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 #1 - 15-08-2013 09:08:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

les suitrs de kuzrassi

Bonjour à tous.

Les suites de Kuzrassi sont définies ainsi:
Soit u0, nombre initial impair non divisible par 3 qui n'a pas d'antécédent IMPAIR dans la suite. 
u(n+1)= (un-1)/3 si un pair, si (un-1)/3 entier et si (un-1)/9 non entier. Sinon u(n+1)=2*un.

Les nombres initiaux de ces suites sont dits des Kuz.
1 est il un Kuz ?
Trouver des Kuz.
Trouver tous les Kuz.

2 suites Kuz(rassi) indépendantes peuvent elles avoir des nombres en commun ?

Les suites Kuz sont elles infinies ?

Les suites Kuz contiennent elles des multiples de 3 ?

Une suite Kuz peut elle tourner en boucle ?

Pour un nombre quelconque faisant partie d'une suite Kuz, quel est son devenir si on lui applique l'algorithme de Syracuse ?

Les questions posées ne trouveront pas forcément des réponses dans l'ordre où elles sont posées.



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 #2 - 15-08-2013 10:29:28

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Les uites de Kuzrassi

Bonjour,
je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ce qu'est un nombre initiale,
est-ce un nombre qui n'engendre pas de boucle ?

Edit : Ah,non, c'est plutôt un nombre qui ne fait pas partie d'une boucle ?


Il y a sûrement plus simple.

 #3 - 15-08-2013 11:43:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

les suites de kyzrassi

Un nombre initial, ou kuz, est un nombre qui n'a pas d'antécédent dans la suite de kuzrassi.

 #4 - 15-08-2013 13:02:27

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Les suites de Kuuzrassi

ça y est, j'ai compris (enfin je crois) :

Si (x-1)/3 = y alors x = 3y+1.

Or, on fait l'opération (x - 1)/3 seulement si x-1 n'est pas un multiple de 9,
c'est à dire seulement si 3y n'est pas un multiple de 9, donc seulement si y est de
la forme (3k+1) ou (3k+2). Donc si y est de la forme 3k, il ne peut pas être obtenu par l'opération (x-1)/3. Mais il peut encore être obtenu par une multiplication par 2 si k est pair, donc les nombres initiaux sont les nombres de la forme 6k + 3

Donc 1 n'est pas un Kuz (il peut être obtenu à partir de 4), mais 9, 15, 21 ... sont des Kuz.

En particulier tous les Kuz sont des multiples de 3 or la seul opération que l'on peut faire à partir d'un multiple de 3 pour obtenir le terme suivant est de le multiplier par 2.

Donc les suites de kuzrassi (avec u0 initial) est une suite dont le terme générale est  [latex]u_0 * 2^n[/latex]. Donc :

   -Les suites de kuzrassi sont infinis.
   -Les suites de kuzrassi ne contiennent que des multiples de 3.
   -Les suites de kuzrassi ne tournent pas en boucle.

Si [latex]u_k = v_k'[/latex] (avec k <= k') alors on a :
[TeX]u_0 * 2^k = v_0 * 2^{k'} \Leftrightarrow u_0= v_0 * 2^{k'-k}[/TeX]
Comme u_0 est impair on a forcément k = k' et u0 = v0, donc deux suites de kuzrassi indépendantes ne peuvent pas avoir deux termes égaux.

Pour la dernière question, bah ça finira par le cycle 4, 2, 1 c'est évident lol
Plus sérieusement, comme le terme générale d'une suite de kuzrassi est u0 fois une puissance de 2, alors la puissance de 2 va disparaître avec les divisions successives par 2. Donc le devenir d'un nombre appartenant à une suite de kuzrassi que l'on donnerai à Syracuse, sera le même que le devenir du terme initial de la suite de kuzrassi à laquelle il appartient.


