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 #1 - 09-09-2013 19:29:45

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 16 (Produit et racnies de l'unité)

Allez, pour achever mes révisions sur les complexes je vous propose ceci, à mon goût le problème est simple, mais allez savoir... smile

Soit n impair [latex]\{u_1,\text{..., }u_{n-1}\}[/latex] les racines n-ièmes de l'unité autre que 1, calculer [latex]\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k}[/latex]


La case réponse valide la réponse, en LaTeX


Shadock smile

EDIT : Merci Titou, d'avoir fait remarqué que n est impair !



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 09-09-2013 22:48:44

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

mathématiques pour les nuls 16 (produit et raxines de l'unité)

Il va falloir enlever -1 également lorsque n est pair non ? Et précise que ce sont des racines nèmes.

 #3 - 09-09-2013 23:25:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 16 (Produit et racines de lu'nité)

Merci pour m'avoir fait préciser que ce sont des racines n-ièmes smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 09-09-2013 23:35:17

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Mathématques pour les nuls 16 (Produit et racines de l'unité)

Si n est pair alors une des racines est -1 donc l'expression n'a pas de sens (le dénominateur s'annule).

 #5 - 09-09-2013 23:40:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 16 (Produti et racines de l'unité)

Oups oui j'ai oublié de préciser n est impair hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 10-09-2013 02:36:18

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Mathématiques pour les nuls 16 (Produi tet racines de l'unité)

[TeX]U_k=e^{2ik\pi/n}[/TeX][TeX]P_k=\frac{1-U_k}{1+U_k}=\frac{e^{-ik\pi/n}}{e^{-ik\pi/n}}*\frac{1-e^{2ik\pi/n}}{1+e^{2ik\pi/n}}=\frac{e^{-ik\pi/n}-e^{ik\pi/n}}{e^{-ik\pi/n}+e^{ik\pi/n}}[/TeX][TeX]P_k=\frac{C-iS-C-iS}{C-iS+C+iS}=\frac{-iS}{C}[/latex]  avec  [latex]C=cos(k\pi/n)[/latex] et [latex]S=sin(k\pi/n)[/TeX]
Soit
[TeX]P=\prod_{k=1}^{n-1}{P_k}=\prod_{k=1}^{n-1}{\frac{-iS}{C}}=(-i)^{n-1}*\frac{\prod_{k=1}^{n-1}{S}}{\prod_{k=1}^{n-1}{C}}[/TeX][TeX]P=(-i)^{n-1}*\frac{\frac{n}{2^{n-1}}}{\frac{cos(n\pi/2-\pi/2)}{2^{n-1}}}=(-i)^{n-1}*\frac{n}{cos(n\pi/2-\pi/2)}[/TeX]
On va distinguer 2 cas de n, n étant impair:

- 1er cas: [latex]n=4*p+3[/latex] où p est un entier naturel
[TeX](-i)^{n-1}=(-i)^{4*p+2}=-1[/latex]  et [latex] cos(n\pi/2-\pi/2)=cos(p*2\pi+\pi)=-1[/TeX]
donc [latex]P=n[/latex],

-2ième cas: [latex]n=4*p+1[/latex] où p est un entier naturel
[TeX](-i)^{n-1}=(-i)^{4*p}=1[/latex]  et  [latex]cos(n\pi/2-\pi/2)=cos(p*2\pi)=1[/TeX]
donc [latex]P=n[/latex].

En définitif  [latex]\prod_{k=1}^{n-1}{\frac{1-U_k}{1+U_k}}=n[/latex]

 #7 - 10-09-2013 07:30:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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MMathématiques pour les nuls 16 (Produit et racines de l'unité)

Bravo kossi_tg smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 10-09-2013 12:21:50

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 679

Mathématiques pour les nuls 16 (Produit et racines de l'unté)

Le produit demandé est égal à [latex]n[/latex]
En effet on a  [latex]x^n-1=(x-1)\,(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)[/latex]
Posons [latex]P(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1[/latex]
Alors on a  [latex]\prod_{k=1}^{n-1} (x-u_k) = P(x)[/latex]
Par suite  [latex]\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k} = \frac{P(1)}{(-1)^{n-1}P(-1)} = \frac{n}{1\times 1} = n\quad\quad[/latex]  ([latex]n[/latex] est impair)
Voilà !

 #9 - 10-09-2013 18:13:08

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

mathématiques pour les nuls 16 (produit et racinrs de l'unité)

Bonne réponse et de deux !!

En revanche ton raisonnement me laisse perplexe par ça rapidité hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 12-09-2013 23:22:36

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Mathématiques pour les nuls 16 (Produit et racines de l'uniét)

Voici ma solution, il doit y en avoir d'avoir quoiqu'elles se ressemblent certainement.

Si [latex]n=1[/latex] le produit est 1.
Si [latex]n=3[/latex] le produit est [latex]\frac{1-j}{1+j}*\frac{1-j^2}{1+j^2}=\frac{1-j-j^2+j^3}{1+j+j^2+j^3}=\frac{3}{1}=3[/latex]

Montrons alors que [latex]\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k}=n[/latex]

D'abord, [latex]z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1} (z-u_k)=(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-u_k)=(z-1)P(z)[/latex]

Que l'on dérive et on trouve [latex]nz^{n-1}=P(z)+(z-1)P'(z)[/latex] ainsi pour [latex]z=1[/latex] on a [latex]P(1)=\prod_{k=1}^{n-1} (1-u_k)=n[/latex]

De plus comme [latex]n[/latex] est impair,
[TeX]z^n+1=\prod_{k=0}^{n-1} (z+u_k)=(z+1)\prod_{k=1}^{n-1}(z+u_k)=(z+1)Q(z)[/TeX]
Pour [latex]z=1[/latex] on a donc [latex]Q(1)=\prod_{k=1}^{n-1}(1+u_k)=1[/latex].


On a donc [latex]\prod_{k=1}^{n-1}(1+u_k)=\prod_{k=1}^{n-1}(-1-u_k)=P(-1)[/latex]

or [latex]z^n-1=(z-1)P(z)[/latex] qui donne pour [latex]z=1[/latex], [latex]-2=-2P(-1)[/latex] soit[latex]P(-1)=1[/latex]

D'où le résultat :
[TeX]\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k}=n[/TeX]
Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 13-09-2013 09:34:42

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Mathématiques pour les nuls 16 (Prooduit et racines de l'unité)

Il y a plus simple comme je l'ai indiqué
[TeX]P(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1[/latex] donc [latex]P(1)=n[/latex] et [latex]P(-1)=1[/latex].
D'où
[latex]\prod_{k=1}^{n-1}(1-u_k)=P(1)=n[/TeX]
et
[TeX]\prod_{k=1}^{n-1}(1+u_k)=(-1)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}(-1-u_k)=(-1)^{n-1}P(-1)=1[/TeX]
Voilà !

 #12 - 13-09-2013 15:23:55

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

Mathématiques pour les nuls 16 (Produit et racines de l'unit)é

Bravo masab !

 #13 - 13-09-2013 20:41:43

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3314

Mathématiques ppour les nuls 16 (Produit et racines de l'unité)

Oui je sais, mais pour éviter les remarques de certains je préfère mettre ce que j'ai fais.

Shadock smile


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