D'après la formule générale permettant de calculer le nombres de régions d'un cercle :$\frac{(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)}{24}>4000$, nous trouvons n>18,
donc n=19, ce qui nous donne alors 4048 régions.


Edit pour la petite explication :
Quand il n'y a pas de point, donc pas de ligne, le cercle ne contient qu'une seule région, lui-même.

A chaque fois qu'on vient tracer une ligne, on vient donc rajouter une nouvelle région. En plus, à chaque fois que cette nouvelle ligne croise une ligne existante, on rajoute encore une région. Il nous faut donc ici calculer le nombres de lignes que l'on peut tracer avec n, ainsi que le nombre d'intersections correspondantes.
Le nombre de lignes que l'on peut tracer avec n points est égal à C(n,2), c'est à dire le nombre de façons différentes qu'on a de prendre 2 points parmi n. Le nombre d'intersections est lui égal C(n,4). Il suffit de remarquer qu'une intersection est créée par les diagonales d'un quadrilatère. Le nombre de quadrilatères qu'ont peut créer avec n points nous donne donc cette valeur.
Au final, nous avons donc :
Régions(n) = 1 + C(n,2) + C(n,4)
soit
Régions(n) = 1+ n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)(n-3)/24
ce qui nous donne après simplification :

Régions(n) = (n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24

Non, Franck il n'y a pas la dedans de suite géométrique...
Barbabulle, ton résultat est correct, mais un peu d'explication pourrait être bienvenue

Un cercle est un ensemble de point situé à égal distance de son contre.

On choisit les points du cercle qu'on veut on les rélis pour former 4000  régions de cercle. Et donc en déssinant 0 point dans le cercle...
Voila bah finalement tu as oublié ce cas particulier non, ou c'est à ça que tu pensais?

13 points nous donneront 4096 régions.

Merci pour l'indice...

Effectivement, OEIS me dit : 19

Beaucoup ont trouvé,
Désolé pour mon manque d'originalité, vu que cette question a déjà été traitée...
Ceux qui ont testé pour les 1eres valeurs de n (1,2,3,4,5) et ont généralisé à une suite géométrique de raison 2 se trompent.... Essayez pour n=6.
Enfin n=0 donne une région puisque l'on ne trace aucune droite.

Si mon interprétation de l'énoncé est correcte, les points sont sur la circonférence du cercle et les segments de droite sont les cordes reliant les points 2 à 2 sans que trois d'entre elles soient concourantes. Le nombre maximum de régions disjointes est égal à C(n,4) + C(n,2) + 1 = (n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24)/24 qui est >4000 pour n = 19.

Toni, ta dernière remarque s'adresse bien à Pat ? Pas à moi ?

Oui oui c'était une remarque pour Pat

Soit $g(n)$ le nombre maximal de régions obtenu avec n points.

Deux options :

- le net, qui donne $g(n) = 1 + {n \choose 2} + {n \choose 4}$

- ou on refait.

Estimons $g(n+1)$ en fonction de $g(n)$.

On a déjà n points numérotés de 1 à n, on ajoute un (n+1)-ème point.
On relie ce point à chacun des autres.
Lorsqu'on le relie au point i, on voit sur mon croquis ci-dessous qu'au maximum, on traverse tous les segments reliant un point "au dessus du segment" et un point "en dessous", et uniquement ceux-là.
Comme les n points sont tous reliés, on traverse $(i-1)(n-i)$ segments, ce qui créé $(i-1)(n-i)+1$ nouvelles régions, et ce, pour chacun des n points.

Donc l'ajout d'un (n+1)-ème point ajoute $\sum_{i=1}^{n}((i-1)(n-i)+1)$.
Après un petit calcul, ça donne : $g(n+1)=g(n)+ \frac{n}{6}\left( n^2-3n+8 \right)$

On pousse cette relation de récurrence à son terme en partant de g(n), et on obtient après quelques calculs (utilisant la somme des n premiers cubes et le fait que g(0)=1) :
$$g(n)=\frac{1}{24} n (n-1) (n^2-5n+18) + 1)$$
Ensuite on cherche à ce que $g(n)=\frac{1}{24} n (n-1) (n^2-5n+18) + 1) > 4000$ qu'un tableur vérifie pour n = 19 où on atteint la valeur de 4048.

Merci à tous pour votre participation !
Nombreuses bonnes réponses, dont ma préférence va à gasole pour le détail

Je la trouve moins élégante que celle de Barbabulle, qui donne une explication claire et aisément compréhensible. Sortir les interpolations, c'est un peu "chasser les mouches au bazooka" (comme disait un de mes profs ) : c'est pas ce qui se fait de plus fin, mais, certes, ça en jette ^^

Rien, bien au contraire ^^