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 #1 - 09-01-2011 15:59:45

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Parttageons-nous un cercle

On dessine sur une très grande feuille de papier blanc un très grand cercle.
On décide de placer un certain nombre de (petits) points sur ce cercle, où bon nous semble. Appelons n ce nombre.
Chaque point ainsi placé est relié à chacun de autres points, à chaque fois par un très fin segment de droite.
Le grand cercle a ainsi été partagé en plus de 4000 régions délimitées par ces segments de droites.
Quelle est la plus petite valeur possible pour n ?



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 #2 - 09-01-2011 17:55:20

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

partageons-nous un ceecle

D'après la formule générale permettant de calculer le nombres de régions d'un cercle :[latex]\frac{(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)}{24}>4000[/latex], nous trouvons n>18,
donc n=19, ce qui nous donne alors 4048 régions.


Edit pour la petite explication :
Quand il n'y a pas de point, donc pas de ligne, le cercle ne contient qu'une seule région, lui-même.

A chaque fois qu'on vient tracer une ligne, on vient donc rajouter une nouvelle région. En plus, à chaque fois que cette nouvelle ligne croise une ligne existante, on rajoute encore une région. Il nous faut donc ici calculer le nombres de lignes que l'on peut tracer avec n, ainsi que le nombre d'intersections correspondantes.
Le nombre de lignes que l'on peut tracer avec n points est égal à C(n,2), c'est à dire le nombre de façons différentes qu'on a de prendre 2 points parmi n. Le nombre d'intersections est lui égal C(n,4). Il suffit de remarquer qu'une intersection est créée par les diagonales d'un quadrilatère. Le nombre de quadrilatères qu'ont peut créer avec n points nous donne donc cette valeur.
Au final, nous avons donc :
Régions(n) = 1 + C(n,2) + C(n,4)
soit
Régions(n) = 1+ n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)(n-3)/24
ce qui nous donne après simplification :

Régions(n) = (n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #3 - 09-01-2011 18:32:23

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1924
Lieu: UK

partageons-bous un cercle

[TeX]2^{n-1}>4000 [/TeX]
[TeX]n\geq 13[/TeX]
EDIT:
J'ai mal lu la question. Ma réponse est celle du nombre de régions ainsi créées

je relis la question et j'y comprend plus rien...


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 09-01-2011 18:47:21

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Partageons-nous un cecle

Non, Franck il n'y a pas la dedans de suite géométrique...
Barbabulle, ton résultat est correct, mais un peu d'explication pourrait être bienvenue wink

 #5 - 09-01-2011 22:55:15

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2009
Lieu: Paris

Partageons-ous un cercle

On cherche le nombre minimal de points, donc on va essayer pour chaque nombre n de points de maximiser le nombre de régions créées par les cordes.

Je conjecture qu'avec n points, le nombre maximal de régions est 2^(n-1), d'après mes tests sur les 5 premiers points.
Du coup, comme n^12=4096, n=12 serait la valeur cherchée.

Ne reste plus qu'à montrer la conjecture ...


EDIT

... qui est fausse smile On s'aperçoit que pour 6 points, le nombre de régions maximum (c'est-à-dire sans 3 cordes concourantes) est 31.

Après moults calculs, j'en arrive à n=19 au minimum... Ouf !
La solution générale du nombre de régions maximum est un polynôme de degré 4 en n le nombre de points !
Principe du raisonnement :
On considère n points, que l'on ordonne sur le cercle. Au départ, on a 1 région, le disque.
Avec le premier point, on crée n-1 régions en traçant les cordes avec les n-1 autres points.
Avec le second point, on peut tracer n-2 autres cordes. La première n'en coupe aucune autre, et crée donc 1 région. La seconde par contre coupe une corde issue du premier point, et crée 2 régions. La troisième crée 3 régions, et ainsi de suite, la (n-2)ème crée n-2 régions. En résumé, la kème corde crée k régions, pour k allant de 1 à n-2.
Avec le troisième point, on crée 1 région avec la première corde, 3 régions avec la seconde (elle coupe 2 cordes), ainsi de suite. La kème corde crée 2k-1 régions, pour k allant de 1 à n-3.
Avec le quatrième point, on crée 1 région avec la première corde, 4 régions avec la seconde, etc... La kème corde crée 3k-2 régions, k allant de 1 à n-4.
...
Le (n-2)ème point crée 1 région avec le (n-1)ème point, et la corde avec le nème point coupe déjà n-3 cordes, donc crée n-2 régions.
Et le (n-1)ème point crée une seule région avec le dernier point.