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 15-08-2013 17:21:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Les suites d Kuzrassi

Cogito, si un kuz était un multiple de 3, alors son double aussi, et le double de son double. Dans ce cas, aucun 3n-1 ne pourrait être divisible par 3, et la suite ne contiendrait que 3n*2^k.
Ce n'est pas l'esprit de l'enigme proposée. Quoiqu'il en soit, je vais préciser dans l'énoncé qu'on exclut les 3n comme kuz.

 #6 - 15-08-2013 19:59:16

cogito
Expert de Prise2Tete
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Les suites de Kuzrasis

Alors je n'ai pas compris ce qu'était un kuz hmm

Un kuz c'est bien un nombre qu'on ne pourra jamais avoir dans une suite de kuzrassi, sauf si c'est le premier terme de la suite, c'est bien ça ??


Il y a sûrement plus simple.

 #7 - 15-08-2013 20:10:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
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les suites de kizrassi

Oui, Cogito, c'est bien comme ça qu'il faut le comprendre.

 #8 - 15-08-2013 20:47:45

cogito
Expert de Prise2Tete
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mes suites de kuzrassi

Alors je ne comprend pas,

si j'ai un nombre de la forme 3k+1 alors il a pour antécédent 9k+4,
si j'ai un nombre de la forme 3k+2 alors il a pour antécédent 9k+7.

Donc un kuz est forcément un multiple de 3 non ???


Il y a sûrement plus simple.

 #9 - 16-08-2013 18:06:28

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Les suites dde Kuzrassi

Non Cogito.
Par exemple, quel est l'antécédent de 5 ?

 #10 - 16-08-2013 18:26:58

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

les suitrs de kuzrassi

nodgim a écrit:

u(n+1)= (un-1)/3 si un impair, si (un-1)/3 entier et si (un-1)/9 non entier.

Pour m'assurer d'avoir bien compris. Qu'est ce qui doit être impair? (un-1)/3 ou un?
Merci

 #11 - 16-08-2013 18:57:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Les suites dde Kuzrassi

Mince alors, j'ai fait un sérieux contre sens !
Il faut lire:
u(n+1)= (un-1)/3 si un pair, si (un-1)/3 entier et si (un-1)/9 non entier. Sinon u(n+1)=2*un.

J'ai corrigé l'énoncé. Merci kossi_tg.
Et toutes mes excuses à ceux qui ont déja réfléchi dessus, dont Cogito.

 #12 - 16-08-2013 23:38:47

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

les suites de kizrassi

Très intéressante enigme !

1 est il un Kuz ? Oui, si on considère que tous les éléments d'une suite Kuz qui boucle sont des Kuz (ou au moins les plus petits).

Trouver des Kuz. Je trouve 29, -11 et (-5,-10,-20, -7, -14) aussi, mais je suppose que ce ne sont pas les seuls...

2 suites Kuz(rassi) indépendantes peuvent elles avoir des nombres en commun ? Non, car tout nombre U(n+1) ne peut être issu qu'au plus d'un seul nombre Un. En effet, soit U(n+1) est impair et il est issu de la 1ère formule (faute de quoi Un ne peut être pair), soit il est pair et il est issu de la 2nde formule.

Les suites Kuz sont elles infinies ? Je ne sais pas...

Les suites Kuz contiennent elles des multiples de 3 ? Non : si U(n+1)=3k avec k entier impair, alors Un=9k+1 ce qui est contradiction avec la 3ème condition de la 1ère formule. Si k est pair (=2p), alors Un=3p et par récurrence on arrive à la même impossibilité.

Une suite Kuz peut elle tourner en boucle ? Oui, on le voit avec (1,2,4) ou (-5,-10,-20, -7, -14).


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #13 - 17-08-2013 08:20:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Les suites de KKuzrassi

fix33 vient de trouver un kuz: 29. En effet 29 n'a pas d'antécédent impair. Pourquoi ? (la question s'adresse à tous, Fix33 ayant compris). 
Autant dire que ce n'est pas le plus petit (il y en a 1 avant) ni le plus grand...

