Il va falloir enlever -1 également lorsque n est pair non ? Et précise que ce sont des racines nèmes.

Si n est pair alors une des racines est -1 donc l'expression n'a pas de sens (le dénominateur s'annule).

[TeX]U_k=e^{2ik\pi/n}[/TeX][TeX]P_k=\frac{1-U_k}{1+U_k}=\frac{e^{-ik\pi/n}}{e^{-ik\pi/n}}*\frac{1-e^{2ik\pi/n}}{1+e^{2ik\pi/n}}=\frac{e^{-ik\pi/n}-e^{ik\pi/n}}{e^{-ik\pi/n}+e^{ik\pi/n}}[/TeX][TeX]P_k=\frac{C-iS-C-iS}{C-iS+C+iS}=\frac{-iS}{C}[/latex]  avec  [latex]C=cos(k\pi/n)[/latex] et [latex]S=sin(k\pi/n)[/TeX]
Soit
[TeX]P=\prod_{k=1}^{n-1}{P_k}=\prod_{k=1}^{n-1}{\frac{-iS}{C}}=(-i)^{n-1}*\frac{\prod_{k=1}^{n-1}{S}}{\prod_{k=1}^{n-1}{C}}[/TeX][TeX]P=(-i)^{n-1}*\frac{\frac{n}{2^{n-1}}}{\frac{cos(n\pi/2-\pi/2)}{2^{n-1}}}=(-i)^{n-1}*\frac{n}{cos(n\pi/2-\pi/2)}[/TeX]
On va distinguer 2 cas de n, n étant impair:

- 1er cas: [latex]n=4*p+3[/latex] où p est un entier naturel
[TeX](-i)^{n-1}=(-i)^{4*p+2}=-1[/latex]  et [latex] cos(n\pi/2-\pi/2)=cos(p*2\pi+\pi)=-1[/TeX]
donc [latex]P=n[/latex],

-2ième cas: [latex]n=4*p+1[/latex] où p est un entier naturel
[TeX](-i)^{n-1}=(-i)^{4*p}=1[/latex]  et  [latex]cos(n\pi/2-\pi/2)=cos(p*2\pi)=1[/TeX]
donc [latex]P=n[/latex].

En définitif  [latex]\prod_{k=1}^{n-1}{\frac{1-U_k}{1+U_k}}=n[/latex]

Le produit demandé est égal à [latex]n[/latex]
En effet on a  [latex]x^n-1=(x-1)\,(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)[/latex]
Posons [latex]P(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1[/latex]
Alors on a  [latex]\prod_{k=1}^{n-1} (x-u_k) = P(x)[/latex]
Par suite  [latex]\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k} = \frac{P(1)}{(-1)^{n-1}P(-1)} = \frac{n}{1\times 1} = n\quad\quad[/latex]  ([latex]n[/latex] est impair)
Voilà !

Voici ma solution, il doit y en avoir d'avoir quoiqu'elles se ressemblent certainement.

Si [latex]n=1[/latex] le produit est 1.
Si [latex]n=3[/latex] le produit est [latex]\frac{1-j}{1+j}*\frac{1-j^2}{1+j^2}=\frac{1-j-j^2+j^3}{1+j+j^2+j^3}=\frac{3}{1}=3[/latex]

Montrons alors que [latex]\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k}=n[/latex]

D'abord, [latex]z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1} (z-u_k)=(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-u_k)=(z-1)P(z)[/latex]

Que l'on dérive et on trouve [latex]nz^{n-1}=P(z)+(z-1)P'(z)[/latex] ainsi pour [latex]z=1[/latex] on a [latex]P(1)=\prod_{k=1}^{n-1} (1-u_k)=n[/latex]

De plus comme [latex]n[/latex] est impair,
[TeX]z^n+1=\prod_{k=0}^{n-1} (z+u_k)=(z+1)\prod_{k=1}^{n-1}(z+u_k)=(z+1)Q(z)[/TeX]
Pour [latex]z=1[/latex] on a donc [latex]Q(1)=\prod_{k=1}^{n-1}(1+u_k)=1[/latex].


On a donc [latex]\prod_{k=1}^{n-1}(1+u_k)=\prod_{k=1}^{n-1}(-1-u_k)=P(-1)[/latex]

or [latex]z^n-1=(z-1)P(z)[/latex] qui donne pour [latex]z=1[/latex], [latex]-2=-2P(-1)[/latex] soit[latex]P(-1)=1[/latex]

D'où le résultat :
[TeX]\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-u_k}{1+u_k}=n[/TeX]
Shadock

Bravo masab !