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 #1 - 13-11-2013 16:36:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

promenons-nous dans le traib

Un voyageur monte dans le wagon n°1 d'un train qui en comporte 20. Comme il a la bougeotte, après une minute passée dans un wagon, il en change systématiquement. S'il se trouve dans le wagon n°1, alors il se rend dans le n°2. S'il se trouve dans un wagon intermédiaire, il décide à pile ou face lequel des 2 wagons voisins sera le prochain. Sa promenade s'achève lorsqu'il arrive enfin au wagon n°20. Il finit alors par s'asseoir et prendre un repos bien mérité.

Question : Combien de temps durera sa promenade en moyenne ?



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 #2 - 13-11-2013 16:56:26

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Promenons-nous dans le trrain

Le plus court temps réalisable : 19 minutes.
Le deuxième plus court : 21 minutes (il re-va au 1 puis le fait dans l'ordre). → 1 chance sur 2 d'arriver.
Puis : 23 minutes → 1 chance sur 4 d'arriver ....
Le trajet durera forcément 19+2x minutes.
Et 19+2x a 1/(2^x) d'arriver avec x un naturel non nul.

Grâce des calculs successifs (x entre 1 et 5, puis entre 1 et 10, enfin entre 1 et 15), je dirai que sa promenade durera en moyenne 30 minutes.

Suis-je bon ?

 #3 - 13-11-2013 18:53:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Promenons-nous dans le trin

Au bout d'un an ?
ça correspondrait à 2^19 minutes.

 #4 - 13-11-2013 19:14:12

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Promenonns-nous dans le train

Ce n'est pas 1/2h Saban, ni un an Nodgim.

Tiens, toi qui lis en ce moment, tu dirais combien à la louche ?

 #5 - 13-11-2013 19:26:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

prpmenons-nous dans le train

Oui, j'ai vu ça après relecture. il a en fait 1/2^(k-2) de rejoindre le kème wagon, puisqu'à son 1er déplacement il est forcément en 2. Donc il a une chance sur 2^18 de se trouver dans le wagon 20 pour la 1ère fois. Il lui faudra donc en moyenne 2^18 déplacements pour espérer atteindre le wagon 20. C'est plus proche de 6 mois que de 1 an.

 #6 - 13-11-2013 20:03:36

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Promenons-nous dans lee train

5h30mn environ  ?

 #7 - 13-11-2013 20:52:48

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

promenons-noud dans le train

tifoufred, je dirais environ 6h02min avec un raisonnement un peu terre à terre. J'expose mon raisonnement si je suis proche smile
Dis moi hmm

 #8 - 13-11-2013 21:25:59

framberry
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 1

ptomenons-nous dans le train

19 minutes

 #9 - 13-11-2013 22:06:11

Fito11235
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 148
Lieu: Bourgogne

promenons-nous dabs le train

Je sèche, il doit y avoir un calcul d'espérance derrière ce problème mais je ne vois pas la loi de probabilité à utiliser:/.

Au feeling, je dirais une centaine d'heures.


Choose a job you like and you'll never have to work a day in your life.    Confucius

 #10 - 13-11-2013 22:53:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

promenons-noud dans le train

Les estimations données actuellement pour le temps de promenade vont de 19 minutes jusqu'à 6 mois !

Allez lancez-vous, faites vos jeux ! big_smile

 #11 - 13-11-2013 23:24:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

romenons-nous dans le train

J'ai horreur de calculer les espérances mais je vais y réfléchir big_smile

Intuitivement je dirai environ 2h.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 13-11-2013 23:30:28

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Promenons-nous dans le trai

A vue de nez, je dirais 4h45min. 15 fois le temps minimum de 19 minutes. Il faut avancer 19 fois de plus qu'on recule, comment veux-tu... comment veux-tu... que ça avance ?

Je simplifie : quel est le temps moyen pour atteindre le wagon n°3 ?
50% du temps, il faut 2 minutes
25% du temps, il faut 4 minutes
12,5% du temps, il faut 6 minutes
...
Ce qui fait [latex]2 * \sum\nolimits_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{2^{n}})\[/latex]
qui converge vers 4.

Avec le wagon n°4, je trouve [latex]\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}(\frac{(2n+3)*3^n}{4^{n}})\[/latex] qui converge apparemment vers 9...

J'entrevois que la réponse est 19^2, soit 361 minutes, 6h01min.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #13 - 14-11-2013 00:29:22

Fito11235
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 148
Lieu: Bourgogne

promznons-nous dans le train

A bien y réfléchir, je pense que 100h est une estimation bien trop basse.

Je révise mon estimation. Je dirais une bonne cinquantaine d'années smile ... Et encore, il se peut que je sois encore loin de la vérité.