Dans l'énoncé, j'aurais dû préciser qu'un Kuz n'a pas d'antécédent IMPAIR, car n'importe quel nombre impair n a un antécédent qui est 3n+1.

Fix33, il n'y pas de nombres négatifs dans ces suites, on travaille seulement dans N, mais c'est sans doute à cause de l'imprécision de l'énoncé.
1 n'est pas un kuz, il a un antécédent impair. Lequel ?

Sinon, c'est bon pour les autres réponses, sauf pour la boucle (mais c'est peut être encore l'énoncé qui a pêché).

 #14 - 17-08-2013 11:37:13

Vasimolo
Le pâtissier
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les suites de kizrassi

Bonjour Nodgim .

J'avais commencé à regarder avec la première version et j'avais arrêté car je ne comprenais pas grand chose . Maintenant c'est plus clair mais j'ai pris quelques mauvais réflexes mad

Il me semble tout de même :

Chaque élément x d'une suite quelconque démarrant de n'importe quel entier naturel a au plus un antécédent qui est le successeur de x par la suite de Syracuse donc deux suites ne peuvent pas avoir de point commun .

Sauf erreur les éléments n'ayant pas de prédécesseurs sont les entiers impairs multiples de 3 et les entiers pairs x tels que x-8 ou x-32 soit divisible par 36 .

Donc 1 n'est pas un Kuz .

J'aimerais bien avoir confirmation avant de regarder plus loin car ce n'est pas encore très clair pour moi .

Vasimolo

 #15 - 17-08-2013 11:40:13

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

les suites se kuzrassi

j'ai une autre question qu'est-ce qu'on appelle un antécédent exactement ?  big_smile

Par exemple dans la suite :

5 10 20 40 13 ...

40 est l'antécédent ou un antécédent de 13, autrement dit, est-ce qu'on peut considérer 5 comme un antécédent de 13 ?


Il y a sûrement plus simple.

 #16 - 17-08-2013 11:45:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Les usites de Kuzrassi

Oui Vasimolo, tu as presque tout.
Il ne te reste plus qu'à convertir les pairs que tu as trouvé en impairs.

 #17 - 17-08-2013 11:50:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
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les suites dz kuzrassi

Oui Cogito, 5 est bien l'antécédent impair de 13, l'antécédent de 13 étant bien 40, l'antécédent de 40 est 20, celui de 20 est 10, celui de 10 est 5. Quel est l'antécédent impair de 5 ?

 #18 - 17-08-2013 11:59:41

cogito
Expert de Prise2Tete
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Lse suites de Kuzrassi

49 smile Merci, ça y est, je crois que j'ai compris. (pas encore, mais ça va venir wink)

Ahhh mais non c'est 1 car comme 49 est impair on ne lui applique pas l'opération
(x-1)/3 !


Bon en fait j'ai encore une autre question,
La suite 1 2 4 1 2 4 ...  tourne en boucle, cela signifierait que 1 est son propre antécédent impair, dans ce cas là on ne peut pas considérer que 1 est un Kuz ?


Il y a sûrement plus simple.

 #19 - 17-08-2013 12:21:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

les suites de kuzrasdi

Je ne crois pas du tout en une caractérisation simple des têtes de Kuz smile

En fait on remonte les suites de Syracuse à l'envers et l'arrêt peut se faire sur un entier pair ou impair . Si cet entier est impair on a un Kuz s'il est pair le Kuz est son premier successeur impair et là , il y a beaucoup de travail hmm

En fait on prend Syracuse à l'envers , c'est une approche amusante mais les problèmes rencontrés vont être les mêmes dans les deux versions smile

Vasimolo

 #20 - 17-08-2013 13:24:13

cogito
Expert de Prise2Tete
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mes suites de kuzrassi

Bon alors 5 est un Kuz car son seul antécédent est 16, 16 ne peut-être obtenu à partir de 49 car 49 donne 98, donc 16 est obtenu à partir de 8. 8 ne peut pas ếtre obtenu à partir de 25 car 25 donne 50 et il ne peut pas être obtenu à partir de 4 car 4 donne 1. Donc les antécédents de 5 sont 16 et 8 et aucun est impair, donc 5 est un Kuz.

