Enigmes

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 #1 - 22-05-2010 18:48:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâyeau 8

Encore une histoire de gâteau nappé tongue

Pour tromper l'ennui en attendant jeudi , j'ai ressorti mon gabarit ( voir gâteau 5 ) et un gâteau avec un glaçage au chocolat . J'ai découpé une part que j'ai retournée puis recollée au gâteau ( à l'envers donc ! ) . Toujours en utilisant le gabarit , j'ai découpé une seconde part à la suite de la première , je l'ai retournée aussi avant de la réintégrer au gâteau ...

http://img21.imageshack.us/img21/8289/chocolat200.jpg

J'avais choisi sur mon gabarit un angle de 200° et curieusement , après avoir découpé et retourné quatre parts , j'ai retrouvé mon gâteau comme neuf yikesyikes

Comment expliquer le phénomène ? Et si j'avais choisi un angle de 108 , [latex] \sqrt{94}[/latex]ou [latex]\pi[/latex] degrés ?

Bonne dégustation et bonne digestion:)

Vasimolo



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 #2 - 22-05-2010 19:43:17

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3057
Lieu: Au sud du Nord

fâteau 8

ça se mange un gâteau au chocolat, on ne joue pas avec la nourriture big_smile


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 24-05-2010 13:38:09

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Gâteeau 8

on pourra toujours le faire avec n'importe quel nombre entier et le nombre de retourment est [latex]ppcm(a;360)\over a[/latex] où a et l'angle du gabarit

avec a=200 ppcm (360;200)=1800 et donc 1800/200=9 donc au bout de 9 retournements on arrive à la coupe de départ

avec a=108 ppcm(360;108)= 1080 et donc  1080/108=10 donc au bout de 10 retournement

et avec des nombres irrationnels on ne pourra pas

 #4 - 24-05-2010 17:29:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea 8

Il n'y a pas d'erreur sur mon exemple , pour un gabarit de 200° , après seulement quatre retournements , le gâteau reprend son allure initiale !

Vasimolo

 #5 - 25-05-2010 14:55:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteau 88

Quand ton pâtissier arrête de te prendre la tête, tu continues tout seul, c'est ça ? lol Je ne vois pas comment attaquer celle-là, désolé...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 26-05-2010 15:00:29

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Gâtteau 8

Si on prend un gabarit de Pi + Alpha (soit entre 1/2 tour et 1 tour), que nous noterons P + A, avec A compris entre 0 et P, on peut voir au cours des retournements successifs l’état du gateau (chaque secteur sera identifié comme Choco ou Brûlé suivant si il a le nappage au dessus ou au dessous):

Etat initial 0 : Choco sur [0 ; 2P]
On découpe la part de 0 à P+A pour atteindre l’Etat 1 : (après retournement) Brûlé sur [ 0 ; P + A ], Choco sur [ P + A ; 2P ]
On découpe la part de P + A à 2P+2A=2A pour atteindre l’Etat 2 : Choco sur [P + A ; P+3A] ; Brûlé sur [P+3A ; 2P] et Brûlé sur [2P ; P + A]. Soit Choco sur [P+A ; P+3A] et Brûlé sur [P+3A ; P+A]
La formule précédente est valable si P + 3A – 2P < 2A ce qui est vrai si A est dans [0 ;P].

On doit découper la part de 2A à P + 3A pour atteindre l’Etat 3 : on s’assure que : 2A < P + A < P+3A pour finalement avoir : Brûlé sur [2A ;4A], Choco sur [4A ; P+3A] et Brûlé sur [P+3A ;2A], soit Choco sur [4A ; P+3A] et brûlé sur [P+3A ;4A]

On découpe la part de P + 3A à 4A pour atteindre l’état 4 : on retourne donc la partie brûlée et on trouve l’état initial !

Donc en 4 retournements, on retrouve le gâteau comme neuf (lardée de 4 coups de couteau).
Et ça marche pour toute valeur de A !!! Donc pour A = 20° (gabarit de 200°).


Pour un gabarit A inférieur à Pi, il y a différents cas de figures :
Soit n le nombre de coups nécessaires pour faire au moins un tour.
Appelons B l’angle résiduel : B = n A – 2 Pi.

Si B = 0 : les n premiers retournements vont retourner tout le gâteau et les n suivants vont le remettre à l’endroit.

