Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 10-08-2011 22:40:46

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pb MMath1

Quelle est la somme des carrés des sept cent vingt nombres qui s'écrivent dans le système décimal avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et 6, chacun étant utilisé une seule fois dans chaque nombre ?

Plus académiques que d'habitude, PB MATH1 & 2 devraient vous reposer "un peu".



Annonces sponsorisées :

C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 10-08-2011 23:27:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Pb aMth1

Bonjour,
S = S[(100 000 a + 10 000 b + 1 000 c + 100 d + 10 e+ f)²]
S = S[10 000 000 000 a² + 100 000 000 b² + 1 000 000 c² + 10 000 d² + 100 e² + f² + 2 000 000 000 ab + 200 000 000 ac + 20 000 000 ad + 2 000 000 ae + 200 000 af + 20 000 000 bc + 2 000 000 bd + 200 000 be + 20 000 bf + 200 000 cd + 20 000 ce + 2 000 cf + 2 000 de + 200 df + 20 ef]
a², b², c², d², e² et f² vaudront chacun 120 fois 1², 120 fois 2², 120 fois 3², 120 fois 4², 120 fois 5² et 120 fois 6²
ab, ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf, cd, ce, cf, de, df et ef vaudront chacun 48 fois 1x2, 48 fois 1x3, 48 fois 1x4, 48 fois 1x5, 48 fois 1x6, 48 fois 2x3, 48 fois 2x4, 48 fois 2x5, 48 fois 2x6, 48 fois 3x4, 48 fois 3x5, 48 fois 3x6, 48 fois 4x5, 48 fois 4x6 et 48 fois 5x6
S = 10 101 010 101 x 120 x (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) + 2 244 644 220 x 48 x (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 8 + 10 + 12 + 12 + 15 + 18 + 20 + 24 + 30)
S = 10 101 010 101 x 120 x 91 + 2 244 644 220 x 48 x 175
S = 129 158 041 750 920
Bonne soirée.
Frank

Edit: A la suite d'une erreur de raisonnement, j'ai revu ma copie. Est ce bon maintenant ?

 #3 - 10-08-2011 23:35:01

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pb Maht1

Tu en es loin, Franky... hmm


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 11-08-2011 01:57:19

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

pb mzth1

J'ai une méthode qui s’appuie sur le dénombrement des carré des chiffres et des couples de chiffres.

je m'explique :  612453² = (6*10^5+1*10^4+...+3*10^0)² je développe, j'obtiens tous les carrés des chiffres de 1 à 6 multiplié par une puissance de 10, par exemple 6²*10^12, et tous les couples de chiffres sous la forme 2pq*10^x.

ça me donne :
[TeX]5!*10101010101\sum_{n=1}^6 n^2+4!(111111^2-10101010101)\sum_{0\le p<q\le 6} ^{} 2pq
=120*10101010101*6*7*13/6+2*24*2244644220*((1+2+3+4+5+6)^2-6*7*13/6)/2
=120*10101010101*7*13+24*2244644220*((6*7/2)^2-7*13)
=120*10101010101*7*13+24*2244644220*7*50[/TeX]
[calculette]
[TeX]=129158041750920[/TeX]
Je ne sais pas si je me suis planté mais l'ordre de grandeur y est puisque : 720*400000²=115 200 000 000 000

Bon maintenant je vais dormir smile

En vérifiant avec un programme j'ai corrigé une petite erreur, ça m'apprendra à faire des calcul à 2h du mat, cette foi je vais vraiment me coucher smile

 #5 - 11-08-2011 08:28:18

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Pb Math

Considérons la somme des unités: chaque chiffre apparait 5! fois, la somme des chiffres de 1 à 6 vaut 21. Comme c'est pareil pour chaque autre chiffre (dizaines, centaines, etc...) on en déduit que le résultat devrait être 111111*120*21 = 279999720

 #6 - 11-08-2011 08:36:58

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pb Math

@w9Lyl6n: bravo !

@scarta: tu oublies quelque chose...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #7 - 11-08-2011 09:39:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Pb Math

129157831660998

 #8 - 11-08-2011 09:40:31

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

pb mzth1

Tu n'es pas loin, Gwen... wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #9 - 11-08-2011 11:00:06

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Pb Maath1

129 158 041 750 920

 #10 - 11-08-2011 11:08:21

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

pb marh1

looozer vise juste. Bravo !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 11-08-2011 11:17:47

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

bP Math1

C'est chaud!