C'est bien ça ?


Il y a sûrement plus simple.

 #21 - 17-08-2013 14:06:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
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mes suites de kuzrassi

Oui Cogito c'est bien ça.

 #22 - 17-08-2013 14:16:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

kes suites de kuzrassi

Vasimolo, tu vas peut être un peu vite. Les suites kuz, telles que je les ai définies, sont initialisées sur un impair. C'est seulement parce que c'est plus marquant que je les initialise comme ça. C'est vrai que j'aurais pu les faire initialiser sur un pair, puisqu'en réalité c'est toujours sur un pair qu'elle démarre. Cela dit, elles se caractérisent très bien, pour les trouver il te suffit de convertir les pairs que tu as trouvés en impair. Contrairement à ce que tu sembles dire, ce n'est pas chaotique du tout.
Quant à leur utilité dans la recherche de l'énigme de Syracuse, je n'ai pas avancé quoi que ce soit là dessus. On pourra en parler plus tard.

 #23 - 17-08-2013 16:18:49

cogito
Expert de Prise2Tete
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Messages : 593

Les suiets de Kuzrassi

Soit n un nombre impair et non divisible par 3.
Nous avons n qui a pour antécédent 3 n + 1 qui est pair.

Posons  [latex]3n + 1 = 2^e * i[/latex]  (où i est impair) alors :
[TeX]2^e * i[/latex] ne peut pas être  obtenu à partir de [latex]3(2^e * i) + 1[/latex], car comme  [latex]3(2^e * i) + 1[/latex] est impair il donne le nombre [latex]6(2^e * i) + 2[/latex]. Donc si [latex]2^e * i[/latex] a un antécédent alors c'est forcément [latex]2^{e-1} * i[/TeX]
  On a plusieurs sous cas,
        -e = 0 alors n  a i pour antécédent et donc n n'est pas un Kuz.
        -e = 1 alors n a comme antécédent 2 * i et i, comme i est impair alors n n'est pas un Kuz.
        -e = 2 alors n a comme antécédent  4 * i, 2 * i et i, donc n n'est pas un Kuz non plus.
        -e > 2 alors les seuls antécédent de n sont[latex]2^e * i, 2^{e-1} * i, 2^{e-2} * i[/latex] et ils sont tous pair, donc n est un Kuz.

Ainsi tous les nombres de la forme [latex]{{2^e * i - 1}\over 3}[/latex], avec e > 2, sont des Kuz. Si i est de la forme 3 k + 1 alors e est pair, et si i est de la forme 3k+2 alors e est impair, (i ne peut pas être un multiple de 3 car 2^e * i est le résultat de 3n +1) donc les nombres de Kuz sont les nombres de la forme :
[TeX]{{16 * 4^e(3k+1) -1}\over 3}[/latex]    ou   [latex]{{8*4^e(3k+2) -1}\over 3}[/TeX]
pour tout couple d'entier (e,k).

Par exemple 5 et donnée par les deux formule pour e = 0 et k = 0 et 29 est donnée par la formule de droite avec e = 0 et k = 3.


Les suites de Kuzrassi ne contiennent pas de multiples de 3 car les multiples de 3 impairs n'ont pas d'antécédent et les multiples de trois pairs sont forcément obtenus à partir d'un multiple de 3 impair que l'on a multiplié un certain nombre de fois par deux.  En fait les multiples de 3 apparaissent uniquement dans les suites de la forme 3 * 2^k.

Une suite de Kuzrassi ne peut pas tourner en boucle car :
   -elle ne peut pas revenir sur son premier terme car celui-ci n'a pas d'antécédent impair.
   -Soit x un nombre de la suite.  si x est impair alors on ne peut l'obtenir que d'une seule manière possible (avec l'opération (y - 1)/3). Si x est pair alors il ne peut être obtenu que par l'opération 2y (car si x est pair, 3 x + 1 est impair, et donc on applique pas à ce nombre l'autre opération.)
Donc on ne peut pas avoir deux branches différentes qui arrive sur x.