Choose a job you like and you'll never have to work a day in your life.    Confucius

 #14 - 14-11-2013 09:58:59

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

Promenons-nous dans le tarin

Proposition

En partant de la voiture n°1, la probabilité d'y revenir est aussi grande que celle de s'en éloigner. La question possée ne me parait pertinente que grâce au fait qu'en voiture N°1, il repart avec une probabilité=1 vers la voiture N°2. Ceci peut donc être assimilé à un mouvement oscillatoire avec une prise d'énergie en voiture N°1 qui permet d'aller une voiture plus loin au coup suivant. Les temps mis pour réaliser des aller/retour entre la voiture N°1 et les voitures 1, 2, 3, 4, ..., m constituent une suite croisante tel que:
[TeX]U_1=0[/latex] (A/R entre voiture N°1 et voiture N°1),
[latex]U_2=2[/latex] (A/R entre voiture N°1 et voiture N°2),
[latex]U_3=4[/latex] (A/R entre voiture N°1 et voiture N°3),
...
...
[latex]U_m=2(m-1)[/latex] (A/R entre voiture N°1 et voiture N°m).

On remarque [latex]U_{n+1}=U_n+2[/latex], donc [latex](U_n)[/latex] est une suite arithmétique. Le temps mis pour atteindre la voiture k est  la somme des k premiers termes de [latex](U_n)[/latex] moins [latex](k-1)[/latex] qui correspond au retour qui n'aura pas eu lieu quand il atteint la voiture [latex]k[/latex].

[latex]S_n=\sum_{i=1}^{n}U_i=(n-1+1)*\frac{U_n+U_1}{2}[/TeX][TeX]S_n=n*\frac{2(n-1)+0}{2}=n(n-1)[/TeX]
Le temps moyen pour atteindre la voiture [latex]k[/latex] est donc

[latex]Temps(k)=S_k-(k-1)=k(k-1)-(k-1)=(k-1)^2[/latex].

AN: [latex]k=20[/latex].

[latex]Temps(20)=19^2=361=6h01min[/latex].
Voilà j'avais proposé 6h02min pour avoir ajouté un truc qu'il fallait pas lol

 #15 - 14-11-2013 12:38:54

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Pormenons-nous dans le train

Un raisonnement assez simpliste (et donc sûrement faux) me fait penser à 19 x 18 = 342 mn soit 5h 42mn

 #16 - 14-11-2013 13:05:55

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

promenons-nous dans le traon

Bon. D'abord, initier une récurrence en affirmant que

Si j'ai une chance sur deux de réussir quelque chose à chaque tentative, j'y arriverai en moyenne la deuxième fois.

Parce que j'ai une chance sur deux de réussir la première fois, une chance sur quatre de réussir la deuxième fois, une chance sur huit la troisième fois, etc. L'espérance correspondante vaut donc [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^i}[/latex] qui vaut deux.



Le monsieur arrivera donc au vingtième wagon une minute après la deuxième fois qu'il atteindra le dix-neuvième. Si on note [latex]T_k[/latex] le premier instant d'arrivée au wagon numéro k :
[TeX]T_{k+1} = 2 T_k + 1[/TeX]
une suite arithmético-géométrique tellement simple à résoudre que j'en ai des frissons, qu'on initialise avec [latex]T_1 = 0[/latex].
[TeX]T_k = 2^{k-1} + 1[/TeX]
et [latex]T_{20}[/latex] vaut donc 524289 minutes... Un an moins un jour, en gros.



Soit ça, soit il fallait appliquer ce qu'apprend actuellement ma copine en processus de Markov réguliers avec une matrice de transition de dimension 20. La flemme de coder, désolé smile



PS : sauf qu'apparemment, la réponse "un an" a déjà été invalidée. Arf.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 14-11-2013 17:12:40

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 682

Promenons-nous daans le train

Bonjour titoufred,

La promenade durera en moyenne 361 minutes.
Voilà !

 #18 - 14-11-2013 18:22:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Promenons-nous dans e train

Bon, en fait je n'avais pas répondu à la question. Ce 6 mois, c'était le temps pour arriver au wagon 20 au bout de 19 mn, c'est à dire qu'il fallait recommencer au bout de 20 mn si échec....

Pour arriver au résultat, il faut soit arriver au bout du 19ème déplacement, sinon au 20ème, sinon au 21ème, etc...
Au final, avec un tableur de 20 colonnes, chaque colonne représentant un wagon, on calcule la proba à chaque étape, et il faut cumuler ensuite toutes les probas de la colonne 20. On franchit le 50% entre les lignes 117 et 118.
En moyenne, on atteindra le 20 ème wagon au bout de 117 à 118 mn.

