J'ai vraiment eu du mal à comprendre la question !
On peut déjà majorer la formule par n, puisque pour chaque cas où i=j, le produit vaut 1 (et que le reste est positif).
Peut-on minorer les valeurs (ai/aj + aj/ai) ? Pas par une formule immédiate en tout cas....

Sauf erreur
$$\sum a_i\times \sum \frac 1{a_i}=n+\sum_{i< j}(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i})\geq n+2\binom n2 \geq n^2 .$$
Vasimolo

Proposition
$$P=(\sum_{i=1}^n a_i)*(\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j})$$
En développant, on a:
$$P=(1+\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_n}{a_1})+...+(\frac{a_1}{a_n}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}+1)$$
Soit $P=n+\sum_{i=1,j>i}^{n} (\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i})$

La somme $(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i})$ est faite $\frac{n(n-1)}{2}$ fois. Il s'agit du nombre de combinaisons de 2 éléments (ici $a_i$ et $a_j$) dans $n$ éléments.

or

quels que soient a et b non nuls et positifs on a:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2}{ab}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\geq0$$
soit
$$2\leq\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$
donc
$$2*\frac{n(n-1)}{2}\leq\sum_{i=1,j>i}^{n} (\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i})}$$
soit
$$n(n-1)+n\leq P$$
d'où
$n^2\leq P$ (validé par la case réponse)

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $a_i \in \mathbb{R}_+^*$
$$\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j}\right)=\sum_{1 \le i,j \le n} \frac{a_i}{a_j}$$ $$=\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{a_i}+\sum_{1\le i < j \le n} \left(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\right)$$ $$=n+\sum_{1\le i < j \le n} \left(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\right)$$
Pour $x>0$ on pose $f(x)=x+\frac{1}{x}$ et sur $]0;+\infty[$ $f$ admet un minium en 1 donc $\forall x>0$ $f(x) \ge f(1)$

Ainsi $\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j}\right) \ge n +\sum_{1 \le i < j \le n} 2 = n+2\frac{n^2-n}{2}=n^2$


Bravo à Vasimolo et Kossi_tg
Shadock

L'élève qui n'a jamais été ton élève dépasse le maître

Oui Nodgim, c'est bien

(a1+a2+a3+..)(1/a1+1/a2+1/a3+...)

qui est proposé

Ah oui c'est vrai qu'il faut comprendre l'énoncé. La prochaine demande moi si il y a besoin, il n'y a pas de honte à avoir