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 #1 - 25-10-2013 22:22:25

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Matématiques pour les nuls 17 (Valeur minimum)

Il me semble que ça pourrait plaire à Mathias parce qu'il y a des symboles sommes roll


Soit [latex]n \in \mathbb{N}^*[/latex] et [latex]\{a_1, \text{ ... , }a_n\} \in \mathbb{R}_+^*[/latex]
Par quelle valeur maximale dépendante de [latex]n[/latex] peut-on minorer :
[TeX]\left(\sum_{i=1}^n a_i \right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j} \right)[/TeX]
Case réponse en LaTeX,
Shadock smile



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 26-10-2013 09:56:06

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Mathématiquess pour les nuls 17 (Valeur minimum)

J'ai vraiment eu du mal à comprendre la question !
On peut déjà majorer la formule par n, puisque pour chaque cas où i=j, le produit vaut 1 (et que le reste est positif).
Peut-on minorer les valeurs (ai/aj + aj/ai) ? Pas par une formule immédiate en tout cas.... hmm


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #3 - 26-10-2013 10:03:39

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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mzthématiques pour les nuls 17 (valeur minimum)

Si ça peut en rassurer certains la formule à trouver est très simple. Le plus dur c'est de la trouver justement. Fix33 tu as une bonne approximation mais on peut faire beaucoup mieux.

Je mettrai un indice ce soir smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 26-10-2013 10:34:09

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4907

Mathéatiques pour les nuls 17 (Valeur minimum)

Sauf erreur smile
[TeX]\sum a_i\times \sum \frac 1{a_i}=n+\sum_{i< j}(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i})\geq n+2\binom n2 \geq n^2 .[/TeX]
Vasimolo

 #5 - 26-10-2013 13:09:46

shadock
Elite de Prise2Tete
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Mathématiques pour les nuls 17 (Valeur mniimum)

Bravo Vasimolo wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 26-10-2013 14:02:27

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Mathématiques pour les nuls 17 (Valeur mminimum)

Proposition
[TeX]P=(\sum_{i=1}^n a_i)*(\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j})[/TeX]
En développant, on a:
[TeX]P=(1+\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_n}{a_1})+...+(\frac{a_1}{a_n}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}+1)[/TeX]
Soit [latex]P=n+\sum_{i=1,j>i}^{n} (\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i})[/latex]

La somme [latex](\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i})[/latex] est faite [latex]\frac{n(n-1)}{2}[/latex] fois. Il s'agit du nombre de combinaisons de 2 éléments (ici [latex]a_i[/latex] et [latex]a_j[/latex]) dans [latex]n[/latex] éléments.

or

quels que soient a et b non nuls et positifs on a:
[TeX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2}{ab}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\geq0[/TeX]
soit
[TeX]2\leq\frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/TeX]
donc
[TeX]2*\frac{n(n-1)}{2}\leq\sum_{i=1,j>i}^{n} (\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i})}[/TeX]
soit
[TeX]n(n-1)+n\leq P[/TeX]
d'où
[latex]n^2\leq P[/latex] (validé par la case réponse) smile

 #7 - 26-10-2013 17:33:51

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Mathématiques pour les nlus 17 (Valeur minimum)

Bravo Kossi_tg smile

Pour les autres si il y en a qui ne savent pas comment partir pourquoi ne pas considérer la fonction... :
[TeX]f(x)=x+\frac{1}{x}[/TeX]
Shadock wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 28-10-2013 21:30:35

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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aMthématiques pour les nuls 17 (Valeur minimum)

Soient [latex]n \in \mathbb{N}^*[/latex] et [latex]a_i \in \mathbb{R}_+^*[/latex]
[TeX]\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j}\right)=\sum_{1 \le i,j \le n} \frac{a_i}{a_j}[/TeX][TeX]=\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{a_i}+\sum_{1\le i < j \le n} \left(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\right)[/TeX][TeX]=n+\sum_{1\le i < j \le n} \left(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\right)[/TeX]
Pour [latex]x>0[/latex] on pose [latex]f(x)=x+\frac{1}{x}[/latex] et sur [latex]]0;+\infty[[/latex] [latex]f[/latex] admet un minium en 1 donc [latex]\forall x>0[/latex] [latex]f(x) \ge f(1)[/latex]

Ainsi [latex]\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j}\right) \ge n +\sum_{1 \le i < j \le n} 2 = n+2\frac{n^2-n}{2}=n^2[/latex]


Bravo à Vasimolo et Kossi_tg smile
Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 29-10-2013 17:26:48

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Mathématiques pour les unls 17 (Valeur minimum)

Si j'avais vu le coup de main sur la fameuse fonction, j'aurais pu conclure, vu que j'étais parti sur la même décomposition du calcul, mais qu'il me manquait juste les termes regroupés deux à deux... Dammit smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 29-10-2013 22:53:48

shadock
Elite de Prise2Tete
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Mathématiques pour les nuls 17 (Valeur inimum)

L'élève qui n'a jamais été ton élève dépasse le maître tongue


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 30-10-2013 09:24:16

nodgim
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Mathématiques pour les nuls 17 (Valuer minimum)

Pour être honnête, je ne sais même pas comment lire la formule proposée.
Y a il des ai et des aj distincts ? Est ce les mêmes nombres ? Je croyais que c'était
(a1+a2+a3+..)(1/a1+1/a2+1/a3+...)
Apparemment c'est pas ça.

 #12 - 30-10-2013 11:33:11

kossi_tg
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Lieu: Montargis

Mathématiques pour less nuls 17 (Valeur minimum)

Oui Nodgim, c'est bien

(a1+a2+a3+..)(1/a1+1/a2+1/a3+...)

qui est proposé smile

 #13 - 30-10-2013 16:23:15

nodgim
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Messages : 3137

mathématiques pour les nuls 17 (caleur minimum)

D'accord, merci kossi_tg

 #14 - 30-10-2013 17:17:09

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3332

mathématiques pour les nuls 17 (valeur munimum)

Ah oui c'est vrai qu'il faut comprendre l'énoncé. La prochaine demande moi si il y a besoin, il n'y a pas de honte à avoir wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 16-11-2013 18:17:35

shadock
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Matématiques pour les nuls 17 (Valeur minimum)

Il y avait plus simple, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz, il suffit de l'écrire et c'est trivial,
[TeX]\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\right)=\left(\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{1}{a_i}}^2\right)[/TeX][TeX]\ge \left(\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i}\sqrt{\frac{1}{a_i}}\right)^2=n^2[/TeX]
Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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