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 #1 - 16-07-2015 15:38:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

Mathématiques opur les nuls 25 (Surplomb de dominos)

Bon comme je suis sympas on va jouer aux dominos aujourd'hui. Comme la résolution du problème en lui-même est assez compliquée, et que je n'ai pas encore la réponse du moins la démonstration pour le présent problème, je vous invite à laisser des traces de vos essais avec des photos de dominos par exemple.

Le problème est de trouver le surplomb maximum que l'on peut réaliser avec 30 dominos. Il est toutefois assez aisé de faire quelques tentatives de résolutions sans calcul sur feuille étant donné qu'il est facile de trouver le centre de gravité d'un rectangle.

http://www.antiquark.com/img/harmonic_stackdominoes90.gif

NB : Attention l'image peut induire en erreur wink



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 16-07-2015 15:52:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Mathématiques pour les nuls 25 (Surplobm de dominos)

C'est pas tout neuf http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8380

Sinon je dirai Spoiler : [Afficher le message] 2,71 smile

Vasimolo

 #3 - 16-07-2015 16:01:36

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

mathémayiques pour les nuls 25 (surplomb de dominos)

On va faire comme dans ton dernier post, on va revoir les bases lol

Pourtant j'ai cherché ! On la garde ou pas ? big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 16-07-2015 16:10:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

mathématiques pour les nums 25 (surplomb de dominos)

Il me semble que du donnes à la fin du fil un lien où tout est dit , je crains que beaucoup s'en souviennent smile

Vasimolo

 #5 - 16-07-2015 16:37:38

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2797
Lieu: Luxembourg

Mathématiques pur les nuls 25 (Surplomb de dominos)

Chaque domino doit contenir la verticale du centre de gravité du paquet de ceux situés au-dessus de lui. Le raisonnement est plus facile si on construit la tour depuis le haut.
Soit L la longueur du domino:
- avec 2 dominos, le surplomb maximal vaut L/2
- avec 3 dominos, le surplomb maximal vaut (L/2).(1+1/2)
- ...
- avec n dominos, le surplomb maximal vaut (L/2).(1+1/2+...+1/n)
Avec 30 dominos, le surplomb maximal vaut 1,997.L, soit presque 2.L

Curieusement, si on fait tendre le nombre de dominos vers l'infini, alors le surplomb maximal tend aussi vers l'infini, ce qui me semble contrintuitif.

 #6 - 16-07-2015 18:36:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Mtahématiques pour les nuls 25 (Surplomb de dominos)

C'est assez connu: 1/2+1/3+1/4+...1/31.

 #7 - 16-07-2015 23:04:13

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2074
Lieu: 94110

Mathématiques pour les nuls 25 S(urplomb de dominos)

Cette énigme me rappelle furieusement un empilage de briques que j'avais proposé (il y a déjà quelques années) ici :
                 //www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8380,
mais dont je n'était pas le premier découvreur : on peut considérer ce problème comme un grand classique.

On peut noter que mon schéma : http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Empilage_briques.jpg était beaucoup moins explicite que ta photo qui indique déjà clairement la solution.

A condition que les faces des dominos soient absolument planes et parallèles, que les angles soient parfaitement vifs et que le matériau soit parfaitement rigide, on a pour 30 dominos :
               (1/2 + 1/3 +1/4 + … + 1/29)/2  fois la longueur L du domino.

Un petit coup de tableur et on obtient :
                                            1,98082689879 * L .

Il est remarquable de constater que cette suite tend vers l'infini quand le nombre de dominos augmente indéfiniment smile .

Je pense qu'il n'est pas forcément mauvais de reprendre d'anciennes énigmes aussi remarquables : la majorité des joueurs actuels ne fréquentaient certainement pas le forum il y a plus de quatre ans smile .

 #8 - 16-07-2015 23:33:12

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

mathémztiques pour les nuls 25 (surplomb de dominos)

Oui, je crois qu'on la déjà vue celle-ci smile

Problème intéressant puisqu'il faut penser à l'envers ou contre l'intuition !
- Si on y a le droit, on peut créer un contre-poids. Voilà qui n'est pas forcément intuitif. Je ne développe pas, démontrer qu'une solution est la meilleure est effectivement sacrément complexe.
- Sinon, poser le 2nd domino SOUS le 1er à la limite de son centre de gravité (1/2 de sa longueur), poser le 3ème SOUS le 2ème à la limite de leur centre de gravit (3/4) etc.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #9 - 17-07-2015 00:01:43

NickBern
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 49

mathématiques poyr les nuls 25 (surplomb de dominos)

D'après la formule trouvée ici : http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/S … riques.pdf (un raisonnement très bien expliqué !) la méthode proposée en photo avec 30 dominos donne un surplomb théorique maximal de 2 fois la longueur d'un domino.