 #19 - 14-11-2013 18:47:30

eudoxie
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 33

Promenons-nous dans le traiin

bonjour

Je propose un résultat : il va lui falloir en moyenne 6 heures (plus exactement   361 minutes ) pour arriver au 20e wagon .
Le calcul proposé utilise les probas  , les matrices et l'espérance de la variable aléatoire qui calcule le nombre de minutes que l'on met pour arriver au wagon 20 . Il s'agit d'une simulation pour 10 000 déplacements  . Bien évidemment  certains ne seront pas encore arrivés au wagon 20, mais la série de l'espérance converge .
(fichier latex joint , mais je ne sais pas pourquoi il ne passe pas )
[TeX] 
\begin{picture}(50,50)(0,0)
{
\put(71,71){
\begin{math} B:=\left(   \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)  \end{math}
}
\put(137,58){
\begin{math} n:=1\cdot \cdot \cdot 100000  \end{math}
}
\put(136,40){
\begin{math} {C_{n}}:=A \times {C_{n - 1}} \end{math}
}
\put(135,23){
\begin{math} {C_{0}}:=B \end{math}
}
\put(-120,1){
\begin{math} A:=\left(   \begin{array}{ccccccccc}\cfrac{3}{4} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} \end{array} \right)  \end{math}
}
\put(120,-13){
\begin{math} m:=5000 \end{math}
}
\put(238,-69){
\begin{math} \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{500}}_{l\,1}}} = 0,04135789381791 \end{math}
}
\put(74,-80){
\begin{math} {C_{500}} = \left(   \begin{array}{c}0,006830615603203 \\ 0,006644294215632 \\ 0,00627673380224 \\ 0,005737960452947 \\ 0,005042670500243 \\ 0,004209829641555 \\ 0,003262155604454 \\ 0,002225498466269 \\ 0,001128135531367 \end{array} \right)  \end{math}
}
\put(240,-121){
\begin{math} p:=\displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{500 - 1}}_{l\,1}}} - \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{500}}_{l\,1}}} \end{math}
}
\put(241,-157){
\begin{math} p = 0,0002839703757404 \end{math}
}
\put(-97,-196){
\begin{math} E:=2 \times \displaystyle \sum_{ x=1}^{ m}{x \times  \left( \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x - 1}}_{l\,1}}} - \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x}}_{l\,1}}} \right) } + 1 \end{math}
}
\put(155,-218){
\begin{math} E = 361 \end{math}
}
}
\end{picture}

[/TeX]

 #20 - 14-11-2013 19:06:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

Promenonsn-ous dans le train

J'ai compris qu'il s'agissait d'un mouvement brownien pour lequel Einstein aurait démontré en 1905 qu'après un temps n, la distance est proportionnelle à Vn. Dans notre cas, on serait dans le dernier wagon après 19^2 mn = 361 mn = 6 h 01 mn.

 #21 - 14-11-2013 22:30:19

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Promenons-nous dans le trian

On est encore dans les estimations ou un commentaire des réponses est possible ?
PS j'hésite avec 343, je ne sais pas si j'ai compté la première sortie du wagon 1.

 #22 - 14-11-2013 22:43:31

bijnok
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 1

promenons-nous danq le train

45 minutes

 #23 - 14-11-2013 23:28:39

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

promenons-nous dans le traun

Vous pouvez encore donner votre estimation ici, que ce soit à la louche, ou après quelques petites réflexions. Pour l'instant, les réponses données sont comprises entre 19 minutes et 50 ans...
Tentez votre chance !

Bonne réponse de kossi, masab, eudoxie et Franky. Bravo à eux !

 #24 - 15-11-2013 11:59:00

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Promenons-nous dasn le train

Salut je me suis lancé dans l'aventure de ton énigme.

Alors comment j'ai procédé :

Sur excel j'ai entré un tableau en ligne les numéros de wagon et en colonne le nombre de jour.

Ensuite ça ressemble à un triangle de pascal, que j'ai pu généraliser pour connaitre les probabilités d'être au wagon 20 selon le nombre de jour.

Par exemple pour être au wagon n°20 au 20ème jour je trouve 1/92378 ou encore au 35ème jour je trouve 2294248/1164587974.

Mais comment savoir où m'arrêter, c'est simple c'est quand la somme de ces probas se sont approchées le plus possible de 1 c'est à dire au jour n°155.

La moyenne sera donc entre les jours 20 à 155.

Ensuite je calcule comme on calcul une moyenne quand on a un tableau de proba en multipliant le numéro du jour avec sa proba correspondante.

Je trouve donc : 105 jours

Ps: je conserve le fichier excel si besoin wink

 #25 - 15-11-2013 16:09:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Proemnons-nous dans le train

Ok Gilles sur le principe, mais tu ne contrôles pas du tout l'erreur commise dans ta moyenne tronquée...
Essaye d'aller voir jusqu'à 1000 si tu peux.

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