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 #1 - 14-05-2014 21:42:19

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

ton esprit est-im vif ?

Un bateau à moteur quitte la rive A en même temps qu’un autre bateau quitte la rive opposée B. Ils traversent le lac à vitesse constante et en ligne droite. Ils se croisent une première fois à 500 m de la rive A. Arrivé à la rive opposée, chaque bateau fait demi-tour sans "modifier sa vitesse" et ils se croisent de nouveau à 300 m de la rive B.

Question de base: quelle est la longueur (en m) du lac (ou la distance entres les rives A et B) ?
Question subsidiaire: quelle relation y a t-il entre les vitesses (différentes) des deux bateaux ?
La case validera la réponse à la question de base et l’objectif est évidemment de faire le moins de calculs possibles.
Source: "The Moscow puzzles" de Boris Kordemsky (en langue anglaise et préfacée par Martin Gardner).

Edit: Etant à l'étranger (en France smile) et ne pouvant répondre à cause d'une mauvaise connexion, j'ai rajouté un peu de temps.



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 #2 - 14-05-2014 22:49:29

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Ton esprit est-i lvif ?

Il suffit d'écrire les vitesses : J'appelle D la distance entre les 2 rives.

A t1 (1er croisement) puis à t2 (2nd croisement) :
Va = 500/t1 = (D+300)/t2           (1)
Vb = (D-500)/t1 = (2D-300)/t2    (2)

De (1) puis (2) on tire : t1/t2 = (D+300)/500 = (2D-300)/(D-500)
En simplifiant D²-200D-150000 = 1000D-150000
Donc D²-1200D=0
D(D-1200)=0
D<>0 donc D=1200.

Du coup dans (1) et (2) on tire Va=500/t1 et Vb=700/t1
Donc t1=500/Va=700/Vb
Et donc Vb/Va=7/5

Merci, sympa à chercher ! smile

 #3 - 14-05-2014 23:50:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Ton esprit est-il vf ?

1200 m smile

J'ai fait un peu de calcul mais j'ai déjà vu ce problème et je crois me souvenir qu'il y a une réponse qui tient en deux lignes .

Vasimolo

 #4 - 15-05-2014 00:55:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Ton espprit est-il vif ?

Notons x la longueur du lac en mètres.
A la première rencontre, les bateaux ont parcouru x mètres à eux deux, et à la deuxième, ils en ont parcouru 3x.
On en déduit que le moment de la deuxième rencontre arrive trois fois plus tard que le moment de la première.
A la première rencontre, le bateau parti de la rive A a parcouru 500 mètres, et à la deuxième, il en a parcouru x+300.
On en déduit donc que x+300=3×500, ce qui donne aisément x=1200.
Voilà pour la question principale.

Pour la question subsidiaire : à la première rencontre, le bateau parti de la rive B a parcouru 700 mètres, donc sa vitesse vaut 700/500=1,4 fois celle de l'autre bateau.

 #5 - 15-05-2014 01:51:29

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Ton esprit est-il vvif ?

On dirait un problème de baignoire...

On appelle Va la vitesse du bateau qui part de A et Vb celle du bateau qui part de B.
On appelle Tc, le temps mis pour atteindre le point C (tel que AC = 500 m) et Td le temps mis pour atteindre le point D, tel que BD = 300 m,après demi-tour.

Nous avons donc les équations suivantes :
(1) Va Tc = AC
(2) Vb Tc = BC = AB - AC
(3) Va Td = AB + BD
(4) Vb Td = AB + AD = AB + AB - BD = 2AB - BD

(1)/(2) donne Va/Vb = AC / (AB - AC)
(3)/(4) donne Va/Vb = (AB + BD) / (2AB - BD)

Donc AC / (AB - AC) = (AB + BD) / (2AB - BD)
Soit AC x (2AB - BD) = (AB + BD) x (AB - AC)
Après développement : AB ² + AB (BD - AC - 2 AC) = 0
Comme AB n'est pas nul (car AB >= AC), on a donc AB = 3 AC - BD

On trouve AB = 1200 m.

Question bonus : Va/Vb = 5/7

 #6 - 15-05-2014 12:03:42

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

Ton epsrit est-il vif ?

A eux deux, ils font 3 fois la traversée.

Je prend L la Longueur de la traversée.

En un temps  T déterminé par leur premier croisement , ils parcourent à eux deux l'équivalent de la traversée:

Le premier bateau parcours 500m et le second L-500m

Au bout du temps nT, ils se recroisent donc :

500 n +(L - 500 )n  = 3L
nL = 3L =>


Pour faire à eux deux trois fois la traversée (premier passage + nouveau croisement ) ils mettent 3 fois plus de temps.

