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 #1 - 17-10-2019 17:39:19

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 836

dé-placement d'yn jeton

Bonjour à tous,

je m'acquitte du gage de nobodydy avec cette énigme. Rien de très original, mais d'aucuns trouvent cela divertissant.

7 cases F-A-B-C-D-E-F sont placées côte à côte, de gauche à droite. On place un jeton sur une des 5 cases A, B, C, D, E, puis on lance un dé, et on déplace le jeton en conséquence. Lorsque le jeton atteint une des deux cases F-inales (placées aux extrémités), le jeu s'arrête.

Voici les règles de déplacement :
* un jeton placé en A se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1, vers la droite sinon.
* un jeton placé en B se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2, vers la droite sinon.
* un jeton placé en C se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3, vers la droite sinon.
* un jeton placé en D se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3 ou 4, vers la droite sinon.
* un jeton placé en E se déplace vers la gauche si le résultat du dé est 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5, vers la droite sinon.

1) Quelle est la probabilité que le jeton finisse sur la case F de gauche s'il est placé initialement sur la case A ?
2) Quel est le nombre moyen de coups d'une partie si le jeton est placé initialement sur la case C ?
3) Quel est le nombre médian de coups d'une partie si le jeton est placé initialement sur la case C ?

Amusez-vous bien.



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 #2 - 17-10-2019 18:17:38

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3892
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Dé-palcement d'un jeton

Peux-tu s'il te plaît donner un exemple concret de déplacement ?

Supposons le jeton en case B.
Si dé=1, le jeton va en A.
Si dé=2, le jeton va en F.
Si dé=3, le jeton va où ? En C ?
Si dé=4, le jeton va où ? En D ?
Si dé=5, le jeton va où ? En E ?
Si dé=6, le jeton va où ? En F ?

Autre compréhension possible, le jeton ne se déplace que d'une case, soit à gauche, soit à droite, en fonction de la valeur du dé et de la case où il est ?

Merci.
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 17-10-2019 21:21:39

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 836

Dé-placement d'u jeton

Un exemple pour Klimrod. Je précise que le jeton ne se déplace que d'une case à la fois, ce n'était peut-être pas assez clair.

On place le jeton initialement en C.
On lance le dé, le résultat est 2 : le jeton va vers la gauche et se retrouve en B.
On lance le dé, le résultat est 4 : le jeton va vers la droite et se retrouve en C.
On lance le dé, le résultat est 6 : le jeton va vers la droite et se retrouve en D.
On lance le dé, le résultat est 5 : le jeton va vers la droite et se retrouve en E.
On lance le dé, le résultat est 4 : le jeton va vers la gauche et se retrouve en D.
On lance le dé, le résultat est 5 : le jeton va vers la droite et se retrouve en E.
On lance le dé, le résultat est 6 : le jeton va vers la droite et le jeu est terminé.

 #4 - 17-10-2019 23:09:03

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3892
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

éD-placement d'un jeton

1ère question :

Appelons P(A) la probabilité que le jeton en A termine en F à gauche.
Alors P(A) = 1/2 + P(B)/2
et P(B) = P(A)/2 + P(C)/2
et P(C) = 1/2 (par symétrie, autant de chance de finir à gauche qu'à droite)
Donc P(A) = 5/6

De fil en aiguille, on trouve :
P(B)=4/6, P(C)=3/6, P(D)=2/6 et P(E)=1/6

2ème question :

Appelons N(C) le nombre moyen de coups pour terminer quand le jeton est en C.
Alors :
N(C) = 1 + N(B)/2 + N(D)/2 = 1 + N(B) (par symétrie entre B et D)
N(B) = 1 + N(A)/2 + N(C)/2
N(A) = 1 + N(B)/2

On en déduit que :
N(A)=5, N(B)=8 et N(C)=9

3ème question :

Appelons M(C) le nombre médian de coups pour terminer quand le jeton est en C. On applique le même raisonnement en pondérant les choix par leur probabilité.
Alors :
M(C) = 1 + M(B)*3/6 + M(D)*3/6 = 1 + M(B)
M(B) = 1 + M(A)*2/6 + M(C)*4/6
M(A) = 1 + M(B)*5/6

On en déduit que :
M(A)=31, M(B)=36 et M(C)=37

J'ai l'impression que c'est faux, ces résultats sont à vue d'oeil trop grands. roll

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #5 - 18-10-2019 08:37:38

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2974
Lieu: Luxembourg

Dé-placement d'un jetoon

Salut Ebichu,
J'ai compris les déplacements à gauche, mais pas à droite. Ex.: comment, en étant C et en ayant eu 6 au dé, on se retrouve en D ?
A+

 #6 - 18-10-2019 11:12:05

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 836

Dé-placement d'un jjeton

@Franky1103 : si tu es en C et que tu tires 1,2, ou 3, tu te déplaces d'une case vers la gauche, donc tu te retrouves en B ; et inversement, si tu tires 4,5, ou 6, tu te déplaces d'une case vers la droite, et tu te retrouves en D.

Ce jeu est une variante de la marche aléatoire classique. Dans une marche aléatoire, à chaque tour, on tirerait à Pile ou Face si on se déplace d'une case vers la gauche ou la droite. Mais la partie se terminerait très vite. Ici, pour ralentir la partie, plus on s'approche d'une extrémité, et moins on a de chance de se rapprocher de l'extrémité, ce qui prolonge le jeu.

 #7 - 18-10-2019 11:20:18

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 836

Dé-placement 'un jeton

@Klimrod : 1) et 2) incorrects car tu fais comme si sur chaque case, on avait autant de chance d'aller vers la gauche que la droite.
3) correct, si ce n'est que tu calcules ici la réponse à la question 2).

