou c'est encore au méchant modo de le faire ? big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 13-09-2012 11:25:40

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

les suites et le raisonnement par récurrencz

Ah oui, "MM" ne veut pas dire "MthS-MlndN", mais "Méchant Modo" lol

 #10 - 13-09-2012 18:00:56

castorreglisse
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Le suites et le raisonnement par récurrence

MthS-MlndN a écrit:

Quelqu'un a pensé à préciser que ce forum n'est pas un site d'aide aux devoirs, ou c'est encore au méchant modo de le faire ? big_smile

Ce n'est pas du tout un devoir que j'avais à faire, mais un exercice que je voulais faire pour réviser un contrôle, et dont je ne comprenais pas le raisonnement à appliquer.

Castor.

 #11 - 13-09-2012 18:52:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

les suites et le raisonnelent par récurrence

L'orthographe française en est à son oraison que la raison ignore.

 #12 - 13-09-2012 20:41:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

les suites et le raisonnement par récurrebce

castorreglisse a écrit:

Ce n'est pas du tout un devoir que j'avais à faire, mais un exercice que je voulais faire pour réviser un contrôle, et dont je ne comprenais pas le raisonnement à appliquer.

Okay. Le message reste le même : a priori, Prise2Tête (un site d'énigmes) peut ne pas t'apporter toute l'aide dont tu as besoin pour des exercices "scolaires" : il y a des forums spécialisés dans l'aide aux devoirs, sur Futura Sciences ou Ile-Maths par exemple.

Mais ça ne veut pas dire que je t'en veux. Au contraire : bienvenue smile Et si tu as du temps libre un de ces quatre, n'hésite pas à fouiller le forum ou à commencer les énigmes officielles, je te promets que ça vaut le coup wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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