C'est pas mal non ?
Mais d'après le commentaire à la fin du post (et ce qui est signalé dans le pdf) : ce n'est pas la méthode idéale dans ce cas ... tongue


On pourrait par exemple (au lieu d'avancer un peu à chaque nouveau domino) en mettre un en porte-à-faux, mais maintenu par un contre-poids de quelques dominos. On perd quelques briques mais c'est toujours mieux que d'avancer d'un quarantième de longueur de domino (à nouveau cf. pdf) big_smile

 #10 - 17-07-2015 05:14:48

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 154

Mathématiques pour les nuls 25 (Surplomb de domnos)

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-planches.gif

Par construction on trouve pour un nombre N > 1 de planches un surplomb maximal de http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-planches_somme.gif planche(s).

En particulier pour 30 planches c'est presque 2 planches de surplomb !

On remarque que lorsque N tends vers l'infini la série diverge donc tout surplomb est atteignable pourvu qu'on ai suffisamment de planches smile

 #11 - 17-07-2015 14:40:51

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

mathématiques pour les nuls 25 (qurplomb de dominos)

http://math.pc.vh.free.fr/divers/paradoxes/dominos.htm

Voilà!

Donc pour 30 on a Hn environ égal à 4, donc on peut atteindre 4 fois la longueur du domino en surplomb!


Un promath- actif dans un forum actif

 #12 - 17-07-2015 15:24:30

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 695

athématiques pour les nuls 25 (Surplomb de dominos)

Le surplomb maximum avec 30 dominos est de

1+1/2+1/3+...+1/30 =
9304682830147/2329089562800 = 3.994987130920391070...

Voilà !

S'il ne faut pas compter le domino du dessous pour calculer le surplomb, il faut retrancher 1.

1/2+1/3+...+1/30 = 2.994987130920391070...

J'ai cru me rappeler la formule, mais je me suis trompé !!!

 #13 - 17-07-2015 22:22:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

MMathématiques pour les nuls 25 (Surplomb de dominos)

Oh puis m**** j'enlève les heures et puis on va en reparler ensemble parce que moi même je comprends plus rien là lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 17-07-2015 22:42:14

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

Mathématiques pour les nuls 25 (Surplomb de dominos))

J'aimerai bien que Nodgim, Masab et Promath m'explique leur méthode pour commencer ! big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 18-07-2015 00:21:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Mathémaitques pour les nuls 25 (Surplomb de dominos)

J'ai lu récemment un article de Jean-Paul Delahaye qui traitait ce problème : "Surplombs maximaux" . L'exercice est vraiment complexe et je ne suis pas sûr qu'un site d'énigme soit le meilleur endroit pour en débattre .

Mais bon , c'est vous qui voyez smile

Vasimolo

 #16 - 18-07-2015 01:05:25

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

mathématiques pour les nuls 25 (surplomb de dominis)

Quand je dis parlons, je dis parlons de ce que nous avons à proposer, le problème semble encore être ouvert d'après cet article (en anglais) trouvé par hasard : maximum overhang smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 18-07-2015 07:43:35

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1383
Lieu: Coutiches

mathélatiques pour les nuls 25 (surplomb de dominos)

L'illustration de Sydre avec les explications de Fix me semble clair Shadock, qu'est-ce qui te gène ?

 #18 - 18-07-2015 11:37:31

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2074
Lieu: 94110

mathématiques pour les nuls 25 (surolomb de dominos)

Bravo à vasimolo qui a le premier pointé vers ma propre énigme d'il y a 4 ans

Le début d'explication de Sydre  est effectivement assez clair.
Il reprend en dynamique mon image de correction de cette ancienne énigme :
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Empilage_briques_sol.jpg
On doit bien trouver, comme le dit Sydre, un peu moins de 2, environ 1,98
.
shadock a dit :

J'aimerai bien que Nodgim, Masab et Promath m'explique leur méthode.

Ils ont dû faire chacun une (ou deux) erreurs de calcul ! Par exemple de s'arrêter à 29 ou/et de diviser par 2 ?

vasimolo a dit :

L'exercice est vraiment complexe et je ne suis pas sûr qu'un site d'énigme soit le meilleur endroit pour en débattre.

Je trouve au contraire qu'il devient évident quand on a compris qu'il fallait commencer le calcul itératif par le haut de la pile et qu'il a donc parfaitement sa place ci big_smile .

 #19 - 18-07-2015 12:29:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

mathématiques pour les nuls 25 (surplomb de domunos)

@Jackv : jette un petit coup d’œil au lien donné par Shadock et on en reparle smile

Vasimolo

 #20 - 18-07-2015 15:48:59

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2074
Lieu: 94110

Mathématiques pour les nuls 25 (Surpplomb de dominos)

Au temps pour moi sad .
Évidemment, si on se permet d'utiliser des dominos pour faire contre-poids, cela devient un autre problème hmm , dont la mise en équation n'est pas forcément évidente ni réalisable, et qui sort effectivement du cadre de ce site roll .

 

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