Le premier bateau a donc parcouru 3 x 500 = 1500 m
Puisqu'il a refait 300 m après son demi tour, la rivière fait 1500-300=1200 m de large.

Le second va 7/5 fois plus vite.

 #7 - 15-05-2014 13:42:15

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1945
Lieu: Paris

ton esprit est-il vof ?

Bonjour,

Je trouve x=800m et z=3y/5 avec x, la longueur du lac, y la vitesse du bateau partant de A, et z la vitesse du bateau partant de B.

Edit : Je viens de re-réfléchir à ma réponse mais il y a un truc pas logique. Les vitesses vA et vB sont constantes. Du coup comme le bateau A fait 500m quand le bateau B en fait 300 signifie que le bateau A est plus rapide. Or après, le bateau fait 600 m quand le bateau B en fait 1000 ... → Je me suis planté !

 #8 - 15-05-2014 19:50:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Ton espirt est-il vif ?

1200 validé, mais bon je ne l'ai pas fait mentalement. Je vais tâcher de voir si on ne peut pas de tête à la manière des enfants de la primaire d'antan...

 #9 - 15-05-2014 20:12:15

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

ton esprit est-il bif ?

Ayez, j'ai trouvé !

x=1200m et z=7y/5 avec x, la longueur du lac, y, la vitesse du bateau A, et z la vitesse du bateau B.

 #10 - 15-05-2014 20:59:49

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3767
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

ron esprit est-il vif ?

Bonjour,

Au croisement à l'aller, les deux bateaux ont parcouru collectivement l'équivalent d'une longueur de lac.
Au croisement du retour, les deux bateaux ont collectivement parcouru l'équivalent de trois longueurs de lac.

Or au croisement de l'aller, le bateau de la rive A a parcouru 500 mètres. Donc au croisement du retour, il aura parcouru 3 fois plus, soit 1500 mètres.

Et comme ça correspond à une longueur de lac + 300 mètres, on calcule facilement que le lac mesure 1200 mètres de long.

Pour la question subsidiaire, j'y réfléchis encore...
Klim.

[Edit] Ah ben oui, c'est tout bête : au croisement de l'aller, le bateau de la rive A a parcouru 500 mètres, tandis que le bateau de la rive B a parcouru 1200 - 500 = 700 mètres. Donc leurs vitesses sont dans un rapport 5/7.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #11 - 15-05-2014 22:00:54

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

ton esprit esr-il vif ?

Soient [latex]V_1[/latex], [latex]V_2[/latex] et [latex]L[/latex] la vitesse du bateau 1, la vitesse du bateau 2 et la longueur du lac.

Le bateau 1 et le bateau 2 ont parcourus respectivement [latex]500~m[/latex] et [latex]L-500~m[/latex] depuis le départ jusqu'au premier croisement.

On obtient donc une première équation : [latex]\frac{500}{V_1}=\frac{L-500}{V_2}[/latex].

Le bateau 1 et le bateau 2 ont parcourus respectivement [latex]L-500+300~m[/latex] et [latex]500+L-300~m[/latex] depuis le premier croisement jusqu'au second croisement.

On obtient donc une seconde équation : [latex]\frac{L-500+300}{V_1}=\frac{500+L-300}{V_2}[/latex].

En exprimant le rapport [latex]\frac{V_1}{V_2}[/latex] par le biais de ces 2 équations on montre que : [latex]\frac{500}{L-500}=\frac{L-500+300}{500+L-300}[/latex] soit [latex]L\cdot(L-1200)=0[/latex].

La valeur [latex]L=0~m[/latex] n'étant pas physiquement acceptable on en déduit que [latex]L=1200~m[/latex].

On obtient du même coup la relation entre [latex]V_1[/latex] et [latex]V_2[/latex] en remplaçant [latex]L[/latex] par sa valeur dans une des 2 équations : [latex]\frac{V_1}{V_2}=\frac{500}{700}[/latex].

 #12 - 15-05-2014 23:39:42

Evargalo
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 7

ton rsprit est-il vif ?

Notons les trois inconnues:

- vA vitesse du bateau parti de A (en m/s par ex),
- vB vitesse du bateau parti de B (en m/s par ex),
- x distance entre A et B (en m),

Les deux assertions de l'énoncé donnent le système de 2 équations à 3 inconnues:
{
500 vB = (x-500) vA
(200 + x) vA = (x - 200) vB

Remarque: le triplet (vA, vB, x) est solution, alors (l.vA, l.vB, x) est solution aussi pour tout l>0 raisonnable (on ne veut pas de bateau plus rapide que la lumière), les bateaux se croiseront toujours au même endroit si leurs vitesses sont dans un même rapport, juste un peu plus tôt ou un peu plus tard.

