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 #1 - 07-05-2010 18:48:08

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

cercme trigonométrique

Bon alors voilà quelques jours que j'ai commencé un cours sur les cosinus et les sinus ( pas du nez ). Etant un amoureux du cercle trigonométrique voici une énigme "difficile" je pense qui ne nécéssite pas de connaissances superieures à la seconde.

Ennoncé : Sur le cercle trigonométrique, comment placeriez-vous [latex]\dfrac{pi}{9}[/latex]?
Pour le placer il suffirait de prendre son rapporteur et de mesurer 20° . Alors pour compliquer tout ça je vous demande de le placer uniquement avec un compas, une règle non graduée et une équerre.

Cercle trigonométrique

Bonne chance et bonne réflecxion!! smile



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 #2 - 07-05-2010 19:56:08

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Cercel trigonométrique

Ce problème a déjà été abordé ici :

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4650

C'est impossible en restant dans les standards des constructions à la règle et au compas.(l'équerre n'apporte rien sauf si elle a des angles de 70 et 20° yikes)

Une astuce est de considérer que l'on peut plier, et ça revient à faire la trisection d'un angle de 60 ° par origami, sujet déjà abordé aussi je crois :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Trisection_de_l%27angle


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #3 - 08-05-2010 11:10:39

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Cercle trigoométrique

Pour construire un ennéagone régulier dont un des côtés est le segment AB, de longueur u, on procède ainsi :

Appelons D1 la droite contenant A et B.
Tracer les cercles C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'énnéagone.
Tracer la droite D2 passant par E et F.
Tracer le cercle C3 de centre F passant par A.
Tracer les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B.
Marquer la règle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le côté du triangle équilatéral.
Faire glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'à ce que Y se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3.
Tracer le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan d'origine D5 contenant A.
Tracer la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K.
Tracer le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J.
C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d'origine D1 contenant K.
C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que A ou B, respectivement en L, M et N.
Tracer la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d'origine D5 contenant N.
Le polygone ABNPGOLJM est l'ennéagone recherché.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b7/Enn%C3%A9agone.png
L'angle que l'on cherche est l'angle AKB

 #4 - 08-05-2010 14:53:32

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

cercle trigonométriquz

Une bonne réponse celle de shaff60 excusé moi je me suis trompé. wink
En revanche je suis un peu ennuyé avec la réponse de gabrielduflot!!! yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 10-05-2010 10:11:45

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1533

Cerlce trigonométrique

Placer ce point, ça revient à dire qu'on peut construire un polygone régulier à 18 cotés (en effet, les points sur le cercle situés à 0, pi/9, 2pi/9, 3pi/9, ..., 17 pi/9 sont les sommets de ce polygone).

Théorème de Gauss-Wantzel — Un polygone à n côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents.
Un nombre de Fermat premier est, dans l'état actuel de nos connaissances mathématiques, un nombre de cette liste:3, 5, 17, 257, 65537
Ici, 18 = 2*3*3, les facteurs premiers ne sont pas tous différents.
Conclusion: la construction d'un polygone régulier à 18 cotés est impossible et donc la construction de l'angle pi/9 aussi (du moins, à la règle et au compas).

Le coup de l'équerre me laisse perplexe: si elle est graduée, alors on peut construire cet angle (mais dans ce cas, une règle graduée aurait suffit).
Si elle ne l'est pas... j'ai toujours pensé que règle et compas suffisaient à eux deux à faire tout ce que règle, compas et équerre permettent à eux trois. Serait-ce une fausse idée reçue?

 #6 - 10-05-2010 11:22:49

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1772

Cercle trgonométrique

Bonjour

Pi/9 n'est pas "constructible" à la règle non graduée et au compas ....

Bonne journée


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #7 - 10-05-2010 18:59:19

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Cerclle trigonométrique

Si tu veux tu construit un enneagone régulier a la regle et au compas je l'ai prise sur wikipedia....

 #8 - 18-05-2010 08:07:32

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

cercle trigonométriquz

gabrielduflot a écrit:

Pour construire un ennéagone régulier dont un des côtés est le segment AB, de longueur u, on procède ainsi :

Appelons D1 la droite contenant A et B.
Tracer les cercles C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'énnéagone.
Tracer la droite D2 passant par E et F.
Tracer le cercle C3 de centre F passant par A.
Tracer les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B.
Marquer la règle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le côté du triangle équilatéral.
Faire glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'à ce que Y se trouve sur le cercle C3, en un point H.
La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3.
Tracer le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan d'origine D5 contenant A.
Tracer la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K.
Tracer le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J.
C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d'origine D1 contenant K.
C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que A ou B, respectivement en L, M et N.
Tracer la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d'origine D5 contenant N.
Le polygone ABNPGOLJM est l'ennéagone recherché.
L'angle que l'on cherche est l'angle AKB

Marquer la règle et la faire pivoter pour reporter ensuite la marque, c'est un pareil qu'utiliser une règle graduée, non ?


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #9 - 18-05-2010 08:27:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1533

Cecle trigonométrique

En effet, marquer une règle revient à la graduer, avec une seule graduation qui représente l'unité de mesure, mais ça reste une règle graduée quand même.

 

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