(a+b+c+d+e+f)² =
a²+b²+c²+d²+e²+f²+2ab+2ac+2ad+2ae+2af+2bc+2bd+2be+2bf+2cd+2ce+2cf+2de+2df+2ef

En prenant, a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6, je trouve la somme de tous les carrés en multipliant chaque double produit par 4!.somme(10^(i+j)) avec i,j=1,2,3,4,5,6 et i=!j et en multipliant les carrés par 5!.somme(10^2i).

Je trouve:

Somme de tout le bazar =

5!.somme(10^2i).(a²+b²+c²+d²+e²+f²)
+
4!.somme(10^(i+j)).(2ab+2ac+2ad+2ae+2af+2bc+2bd+2be+2bf+2cd+2ce+2cf+2de+2df+2ef)

avec
somme(10^2i)
= 1 + 100 + 10000 + 1000000 + 100000000 + 10000000000
= 10101010101

some(10^(i+j))
= 2.1000 + 2.10000 + 4.100000 + 4.1000000 + 6.10000000 + 4.100000000 + 4.1000000000 + 2.10000000000 + 2.1000000000000
= 224464422000

(a²+b²+c²+d²+e²+f²)
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
= 91

(2ab+2ac+2ad+2ae+2af+2bc+2bd+2be+2bf+2cd+2ce+2cf+2de+2df+2ef)
= 700

Il reste alors:

5!.10101010101.91 + 4!.224464422000.700
= 3881305319902920

Je relirai ça pour vérifier mon raisonnement, mais ça m'a l'air pas trop mal pour commencer.

 #12 - 11-08-2011 11:22:28

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pb Mth1

Milou, désolé, mais tu es plutôt froid sur ce coup-là. hmm


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #13 - 11-08-2011 11:45:08

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Pb Mtah1

129158041750920

 #14 - 11-08-2011 11:47:18

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

ob math1

Oui, Gwen ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 11-08-2011 11:47:54

elnabo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 5

pn math1

Je dirais que cela fait 129158041750920

 #16 - 11-08-2011 11:50:26

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

pb mayh1

elnabo, c'est bon pour celle-ci ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 11-08-2011 11:56:20

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Pb Matth1

Reposer, reposer, c'est vite dit ... smile

On cherche (pour écrire une jolie formule):
[TeX]\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_6}(10^5\sigma(1)+10^4\sigma(2)+10^3\sigma(3)+10^2\sigma(4)+10^1\sigma(5)+\sigma(6))^2[/TeX]
où [latex]\mathfrak{S}_6[/latex] est le groupe symétrique de l'ensemble {1,2,3,4,5,6}. [latex]\sigma[/latex] représente un permutation de [latex]\mathfrak{S}_6[/latex].

Pour plus de commodité, je vais noter a,b,c,d,e,f les valeurs [latex]\sigma(1), ...\sigma(6)[/latex] et omettre [latex]\sigma \in \mathfrak{S}_6[/latex] pour les sommes, ceci étant toujours sous-entendu.

C'est la partie la plus délicate: on développe le carré, on factorise ce qui est constant. Les 2 constantes viennent des puissances de 10.
[TeX]\sum(10^5a+10^4b+10^3c+10^2d+10e+f)^2=10^{10}\sum{a^2}+10^8\sum{b^2}+10^6\sum{c^2}+10^4\sum{d^2}+10^2\sum{e^2}+\sum{f^2}+
2\Bigl{10^9\sum{ab}+10^8\sum{ac}+10^7\sum{ad}+10^6\sum{ae}+10^5\sum{af}+10^7\sum{bc}+...\Bigr}
[/TeX]
Il faut maintenant voir que chaque chiffre apparait 120 fois à chaque position et que donc les sommes des carrés sont les mêmes pour chaque puissance de 10. Le symbole 'a' (remplaçant pratique de [latex]\sigma(1)[/latex]) se voit attribuer lors de la somme globale, 120 fois chacun des chiffres de 1 à 6.
Il en est de même pour les doubles carrés.
Un autre façon de le dire est que:
[TeX]\sum{a^2}=\sum{b^2}=...=\sum{f^2}=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_6}\sigma(1)^2[/TeX]
et
[TeX]\sum{ab}=\sum{ac}=...=\sum{ef}=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_6}\sigma(1).\sigma(2)[/TeX]
Donc:
[TeX]\sum(10^5a+10^4b+10^3c+10^2d+10e+f)^2=
(\sum{a^2})*(10101010101)+2(\sum{ab})*(1122322110)[/latex] (1)

Il reste à calculer [latex]\sum{a^2}[/latex] avec a représentant 120 fois le chiffre 1, 120 fois le chiffre 2, ...
Donc [latex]\sum{a^2}=120(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)=10920[/TeX]
Et [latex]\sum{ab}[/latex] avec a qui vaut 120 fois chaque chiffre et pour chaque chiffre, b qui vaut 24 fois les 5 autres chiffres.