Il s'agit donc de déterminer x et le rapport vA/vB, on peut donc se ramener à deux inconnues en posant, par exemple, vB=1.

Puis
{
x*vA = 500 + 500 vA
x(1-vA) = 200 (vA+1)

{
x*vA = 500 (vA+1)
x*vA = x-200-200 vA

{
700 (vA+1) = x
700 vA = 500

{
x = 1200
vA = 5/7

Le lac est large de 1200 m, le rapport entre les deux vitesses est 5/7, le bateau parti de B étant le plus rapide.

 #13 - 16-05-2014 11:18:59

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Ton esprit est-il vif

Salut !

Question de base :
Soit x la distance parcourue par le second bateau et L la longueur du lac.
* L = 500 + x.
* A la seconde rencontre, le premier bateau aura parcouru D1 = L + 300 = 800 + x.
* Les 2 bateaux ont une vitesse constante, et comme ils auront parcouru à eux 2 la longueur L à leur première rencontre et 3L à leur seconde rencontre : D1 = 3 * 500.
* D'où x = 700 et L = 1200.
Est-ce qu'un modulo ou un calcul de pgcd permettrait d'aller plus vite ?... Je n'en ai pas l'impression vu que dans le cas général, L = 3y-z (respectivement les 2 valeurs données).

Question subsidiaire :

La vitesse étant le rapport de la distance parcourue sur la durée, la première rencontre nous apprend que v1/v2 = 500/700.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #14 - 16-05-2014 12:47:40

Corycos
Habitué de Prise2Tete
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Ton esprit est--il vif ?

Bonne journée à tous

soit:
Va la vitesse du bateau qui quitte la rive A
Vb celle de l'autre bateau
D distance entre A et B
Da totale distance du bateau A
Db totale distance du bateau B

Calculons d'abord leurs vitesses.
Va=500/t
Vb=(D-500)/t

Leurs totales distances jusqu'où ils se croisent deuxieme fois.(à 300 m.de la rive B)

Da=D+300  m.
Db=2xD - 300 m.
Calculons le temps qui passe jusqu' ici.
le temps=Da/Va ou bien = Db/Vb
Alors,
(D+300)/(500/t) = (2D-300)/(D-500)/t
t(D+300)/500 = t(2D-300)/(D-500) (on supprime les 't')
(D+300)x(D-500) = 500 x (2D-300)
D^2-500D+300D-150000 = 1000D-150000
D^2 = 1200D
D=1200 m.

La relation entre les vitesses
Va=500/t
Vb=700/t
Va/Vb=500/700    5/7

 #15 - 16-05-2014 13:12:22

halloduda
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

ton esprit est-im vif ?

Les deux ont mis le même temps pour parcourir 500 et D-500.
idem pour parcourir D+300 et 2D-500 en 3 fois ce temps.
Le reste en découle
D=1200
les vitesses sont dans un rapport 5/7.

 #16 - 16-05-2014 14:02:52

Pomme2Terre
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 41

yon esprit est-il vif ?

Les distances parcourus pendant t1 (jusqu'au premier croisement) sont:

v1 t1 = 500
v2 t1 = L - 500

v2 / v1 = (L-500)/500

Les distances parcourus pendant t2 (jusqu'au second croisement) sont:

v1 t2 = (L-500) + 300 = L-200
v2 t2 = 500 + (L-300) = L+200

v2 / v1 = (L+200)/(L-200)


→ v2/v1 = (L-500)/500 = (L+200)/(L-200)
(L - 500) (L-200) = 500 (L + 200)
L²-700L+100.000 = 500L + 100.000
L² - 1,200 L = 0

L = 1200m   (L=0 est exclue vu que L>500m)

et v2/v1 = 7/5

 #17 - 16-05-2014 18:29:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

ton esprit esr-il vif ?

Je ne pense pas qu'on puisse se passer de poser au moins une équation: Le rapport des distances parcourues par chacun à la 1ère rencontre est égal au rapport des distances parcourues par les mêmes à la 2ème rencontre; Parce que les vitesses sont constantes.
500/(L-500)=(2L-300)/(L+300)
qui donne la solution unique L=1200
Et presque immédiatement le rapport des vitesses entre le plus lent, celui qui part de A, et l'autre le plus rapide: 5/7.

 #18 - 16-05-2014 21:53:06

aerials
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

ton esprit est-il vof ?

