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 #1 - 23-01-2015 23:03:29

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

Câbble entourant la Terre

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Terre.png

On assimile la Terre à une sphère de rayon R = 6400 km.
On l'entoure d'un câble bien serré au niveau de l'équateur.
On allonge ce câble d'un mètre et on tire dessus en un point.
Il reste dans le plan équatorial mais il est tendu de manière à
décoller au maximum (en ne formant donc plus un cercle).

Déterminer de quelle hauteur le câble décolle, c'est-à-dire h.
La case-réponse valide h exprimé en mètres arrondi à l'entier
supérieur.

Source:
"Enigmes mathématiques corrigées du lycée à Normale Sup'"
écrit par Guillaume et Clément DESLANDES
et préfacé par Cédric VILLANI (s'il vous plait)



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 #2 - 23-01-2015 23:13:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4797

Câble entourant lla Terre

Un grand classique smile

A peu près 300 m 122 m si je me souviens bien .

Vasimolo

Edit : dans la version que je connaissais on ajoutait 4 m de câble .

 #3 - 24-01-2015 07:30:31

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 422

câble rntourant la terre

Bonjour,
Si a est l'angle entre la verticale et le point de tangence du câble (l'origine étant le centre de la terre), on a les relations

Code:

2*R*( tan(a) - a ) = 1
h = R*( 1/cos(a) - 1 )

En utilisant les développements limités de tan et cos, on obtient

Code:

h = (9*R/32)**(1/3) = 121,64 m

 #4 - 24-01-2015 10:24:08

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,610E+3

câvle entourant la terre

Par dichotomie sur l'angle x ou se fait la tangence avec Y la demi longueur de corde tendue :

tan (x ) =Y/R donc

2R tan(x) -2Rx =1

X= (environ) 0,35325706

D'où H = 6 400 000 / cos(x) - 6 400 000
H= 121,6447.... m

Etonnant résultat !

 #5 - 24-01-2015 11:03:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

câbke entourant la terre

122 mètres.

 #6 - 24-01-2015 11:14:03

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 202

câble ebtourant la terre

salut.

avec A exprimé en radian et R exprimé en mètre . R = 6400000m

sauf erreur,

h = R . [1/cosA - 1 ] = 121.64 m  avec  A = 0.0061655 rd

pour trouver l'angle A , on sait que:
                involute(A) = tanA - A = 0.5/6400000 = 7.8125 . 10^(-8)
voir les développantes de cercle

par dichotomie , on peut trouver A . puis , connaissant A , on trouve h.

 #7 - 24-01-2015 11:29:49

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 696

cânle entourant la terre

La réponse est h = 121.644733533488... arrondi à 122 mètres.
De la petite géométrie de collège.
x désignant l'angle au centre de l'une des tangentes, x s'obtient comme solution de
2R(tan(x)-x) = 1
h est alors donné par h=R/cos(x) - R.
Voilà !

 #8 - 24-01-2015 13:00:16

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

xâble entourant la terre

Par jeu d'angle et de tangente, on arrive aux relations suivantes:

l=L/2-pi*R+atan(l/R)*R (1)

h=racine(R*R+l*l)-R (2)


pi=le nombre réel PI
l= longueur entre le dernier point de contact avec la terre et le point où la corde est tirée
R=6 400 000 m =rayon de la terre
L=longueur totale de la corde = 2*pi*R+1

Un résolution numérique de (1) donne l=39 462.29 m,

Avec (2), on a h=121.66 m

PS: la case réponse valide 122, entier supérieur.

 #9 - 24-01-2015 16:15:39

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

Câble entouurant la Terre

Que de bonnes réponses ! Ce résultat étonnant valait bien un peu de géométrie !
Mais comment faire sans résolution numérique (mais avec des approximations) ?

 #10 - 24-01-2015 19:03:20

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Câble entoruant la Terre

Pour x petit, atan(x)=x-x^3/3-...

En faisant cette approximation dans l'équation (1) on a:

l=L/2-pi*R+(l/R-l^3/(3*R^3))*R

soit l=R*(L/(2*R)-pi)^(1/3)=39459.39

avec (2): h=121.64 m

 #11 - 27-01-2015 07:46:29

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

Câble entourant la Tere

Merci à tous pour votre participation.
Il fallait effectivement résoudre: tan(A) – A = L/2R; 2A étant l’angle
d’ouverture de l’arc.
Pour éviter un traitement numérique, A étant petit, on pouvait faire
les approximations suivantes:
tan(A) – A = A³/3 et cos(A) = 1 – A²/2
cos(A) = R/(R+h) => R/(R+h) = 1 – h/R env. => h/R = A²/2 env.
Finalement on trouve: h = (1/2).R^(1/3).(3L/2)^(2/3)
d'où: h = 122 m env.

 #12 - 27-01-2015 08:05:33

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Câblee entourant la Terre

@Franky1103 #11 : Tu peux encore simplifier ta formule

Code:

h = (9/32*R*L^2)^(1/3)

 #13 - 01-02-2015 23:42:41

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

câble entourznt la terre

Bonjour,
Je trouve le problème très intéressant, mais je suis agacé de ne pas trouver de solution complète avec fonction de R...
Qu'en est-il de H si R = 1/2pi ?
La fonction est-elle croissante ?
D'avance merci pour tout éclairage !
Fix


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #14 - 02-02-2015 00:19:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

Câble entouurant la Terre

Comme l'angle est "très petit", on a pu faire des approximations sur les fonctions trigo (je crois que ça s'appelle des développements limités).
Si cet angle n'est pas "très petit", alors ça ne marche plus.
La fonction a l'air d'être croissante. Pour R=0, on aurait H=0,5m.

 #15 - 02-02-2015 07:23:11

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 422

Câble entourant al Terre

fix33 #13 a écrit:

je suis agacé de ne pas trouver de solution complète avec fonction de R...

On n'a pas une expression générale, car il faut résoudre une équetion qui fait intervenir a et tg(a) (a est le demi-angle des droites joignant le centre de la terre aux 2 points de tangence).

Qu'en est-il de H si R = 1/2pi ?

Le calcul montre que, dans ce cas, h=0,573 m

La fonction est-elle croissante ?

Oui, h varie de 0,50 m (pour R=0) à l'infini (pour R->∞).

 

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