Cette énigme n'a pas le succès qu'elle mérite. Voici les 32 premiers couples:

(1,1); (2,2); (3,3); (4,3); (5,2); (6,5); (7,2); (8,5); (9,8); (10,2); (11,5); (12,8); (13,11); (14,14); (15,3); (16,6); (17,9); (18,12); (19,15); (20,18); (21,21); (22,3); (23,6); (24,9); (25,12); (26,15); (27,18); (28,21); (29,24); (30,27); (31,30); (32,2)

J'ai l'impression que lorsque la fin d'une boucle termine sur le même rang (par exemple 14 ou 21), alors la boucle suivante démarre avec un "3", sinon avec un
"2". On voit clairement (mais ce n'est pas étonnant) que dans une boucle on avance toujours de 3 en 3. Mais bizzarrement une boucle ne semble jamais finir en "n-2",
mais toujours "n" (et on redémarre par un "3") ou "n-1" (et on redémarre par un "2").
Je n'ai pas encore fini de réfléchir: affaire à suivre ....

Edit:
f(1) = 1; f(2) = 2 et f(3) = 3
Pour i > 3:
si: f(i - 1) > i - 3, alors: f(i - 1) = i - 1 => f(i) = 3 et f(i - 1) <> i - 1 => f(i) = 2
si: f(i - 1) =< i - 3, alors: f(i) = f(i - 1) + 3
En indiquant cette formule dans Excel (ok je sais que c'est interdit !), je trouve:
f(10000) = 2690
Tout ça, sous réserve de la varacité de mes intuitions de ce qui précède l'édit.

J'ai modifié mon post initial.
Je trouve: f(10000) = 2690

Francky a bien amorcé la démarche, et a su trouver le dernier des 10.000 jetons du départ. Sa réponse n'est pas vaine, puisqu'elle a permis de confirmer le tableau que j'ai établi à la main, et il est loin de faire 10.000 lignes!  Il manque encore, pour se dispenser de l'informatique, un complément d'analyse qui permettra de poser des jalons et de trouver la réponse pour n'importe quel nombre (la liste des jalons pour aller jusqu'à un nombre n suit heureusement une courbe logarithmique). 

Personne n'est intéressé ?

Je donne la solution pour archivage. Qui sait, peut être cette question intéressera t elle plus tard...

Au lieu de chercher le dernier jeton en partant de 1, on désigne par 1 le dernier jeton.
Ici par convention le 1 est à gauche et les jetons sont éliminés de la droite vers la gauche.
Cherchons la position des premiers jetons:
1 2
Pour trouver le 3, on remonte en sens inverse à partir du 2 (on saute 2 jetons à partir du 2). 
1 2 3
Pour trouver le 4, on remonte en sens inverse à partir du 3
1 2 4 3.
et ainsi de suite
1 5 2 4 6 3
Ici on a ajouté 5 et 6 dans la suite 1243. On a mis 2 jetons. Pour le 7ème il faudra repasser par le 1.
1 7 5 2 8 6 3 9 pour 7 8 et 9.
1 7 10 5 2 11 8 6 12 3 9 13
A ce tour là on a mis les jetons 10 à 13.

Le 11 par exemple est le 6ème au départ. Quand on appliquera l'élimination, ce sera le 6 qui sera le dernier jeton.

On peut définir une construction par un couple de nombres (indice, jalon)
L'indice est la position du 1er nombre posé à partir de la suite précédente.
S'il est juste derrière le 1, ce sera indice 1. S'il est 2 rangs derrière 1 ce sera indice 2.
Il n'y a que 2 valeurs possibles pour l'indice.
A partir de la suite 1 7 10 5 2 11 8 6 12 3 9 13 le jeton 14 va se positionner à l'indice 2 (entre 7 et 10).
1*14*********
Le jalon est quant à lui le dernier nombre posé dans la suite. Il représente aussi le nombre de jetons de la suite.
1*14**15**16**17**18**19

Régles pour la construction des (i,j) successifs
-Si jk est pair alors i(k+1)=ik sinon i(k+1)= alternant de ik.
-Si jk pair alors j(k+1)=jk+jk/2.
-Si jk impair et ik=1 alors j(k+1)=jk+(jk+1)/2
-Si jk impair et ik=2 alors j(k+1)=jk+(jk-1)/2

Avec cette régle on peut construire rapidement une suite de (i,j)
2 3
1 4
1 6
1 9
2 14
2 21
1 31
2 47
1 70
1 105
2 158
2 237
1 355
2 533
1 799
2 1199
1 1798
1 2697
2 4046
2 6069
1 9103
2 13655
...

Utilisation de la liste
Soit n le nombre désigné. On cherche jk max tel que n>jk.
Si  ik=1 alors le dernier jeton sera 3(n-jk)-1
Si  ik=2 alors le dernier jeton sera 3(n-jk).

Il est tout à fait possible de trouver une liste identique quand on élimine 1 jeton sur 4 ou plus, ce serait juste un peu plus compliqué (indice à 3 valeurs, ...)