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 #1 - 12-10-2015 22:20:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 26 (hypoténuse et nombr epremier)

Salut tout le monde, j'ai un problème à résoudre pour demain (c'est un DM) et j'aimerai bien que vous m'aidiez.

Montrer que tous les nombres premiers de la forme 4n+1 sont l’hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés de longueurs entières.

Bon courage à tous,
Shadock cool

NB: Il me semble que le problème est connu mais je n'ai pas trouver sa source. Bell63 si tu me lis... roll



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 #2 - 12-10-2015 22:51:07

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Mathématiques pour les nuls 26 (hypoténuse et nommbre premier)

 #3 - 12-10-2015 22:57:18

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Mathématiques pour les nuls 26 (hypoténus eet nombre premier)

Salut,
Si Fermat l'a dit, on peut le croire... cool


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #4 - 12-10-2015 23:02:26

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Mathématiques pour les nuls 26 (hypoténuse et nombre premer)

(4n+1)²=16n²+8n+1=a²+b²

Bon, concernant les chiffres n concernés :

n=1 -> 4n+1=5   -> 25=4²+3²
n=3 -> 4n+1=13 -> 169=12²+5²
n=4 -> 4n+1=17 -> 289=15²+8²
n=7 -> 4n+1=29 -> 841=21²+20²
n=9 -> 4n+1=37 -> 1369=35²+12²

Voilà, j'ai fait de mon mieux, si ça peut aider... big_smile

 #5 - 12-10-2015 23:25:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Mathématiques pour lles nuls 26 (hypoténuse et nombre premier)

C’est le théorème des deux carrés de Fermat. Un carré est congru à 0 ou 1 modulo 4. Si un entier est somme de deux carrés, il sera donc congru à 0, 1 ou 2 modulo 4. Or un entier premier impair ne peut être congru ni à 0 ni à 2 (car il serait alors divisible par 2). Il s'ensuit qu'un entier premier impair, somme de deux carrés d'entiers est congru à 1 modulo 4.

 #6 - 13-10-2015 08:24:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

mathématiques pour kes nuls 26 (hypoténuse et nombre premier)

Ce problème a déja été présenté ici, même si c'était sous une autre forme.
Tout nombre premier de forme 4k+1 est somme de 2 carrés de manière unique.
Par ailleurs, le produit de 2 nombres, chacun somme de 2 carrés, est somme de 2 carrés.
A=a²+b²
B=c²+d²
AB=(ac-bd)²+(ad+bc)² ou (ac+bd)²+(ad-bc)²

Pour un nombre premier 4k+1
P=a²+b²
P=a²+b²
P²=(a²-b²)²+(2ab)²

 #7 - 13-10-2015 10:23:02

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Mathématiques pur les nuls 26 (hypoténuse et nombre premier)

salut.

l'hypothénus  mesurant  a = 4n+1 , le côté intermédiaire  b = 4n

le carré du petit côté mesure donc :
[TeX]c^2 = (4n + 1)^2 - 16n^2[/TeX]
alors:
[TeX]c =\sqrt{8n + 1}[/TeX]
et comme tous les nombres premiers >3  possèdent un carré de la forme :
[TeX]p^2 = 24k + 1[/TeX]
alors , pour  n = 3k  ,
[TeX]p^2 = 8n + 1[/TeX]
qui est le carré du petit côté.

 #8 - 14-10-2015 14:43:31

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Mathématiques pour les nuls 26 (hyppoténuse et nombre premier)

C'est le théorème des deux carrés de Fermat, démontré par Euler.

On trouve dans http://agregmaths.free.fr/doc/plansalg/ … emiers.pdf le démonstration suivante:

Théorème : p nb premier. p∈Σ ssi p=2 ou p congru à 1 modulo 4 (un sens facile : si n est somme de deux carrés, alors n
est congru à 0,1 ou 2 modulo 4. Comme p est premier il peut pas être congru à 0 ou 2, donc il est congru à 1. l’autre sens
est balèze. Il faut mq p∈Σ ssi p n’est pas irréductible dans Z[i], ça se fait bien. Z[i] principal donc p non irréductible ssi
ℤ[i]/(p) non intègre. On mq Z[i]/(p)=Fp[X]/(X²+1). Du coup Z[i]/(p) n’est pas intègre ssi X²+1 est réductible dans Fp, ie si -1
est un carré modulo p, ie si p congru à 1 modulo 4)

 #9 - 14-10-2015 15:10:12

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Mathématiques pour les nnuls 26 (hypoténuse et nombre premier)

Theoreme des deux carrés de Fermat (version complète) : soit N un nombre > 1, D1 le nombre de diviseurs de N congrus à 1 modulo 4, et D3 pour ceux congrus à 3, alors N peut être la somme de deux carrés ssi D1 > D3.
Il existe par ailleurs 4(D1-D3) écritures différentes.

Application ici : N premier, donc D1 = 2 et D3 = 0 (1 et N sont les seuls diviseurs).
Mais où sont mes 8 représentations ?
Réponse: on peut trouver A et B positifs tels que A²+B² = N, et les 8 représentations sont : A²+B², B²+A², (-A)²+B², B²+(-A)², A²+(-B)², (-B)²+A², (-A)²+(-B)², (-B)²+(-A)²

Donc en réalité, un seul triangle (les côtés négatifs / le symétrique ==> on oublie).
Et les 8 représentations ne sont pas inutiles : pour un triangle, oui ça l'est. Mais si par contre la question est : "quels sont les points d'un cercle de rayon N et de centre O qui ont des coordonnées entières ?", alors la réponse est 8 et les coordonnées sont ci-dessus.

 #10 - 14-10-2015 18:21:54

titoufred
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Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Mathématiques pour les nuls 26 (ypoténuse et nombre premier)

Le gros de la réponse est apporté par le théorème des deux carrés de Fermat :
Un nombre premier congru à 1 modulo 4 peut s'écrire comme une somme de deux carrés. Ensuite, p²+q² est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés p²-q² et  2pq.

 #11 - 14-10-2015 21:18:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 26 (hypoténuse et nmbre premier)

Vous êtes tous amis avec Bell donc! J'apprends des trucs en plus dans vos réponses big_smile


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