On peut, en indexant sur j les n-1 points à partir desquels on trace successivement les cordes, trouver une formule pour le nombre total de régions créées :
j=0 : 1 (disque)
j=1 : n-1, donc somme des 1 pour k allant de 1 à n-1
j=2 : somme des k pour k allant de 1 à n-2
j=3 : somme des 2k-1 pour k allant de 1 à n-3
j=4 : somme des 3k-2 pour k allant de 1 à n-4
...
pour j : somme des (j-1)k-(j-2) pour k allant de 1 à n-j
ou en décalant l'indice : (j-1)k+1 pour k allant de 0 à n-j-1

On arrive donc à une somme double, que voici :
[TeX]1+\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-j-1} ((j-1)k+1)[/TeX]
Là, on a le choix. Soit on développe tout ça, en utilisant la formule de la somme des k et la formule de la somme des k². Soit on s'aperçoit que cela va nous donner un polynôme de degré 4 en n, et on fait une interpolation sur les valeurs qu'on a déjà calculées.

Après calculs, on trouve que le nombre maximum de régions que l'on peut créer avec n points est :
[TeX]\frac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}[/TeX]
Le nombre n minmum qui permet de dépasser 4000 est n=19.
Ouf !!!

 #6 - 09-01-2011 23:07:21

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

partageons-nous un cerclr

Un cercle est un ensemble de point situé à égal distance de son contre.

On choisit les points du cercle qu'on veut on les rélis pour former 4000  régions de cercle. Et donc en déssinant 0 point dans le cercle...
Voila smile bah finalement tu as oublié ce cas particulier non, ou c'est à ça que tu pensais? big_smile
cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 10-01-2011 00:00:24

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Partageons-nous un cerle

Sauf erreur, c'est pas la suite 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57 ?

 #8 - 10-01-2011 01:06:36

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3001
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Partageons-nous un cerce

13 points nous donneront 4096 régions.

Merci pour l'indice...

Effectivement, OEIS me dit : 19


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 10-01-2011 01:51:13

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Partageons-nous u cercle

C'est un problème assez classique (voir par exemple: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4959).
Le nombre de régions est [latex]\binom{n}4+\binom{n}2+1[/latex].
Le plus petit n permettant de dépasser 4000 est 19 (4048).

 #10 - 10-01-2011 09:55:21

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Partageons-nou sun cercle

Beaucoup ont trouvé,
Désolé pour mon manque d'originalité, vu que cette question a déjà été traitée...
Ceux qui ont testé pour les 1eres valeurs de n (1,2,3,4,5) et ont généralisé à une suite géométrique de raison 2 se trompent.... Essayez pour n=6.
Enfin n=0 donne une région puisque l'on ne trace aucune droite.

 #11 - 10-01-2011 14:33:23

patg34
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 9

partageons-nouq un cercle

les segments peuvent-ils etre concourants (par 3 ou plus) ?

 #12 - 10-01-2011 15:44:30

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

partagepns-nous un cercle

Si mon interprétation de l'énoncé est correcte, les points sont sur la circonférence du cercle et les segments de droite sont les cordes reliant les points 2 à 2 sans que trois d'entre elles soient concourantes. Le nombre maximum de régions disjointes est égal à C(n,4) + C(n,2) + 1 = (n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24)/24 qui est >4000 pour n = 19.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #13 - 10-01-2011 20:36:35

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Parrtageons-nous un cercle

Patg34, les segments peuvent être concourants, mais alors cela réduit le nombre de régions...pas forcément ce que l'on cherche à faire ici...