Bonjour à tous,
je tente ma chance smile

Soit x la longueur cherchée, xA la position du bateau A et vA sa vitesse (de même pour le bateau B) :

1er tour
xA = vA * t
xB = -vB * t + x

Soit t1 le temps où les bateaux se croisent à 500m de la rive A :
donc en t1 : vA * t1 = - vB * t1 + x = 500
=> vA = 500/t1 et vB = (x-500)/t1
donc il existe k tel que vA = k * vB :
k = 500/(x-500)

2eme tour :
xA = - vA * t + 2x
xB = vB * t - x

soit t2 le temps où les bateaux se croisent à 300m de la rive B :
xA(t2) = xB(t2) = x - 300
=> vA = (x+300)/t2 et vB = (2x-300)/t2
donc il existe k tel que vA = k * vB :
k = (x+300)/(2x-300)

Comme les vitesses sont constantes, k est unique : (x+300)/(2x-300) = 500/(x-500)
D'où x² - 1200x = 0
x = 1200 mètres

pour la relation entre vA et vB on reprend notre k tq vA = k*vB : k=500/(1200-500)
donc vA = 5/7 * vB

Voilà, bon pour le minimum de calculs je suis loin du compte ... roll

 #19 - 17-05-2014 12:11:26

NickBern
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 49

ton esprit esy-il vif ?

Au bout d'un temps t1, le bateau 1 a parcouru 500m   donc v1=500/t1.
À t2, parcouru L+300 (un aller plus les 300)               donc v1 = (L+300)/t2.

De même v2 = (L-500)/t1 = (2L-300)/t2.

Donc t2/t1 = (L+300)/500 = (2L-300)/(L-500)

Alors   (L+300)(L-500)=500(2L-300)
<=>    ...
<=>    L=1200m

 #20 - 18-05-2014 02:58:31

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Ton esprit est-il vfi ?

Salut !

Soit x la distance entre les rives A et B.

Soit v1 la vitesse du bateau partant de la rive A et v2 cellle du bateau partant de la rive B.

Soit t le temps mis pour la première rencontre et t' celui de la seconde rencontre.

On a donc :

v1=500/t        v2=(x-500)/t

v1=(x-500+300)/t'=(x-200)/t'   v2=(500+x-300)/t'=(x+200)/t'

la distance totale lors de la première rencontre est x, alors que la distance totale lors de la seconde rencontre est 2x donc t'=2t.

On résout l'équation 1000t = xt - 200t <=> 1200t = xt <=> x= 1200

On a aussi v2/v1 = (700/1200) / (500/1200) = 7/5
c'est à dire v2=7/5 v1

 #21 - 18-05-2014 13:01:14

Smokette
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 5

ton esprit esr-il vif ?

Bonjour,

Soit Va (resp Vb) la vitesse du bateau partant de la rive A (resp B).
Alors Vb=1.4Va .

 #22 - 18-05-2014 14:26:55

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Ton esprit est-il vif

Soient a et b les vitesses des bateaux ayant resp quitté les ports A et B
X=distance entre A et B

Premier croisement: b/(X-500)=a/500
Deuxième croisement: b/(2X-300)=a/(X+300)

On en déduit X=1200 m

b/a=7/5

 #23 - 19-05-2014 21:40:24

Evargalo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

ton rsprit est-il vif ?

Je pense que Klimrod a trouvé la meilleure démonstration; je m'en veux de n'y avoir pas pensé, même si les calculs ne sont pas franchement effrayants.

 #24 - 19-05-2014 21:54:44

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Ton espri est-il vif ?

Merci à tous pour votre participation. Klimrod (et d'autres) a effectivement trouvé la solution astucieuse décrite dans le livre cité dans l'énoncé.

 #25 - 19-05-2014 22:32:16

Evargalo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

Toon esprit est-il vif ?

Cela n'est pas sans rappeler l'énigme de la mouche et des deux trains, dont des versions plus élaborées ont déjà été proposées:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=9408
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4144

La légende veut qu'elle fut posée à John von Neumann dont la réponse surprit fort l'interrogateur...

La version que je connaissais:

Deux trains s'élancent au même instant de deux villes A et B distantes l'une de l'autre de 100km. Tous deux roulent à une vitesse constante de 50 km/h. Le train parti de A se dirige en ligne droite vers B et réciproquement.

Une mouche posée initialement sur le pare-brise du train parti de A s'est élancée à la seconde même où le train pris son départ et vole à une vitesse constante de 75km. Elle vole en direction de B jusqu'à rencontrer le second train, puis rebrousse chemin jusqu'à rejoindre le premier train, fait demi-tour à nouveau et accomplit ainsi une succession de trajets de plus en plus courts jusqu'au moment où les deux trains se croisent. Elle se pose enfin pour profiter d'un repos bien mérité.

Quelle distance la mouche a-t-elle parcourue ?

 

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