Si B <>0 : les n premiers coups vont retourner tout le gâteau moins le secteur [0 ;B]
Si B < A/2 : les n coups suivants vont remettre le gâteau à l’endroit, sauf le dernier secteur retourné [2B – A ;B] sur lequel il reste en Brûlé [2B – A ; 4B – A].

Et là, j’en ai marre même si l’intuition, dont je me méfie, me souffle qu’ en poursuivant on risque de couper ce secteur en 2 deux puis en plusieurs morceaux de fait que le gâteau ne retrouve jamais sa forme initiale (surtout si A n’est pas un multiple entier de B).

Le cas B > A/2 est également prise de tête !!!!

 #7 - 26-05-2010 16:43:03

rivas
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

GGâteau 8

Je n'ai pas trouvé de réponse générale.
Le cas de l'énoncé avec un gabarit d'angle [latex]180+\alpha[/latex] fonctionne pour tout [latex]\alpha[/latex] tant que [latex]4\alpha \le 180[/latex]. En 4 coups, on retombe sur le gâteau initial (facile à voir en écrivant les angles).
Evidemment si [latex]\alpha[/latex] divise 360° la solution est triviale en [latex]\frac {720} \alpha[/latex] coups.
Si le gabarit est d'angle [latex]180+\alpha[/latex], je trouve qu'en 10 coups, on revient au gâteau initial si [latex]10\alpha\le180[/latex].

J'ai commencé à regarder les autres cas (en particulier les angles aigus), mais ne trouvant pas de façon générique simple ça devient vite trop complexe.
Il me semble pourtant qu'on retombe toujours sur le gâteau de départ après suffisamment de "tours" de découpe mais cela reste intuitif et pas tellement scientifique...

 #8 - 26-05-2010 19:21:24

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 88

J'avoue que ce gâteau 8 est un peu dur à avaler mais j'aimerais tant que quelqu'un trouve smile

Un exemple un peu affolant avec un gabarit de 108° :

http://img294.imageshack.us/img294/3306/108complet.jpg

On voit un peu mieux après le choix de quelques positions clés :

http://img59.imageshack.us/img59/3462/108tri.jpg

Bon courage smile

Vasimolo

PS : désolé pour la médiocre qualité des illustrations sad

 #9 - 26-05-2010 23:11:31

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gââteau 8

Si ça ne vous dérange pas trop , je vais laisser le problème ouvert encore un moment ( demain nous aurons d'autres crèmes à fouetter big_smile )

Vasimolo

 #10 - 12-06-2010 19:54:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtau 8

Bon le problème a assez duré smile

Curieusement la nature de l'angle importe peu , un angle de [latex]\pi[/latex] ou [latex]\sqrt{38}[/latex] degré ne pose pas plus de problème que 100° ou 80° .

Distinguons quand même deux cas pour l'angle â ( supposé mesuré en degrés ) :

1°) Si k = 360 / â est entier , après 2k retournement , le gâteau a repris son aspect initial .

2°) Si 360 / â n'est pas entier , on note k la partie entière de 360 / â . Pour simplifier la lecture on prendra â=108° donc k=3 on pourra ainsi suivre sur le dessin du #8 , mais tout ce qui suit vaut pour tout angle smile

- On fait une première coupe dans une direction dite de base .

- On retourne 3 parts puis on fait pivoter le gâteau de 36° pour amener la dernière coupe sur la position de base . On est donc ramené en position de départ avec au début un petit morceau nappé de 36° .

- On retourne à nouveau 3 parts puis encore une petite rotation de 36° . A nouveau la position initiale mais maintenant deux parts de 36° sans nappage et distantes de 108° .

- On fait ainsi apparaître en fin de "cycle" 1 ; 2 ; 3 ; 4 parts de 36° dont le nappage est différent du reste du gâteau . Plus précisément les angles des colorations : 36 , 72 , 36 , ... , 72 , 36 .

- Continuer les retournements équivaut à faire machine arrière donc après c'est-à-dire que l’on fait disparaître une à une les petites parts de 36° et après  2k(k+1)=24  retournements le gâteau a retrouvé sa virginité ( en apparence en tout cas ) .

J'ai personnellement été bluffé par ce problème , les retournement corrigeants de façon surprenante les défauts de l'angle choisi .

Indigeste mais tellement beau cool

Vasimolo

 

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