 #14 - 10-01-2011 20:39:13

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Partageons-nnous un cercle

Toni, ta dernière remarque s'adresse bien à Pat ? Pas à moi ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 10-01-2011 21:45:54

patg34
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 9

Patrageons-nous un cercle

avec des segments concourants faudra peut etre plus que 19 points alors big_smile

 #16 - 11-01-2011 07:04:33

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Partagens-nous un cercle

Oui oui c'était une remarque pour Pat smile

 #17 - 11-01-2011 19:39:00

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Partaeons-nous un cercle

La suite (nombre de morceaux) est de la forme a*exp(b*x) ou x est le nombre de points. Je trouve que 14 points donnent 6448 morceaux. Un peu à l'arrache ^^.

 #18 - 12-01-2011 11:46:40

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Partageons-nous un crecle

Soit [latex]g(n)[/latex] le nombre maximal de régions obtenu avec n points.

Deux options :

- le net, qui donne [latex] g(n) = 1 + {n \choose 2} + {n \choose 4}[/latex]

- ou on refait.

Estimons [latex]g(n+1)[/latex] en fonction de [latex]g(n)[/latex].

On a déjà n points numérotés de 1 à n, on ajoute un (n+1)-ème point.
On relie ce point à chacun des autres.
Lorsqu'on le relie au point i, on voit sur mon croquis ci-dessous qu'au maximum, on traverse tous les segments reliant un point "au dessus du segment" et un point "en dessous", et uniquement ceux-là.
Comme les n points sont tous reliés, on traverse [latex](i-1)(n-i)[/latex] segments, ce qui créé [latex](i-1)(n-i)+1[/latex] nouvelles régions, et ce, pour chacun des n points.

Donc l'ajout d'un (n+1)-ème point ajoute [latex]\sum_{i=1}^{n}((i-1)(n-i)+1)[/latex].
Après un petit calcul, ça donne : [latex]g(n+1)=g(n)+ \frac{n}{6}\left( n^2-3n+8 \right)[/latex]

On pousse cette relation de récurrence à son terme en partant de g(n), et on obtient après quelques calculs (utilisant la somme des n premiers cubes et le fait que g(0)=1) :
[TeX]g(n)=\frac{1}{24} n (n-1) (n^2-5n+18) + 1)[/TeX]
Ensuite on cherche à ce que [latex]g(n)=\frac{1}{24} n (n-1) (n^2-5n+18) + 1) > 4000[/latex] qu'un tableur vérifie pour n = 19 où on atteint la valeur de 4048.

http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-partage-cercle.JPG

 #19 - 12-01-2011 12:57:12

alabaz
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1

partageons-nous un cerxle

90

 #20 - 12-01-2011 19:08:08

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Paartageons-nous un cercle

Merci à tous pour votre participation !
Nombreuses bonnes réponses, dont ma préférence va à gasole pour le détail wink

 #21 - 12-01-2011 22:27:54

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

aPrtageons-nous un cercle

yek ! yek ! trop fier :-)

mais quand même, l'idée de faire une interpolation (n'est-ce pas Looping), c'est une idée de professionnel ça... très élégante...

 #22 - 12-01-2011 23:15:37

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Partageons-nous u ncercle

Je la trouve moins élégante que celle de Barbabulle, qui donne une explication claire et aisément compréhensible. Sortir les interpolations, c'est un peu "chasser les mouches au bazooka" (comme disait un de mes profs big_smile) : c'est pas ce qui se fait de plus fin, mais, certes, ça en jette ^^


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 12-01-2011 23:19:47

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Partageons-nous unn cercle

Mais qu'est-ce t'as contre les mouches ? lol

 #24 - 12-01-2011 23:22:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Paartageons-nous un cercle

Rien, bien au contraire ^^


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 12-01-2011 23:57:32

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2009
Lieu: Paris

Partageonsnous un cercle

Ca leur fait du bien, aux mouches, de temps en temps smile Et je suis sûr qu'elles aiment ça !

Ma remarque sur l'interpolation était plutôt faite "en passant", d'ailleurs, je n'ai pas utilisé cette technique, mon taux d'erreur sur ce genre de calculs se situant aux environs de 100% smile

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