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 #1 - 20-11-2013 14:33:27

vladimir37
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 503
Lieu: nantes

Prromenons nous dans le train 2

Un voyageur monte dans le wagon n°1 d'un train qui en comporte 20. Comme il a la bougeotte, après une minute passée dans un wagon, il en change systématiquement. S'il se trouve dans le wagon n°1, alors il se rend dans le n°2. S'il se trouve dans un wagon intermédiaire, il décide de lancer un dé à vingt faces pour déterminer le numéro du wagon qu'il rejoindra. Sa promenade s'achève lorsqu'il arrive enfin au wagon n°20. Il finit alors par s'asseoir et prendre un repos bien mérité.

Question : Combien de temps durera sa promenade en moyenne ?

P.S.:Je ne suis pas un pro en probabilité mais je pense que cette variante intéressera les matheux.



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 #2 - 20-11-2013 14:45:51

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Promnons nous dans le train 2

Déjà une minute quand il passe du wagon 1 au 2 au début. Puis, il a une chance sur 20 de réussir donc, il rate 19 fois avant de réussir. Donc 19 minutes en plus. Mais parmi ces 19 numéros qui tombent, il y a un 1. Donc 1 minute de plus pour aller au 2. Donc ça fait 22 21 minutes. Puis il réussit en 23 22 minutes. Voilà !
Je suis pas sûr pas, j'ai supposé que quand il est à un wagon différent de 1 et de 20 et qu'il tire le numéro du wagon dans lequel il est, il reste une minute de plus.

Edit : correction, j'ai compté une minute en trop ... roll. C'est bon je trouve comme les autres maintenant.

 #3 - 20-11-2013 15:35:57

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

ptomenons nous dans le train 2

La promenade durera en moyenne 22 minutes.
J'ai utilisé la méthode que j'ai prise pour résoudre "Promenons-nous dans le train".
Voilà !

 #4 - 20-11-2013 20:31:12

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Promenonss nous dans le train 2

Il devrait mettre 22 minutes en moyenne.

 #5 - 20-11-2013 21:22:41

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Promenons nous dans le train

Proposition:
La probabilité de tirer le n°20 est de 1/20 donc il faut en moyenne 20 lancers du dé pour l'obtenir (20min de promenade). Pendant ces 20 lancers moyens il tire la face 1 en moyenne une fois or chaque tirage de 1 impose un passage dans la voiture 2 sans tirage (1min en moyenne de perdu à cause du passage forcé dans 2). Pour commencer, il était monté par la voiture n°1 qui lui a imposé un passage dans la voiture 2 sans tirage (1min de perdu pour être monté par le 1). Au total, notre bonhomme passera 22min en moyenne pour atteindre la voiture n°20, d'ailleurs comme toute autre voiture hormis la 1 et 2.

Pour un train de n voitures (n>3) TempsMoyen(n)=n+2. Ce temps suppose un dé de n faces.

 #6 - 20-11-2013 21:52:54

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

promenons nouq dans le train 2

Le temps moyen pour atteindre le wagon n+1 vaut le temps moyen pour atteindre le wagon n, plus 5% de 1 minute (cas favorable), plus 95% de 1 minute et le temps moyen pour aller du wagon n-1 au wagon n+1 (cas défavorable) :
t(n+1) = t(n) + 0,05*1 + 0,95*[1 + t(n+1) - t(n-1)]
d'où t(n+1) = 20t(n) -19 t(n-1) + 20
avec t(1)=0 et t(2)=1.

Je n'ai pas eu le courage de chercher comment on déduisait la formule suivante (merci Wolf) :
t(n)= 1/162 (161+19^n-180 n)

Pour n=20, on trouve :
232036873194728136996001 minutes, soit environ 440 millions de milliards d'années.
Rien que ça...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #7 - 21-11-2013 15:08:20

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Promenons nou sdans le train 2

Bof cette version n'apporte pas grand-chose d'intéressant.

Les wagons 2 à 19 jouent le même rôle, on peut les réunir en un seul wagon noté 2/19.

Si l'on note [latex]t_k[/latex] le temps moyen mis pour rejoindre le wagon 20 à partir du wagon [latex]k[/latex] :
[TeX]t_1 = 1 + t_{2/19}[/TeX]
et [latex]t_{2/19} = 1 + \frac{1}{20}t_1 + \frac{18}{20}t_{2/19}[/latex]

On résout ce système et l'on trouve [latex]t_1=22[/latex]

Voici une autre méthode avec le coup de la ballade de longueur moyenne :

1-2-1-2-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 qui est de longueur 22.

 #8 - 21-11-2013 23:08:13

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Promenons nous ddans le train 2

Et pour atteindre le 6ème wagon avec un dé à 6 faces, cela donne :
t(n+1) = 6*t(n) - 5*t(n-1) + 6
Soit t(n) = 1/8 (-12 n+5^n+7)
Donc 1945 (tiens donc) minutes, soit 32 heures et 25 minutes.
Oui, je sais, ce n'est pas la question !
On remarque quand même que c'est loin de valoir 6^5 (7776).


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #9 - 22-11-2013 20:54:58

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

promznons nous dans le train 2

Il y a deux minutes incompressibles. Ensuite vient un lancer de dé. Si le résultat est 1, il faut attendre 2 minutes avant de pouvoir relancer le dé. Si le résultat appartient à [2;19], il faut attendre une minute avant de pouvoir relancer le dé. Si le résultat est 20, c'est terminé. Dans un tirage au dé à n face, le nombre de lancers en moyenne pour obtenir une face donnée est n.

Donc, je dirais qu'il faut attendre en moyenne un temps T = 2 + (1*2+18*1+1*0) = 22 minutes.

 

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