Les suite de Kuzrassi ne peuvent pas stagné non plus car :
      2x = x a pour solution x = 0 et (x-1)/3 = x a pour solution -1/2.

Donc les suites de Kuzrassi ne sont pas stagnantes et ne tournent pas en boucle, elle sont donc infinis.

Si on applique Syracuse à un nombre appartenant à une suite de Kuzrassi, on finira par atteindre le Kuz qui a engendré la suite, donc deux suites générés par deux Kuz différents ne peuvent pas avoir de termes en communs.

Voilà, ça devrait être mieux maintenant smile


Il y a sûrement plus simple.

 #24 - 17-08-2013 17:23:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

les suites de juzrassi

Cogito, c'est pas mal du tout.
Il reste tout de même que ta formule pour trouver les kuz est encore à améliorer. Peux tu avec ta formule me citer les 5 plus petits kuz ?

 #25 - 18-08-2013 00:49:21

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

les suites de luzrassi

Aaarrrggghh ! ma formule est fausse !

[latex]2^e * i[/latex] a un antécédent si ([latex]2^{e-1} * i - 1[/latex] est un multiple de 9 ou si [latex]2^{e-1} * i - 1[/latex] n'est pas un multiple de 3) et (e > 1).

donc pou e > 2   on sait que [latex]2^e * i[/latex] est congru à 1 modulo 3, donc [latex]2^{e-1} * i[/latex] est congru à 2 modulo 3 et est donc un antécédent pair de n. De même [latex]2^{e-2} * i[/latex] est congru à 1 modulo 3, donc [latex]2^{e-2} * i - 1[/latex] est un multiple de trois. à partir de là on a deux cas :
    cas 1 : [latex]2^{e-2} * i - 1[/latex] n'est pas un multiple de 9 alors [latex]2^{e-1}*i[/latex] n'a pas d'antécédent, et donc n est un Kuz.
   cas 2 : Mais si [latex]2^{e-2} * i - 1[/latex] est un multiple de 9 alors [latex]2^{e-1}*i[/latex] a pour antécédent  [latex]2^{e-2} * i[/latex]  qui a lui même pour antécédent  [latex]2^{e-3} * i[/latex] qui lui peut être impair.

Donc il faut distinguer encore 2 cas :

cas 1 : n est de la forme 3k+1 et donc 3n+1 vaut 9k+4 et on a donc
[latex]2^e*i \equiv 4 [9][/latex] ce qui est équivalent à [latex]4*2^{e-2}*i \equiv 4 [9][/latex], comme 4 et 9 sont premiers entre eux, on peut simplifier par 4 et on obtient [latex]2^{e-2}*i \equiv 1 [9][/latex].
Donc si n est de la forme 3k+1 et e = 3 alors n n'est pas un Kuz.
Si e > 3 on a  [latex]16*2^{e-4}*i \equiv 4 [9][/latex] ce qui est équivalent à [latex]2^{e-4}*i \equiv 7 [9][/latex] donc comme [latex]2^{e-4}*i[/latex] n'est pas un multiple de 9, c'est  un antécédent de  [latex]2^{e-3}*i[/latex] seulement si e > 4.
Donc si n est de la forme 3k+1, c'est un Kuz si e > 4.

cas 2 : n est de la forme 3k+2 et donc 3n+1 vaut 9k+7 et on a donc [latex]2^e*i \equiv 7 [9] \Leftrightarrow 4*2^{e-2}*i \equiv 7 [9][/latex], ceci donne [latex]2^{e-2}*i \equiv 4[9][/latex] et donc [latex]2^{e-2}*i[/latex] n'est pas un antécédent de n.
Donc si n est de la forme 3k+2 alors n est un Kuz si e > 2.

Tous ça c'est pas fait pour simplifier la formule hmm


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