Tu ne vas pas avoir de mal à corriger la question 1), il suffit de rajouter les pondérations à ton raisonnement.

Pour la question 3), il faudra un autre raisonnement.

 #8 - 18-10-2019 11:39:44

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2974
Lieu: Luxembourg

Dé-placement du'n jeton

@Ebichu: ok merci, j'ai compris: on ne se déplace que d'une case à chaque fois (je croyais à tort qu'on se déplaçait d'un nombre de cases indiqué par le dé).

 #9 - 18-10-2019 14:57:14

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3892
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Dé-placemen d'un jeton

Merci Ebichu. Pour la 3ème réponse qui correspond en fait à la 2ème question, je m'en doutais, ça m'a traversé l'esprit quand je l'ai rédigée.
Donc rectification :

1ère question :

Appelons P(A) la probabilité que le jeton en A termine en F à gauche.
Alors P(A) = 1/6 + P(B)*5/6
et P(B) = P(A)*2/6 + P(C)*4/6
et P(C) = 1/2 (par symétrie, autant de chance de finir à gauche qu'à droite)
Donc P(A) = 8/13, P(B) = 7/13 et P(C) = 6,5/13 = 1/2
Et P(D) = 1 - P(B) = 6/13 et P(E) = 1 - P(A) = 5/13

2ème question :

Appelons N(C) le nombre moyen de coups pour terminer quand le jeton est en C.
Alors :
N(C) = 1 + N(B)*3/6 + N(D)*3/6 = 1 + N(B)
N(B) = 1 + N(A)*2/6 + N(C)*4/6
N(A) = 1 + N(B)*5/6

On en déduit que :
N(A) = 31, N(B) = 36 et N(C) = 37
Et N(D) = N(B) = 36 et N(E) = N(A) = 31

3ème question :

J'ai du mal avec la définition du nombre médian.
Je suppose qu'on met le jeton en C et qu'il faut calculer la probabilité P(3) de finir en 3 coups + la probabilité P(5) + P(7) + ... jusqu'à ce que la somme fasse 1/2.

D'une part je ne suis pas certain que ce soit correct, et d'autre part je ne suis pas certain d'être capable de faire ce calcul.

Klim.

[Edit]
3ème question :
Appelons P(C,n) la probabilité que l'on termine en n coups ou moins avec le jeton en C.
Alors :
P(C,n) = P(B,n-1)*3/6 + P(D,n-1)*3/6 = P(B,n-1)
P(B,n) = P(A,n-1)*2/6 + P(C,n-1)*4/6
P(A,n) = 1/6 + P(B,n-1)*5/6
Avec :
P(A,1) = 1/6
P(B,1) = 0 et P(B,2) = 2/6 * 1/6
P(C,1) = 0 et P(C,2) = 0 et P(C,3) = 2/6 * 1/6
Le but est de trouver n tel que P(C,n) = 1/2

Si je ne me suis pas trompé, on en déduit la relation de récurrence :
P(C,n) = 2/36 + P(C,n-2)*34/36
Comme n est impair, de la forme 2k+1 :
P(C,n) = 2/36 * [1 + (34/36) + (34/36)^2 + (34/36)^3 + ... + (34/36)^(k-1) ]
Il faut trouver k tel que cette expression soit égale à 1/2 (ou proche de 1/2).
Toujours si je ne me suis pas trompé, on trouve k=12, donc n = 25


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 #10 - 19-10-2019 11:54:02

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 836

dé-placement d'un jetob

@Klimrod : bravo, c'est parfaitement compris smile

On peut simplifier ta dernière formule, et pour la définition de la médiane, il faut que la somme atteigne ou dépasse 1/2, donc il faut augmenter ton k de 1 (et donc ton n de 2). À part ça, c'est parfait.

 #11 - 19-10-2019 13:08:31

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3892
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Dé-placement d'un jjeton

Merci. smile

Je ne savais pas que la médiane devait dépasser 1/2. J'ai proposé le k qui formait une somme la plus proche de 1/2, en l'occurrence 0,496 pour k=12 (alors que la somme fait 0,524 pour k=13).


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #12 - 20-10-2019 08:59:28

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 836

dé-placement d'un jetob

L'idée derrière la définition de la médiane, c'est que si tu sommes les P(k) tels que k<=med, tu trouves un nombre >=50% (ici 0,524), et que si tu sommes les P(k) tels que k>=med, tu trouves aussi un nombre >=50% (ici 0,504).

Avec k=12 ça ferait 0,496 et 0,533, ce qui est <50% dans un des deux cas.

 #13 - 20-10-2019 09:40:01

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Déplacement d'un jeton

A noter que j'ai transpiré mathématiquement pour trouver la relation de récurrence
P(C,n) = 2/36 + P(C,n-2)*34/36
Mais celle-ci s'explique très facilement.

P(C,n) est la probabilité de finir en n coups ou moins en partant du point C.
C'est aussi la somme de la probabilité de finir en exactement 2 coups + la probabilité de finir en n-2 coups ou moins.

Vu comme ça, c'est tout bête 😊.


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 #14 - 22-10-2019 00:57:07

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 836

Dé-placement 'dun jeton

C'est fini, félicitations à Klimrod qui a tout bien expliqué, et merci à ceux qui ont cherché.

 #15 - 22-10-2019 16:19:58

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Dé-placement d'un jton

Merci pour cette intéressante énigme.
Pour 1 et 2, j'y étais presque.
Mais pour 3, pas du tout.

 

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