Donc [latex]\sum{ab}=24(1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+2.1+2.3+...)[/latex]
Chaque membre apparait 2 fois (1x2 et 2x1), ...

Donc [latex]\sum{ab}= 48(1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+2.3+2.4+2.5+2.6+3.4+3.5+3.6+4.5+4.6+5.6)=8400[/latex]

Finalement en utilisant (1) on trouve que la somme recherchée vaut:
129 158 041 750 920

Merci pour cet exercice de calcul sur les groupes symétriques smile

 #18 - 11-08-2011 12:05:12

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

pb mayh1

La solution de rivas fera office de correction. tongue


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 11-08-2011 14:44:32

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

pb lath1

Je l'ai un peu completée alors. Merci de la référence smile

 #20 - 12-08-2011 14:33:21

snapy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 33

pn math1

Veuillez pardonner ma méthode pas très subtile... je me suis contentée de programmer une petite fonction qui a fait le travail à ma place.
Je trouve : [latex] 1,271493.10^{14}[/latex]

 #21 - 12-08-2011 14:38:51

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pb Matth1

Ah oui ? Mais ce n'est pas la bonne réponse. hmm


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #22 - 12-08-2011 14:59:05

snapy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 33

ob math1

Hum, désolée...
Ca va ça : [latex]1,291580.10^{14}[/latex] ?

Si c'est pas ça, j'arrête d'écrire des bêtises et je cherche avec mon cerveau, promis !

 #23 - 12-08-2011 15:45:44

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pb Math

C'est mieux, mais... ce n'est encore pas ça. Cherche avec ton cerveau, donc. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #24 - 12-08-2011 16:50:03

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

pb mayh1

Un rapide calcul mental permet de trouver :

129158041750920

big_smile

Est il possible de le faire "à la main" ?

 #25 - 12-08-2011 17:06:13

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

pb mzth1

fabb54 a écrit:

Un rapide calcul mental permet de trouver :
************ (edit MthS-MlndN : ne donne pas la réponse, voyons !)
big_smile
Est il possible de le faire "à la main" ?

Ton cerveau est très entraîné, alors... et oui, il est possible de trouver ce résultat "à la main". N'est-ce pas, rivas ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Pb Math2 par SaintPierre
10-08-2011 Enigmes Mathématiques
15-04-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 73 par Vasimolo
27-02-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
May day , mes dés ... par Vasimolo
12-06-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
24-02-2011 Enigmes Mathématiques
06-02-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Un cycle rationnel par portugal
04-01-2016 Enigmes Mathématiques
24-10-2009 Enigmes Mathématiques
13-06-2010 Enigmes Mathématiques

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Quelle est la somme des carres des 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les chiffres 1 2 3 4 5 6 chacun etant utilise une seule fois dans chaque nombre? (5) — Il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les chiffres (5) — Il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal (4) — Une somme de 720 carres (4) — Math1 (3) — 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les chiffres 123456 (3) — Reponses de la page 31 du math1 (2) — (2) — Une somme de 720 carres. il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les (2) — Une somme de 720 carres. il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les chiffres (2) — 08 ce math1 (2) — Il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les chiffres 12345 et 6 (2) — Une somme de 720 carres programme (1) — Enigme a 1 000 000 (1) — Il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les chiffres 1 2 3 4 5 et 6 chacun etant utilise une seule fois dans chaque nombre. (1) — (1) — Systeme de math1 2 (1) — Comment on fait les puissance de 10 sur pc (1) — Il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les chiffres 1 2 3 4 5 6 (1) — Il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme decimal avec les chiffres 12345 et 6 chacun etant utilise une seule fois dans chaque nombre (1) — Il y a 720 nombres qui s ecrivent dans le systeme (1) — Il y a 720 nombres dans le systeme qui s ecrivent dans le systeme decimal (1) — Somme des nombres qui s ecrivent avec les memes chiffres (1) — 2011_ce_math??? (1) — (1) — Le produit des trois premiers nombres (1) — Devinette j ai un 7 a la position des dizaine j ai le meme chiffre a la position des centaine et des unite et la somme de ces 2 chiffre est 8 (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete