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 #1 - 06-10-2010 21:03:49

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Calcul preemier

Pourriez vous me démontrez que tout nombre premier est égale à la différence de deux carrés.

Vous ne rêvez pas, montrez que [latex]p = a^2-b^2 = (a-b)(a+b)![/latex]



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 #2 - 06-10-2010 21:48:36

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Calclu premier

ça marche à condition que p soit différent de 2, non?
Supposons p premier plus grand que 2. p est donc impair et il existe donc un entier b tel que:
[latex]p =2b+1=(b+1)^2-b^2[/latex].
En posant a=b+1, on obtient:
[latex]p=a^2-b^2[/latex].

 #3 - 06-10-2010 21:57:16

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1492

Calcul premieer

Pourriez vous me démontrez que tout nombre premier est égale à la différence de deux carrés.

Non. En revanche, je peux prouver que c'est faux smile
En effet, 2 est premier, et la plus petite différence de carrés non nuls qui existe est 3 (2²-1²)

Par contre, je peux montrer que c'est bien le cas pour tout nombre premier impair big_smile
En effet, tout nombre impair est la différence de 2 carrés consécutifs, vu que la différence entre deux carrés consécutifs est (n+1)²-n² = 2n+1. C'est aussi valable pour les nombres premiers impairs, du coup.
Par exemple, 7 = 2*3+1, et 4²-3²=7

CQFD (en mieux big_smile big_smile big_smile)

 #4 - 07-10-2010 00:17:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Calcul rpemier

Tout nombre premier, sauf 2, est un nombre impair (de la forme [latex]p=2k+1[/latex]). Alors :
[TeX](k+1)^2-k^2 = (k+1-k)(k+1+k) = 2k+1 = p[/TeX]
Donc tout nombre premier impair peut être écrit comme la différence de deux carrés au moins d'une façon.

Ce résultat a déjà été exposé par moi-même, il y a un peu moins de vingt-quatre heures, ici.

Quant à 2, euh... [latex]1^2 - i^2[/latex] ? lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 07-10-2010 04:24:36

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1772

Calcul prmeier

Bonjour

par définition de p premier n'admettant que 1 et p comme diviseurs
l'énoncé revient à trouver a et b tels que
(a+b) = p et (a-b) = 1

(dans ce sens car a et b sont entiers naturels)


soit p = 2a-1 i.e.

a = (p+1)/2 et donc b = (p-1)/2
(validité à partir de p=3)

Exemple : 5 = 3² - 2²
oh c'est magique !


Bonne journée


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #6 - 07-10-2010 08:06:36

giordano27
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 5

Calcu lpremier

Tout nombre impair est la différence de 2 carrés :
2k+1 = (k+1)² - k²
La propriété est donc vraie pour tout nombre premier impair.
Mais pas pour 2 !

 #7 - 07-10-2010 09:11:52

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

calcul premirr

l'indice est ultra violent ^^.
On cherche donc si il existe a, b avec a-b = 1 et a+b = p vu que p est premier.
On trouve a = (p+1)/2 et b =(p-1)/2 si p est impair. La différence des carrés donne trivialement p.
Pour p=2, on a 2a=3, il n'y a pas pas de solution (entière)

 #8 - 07-10-2010 17:57:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

calcul premoer

Bonsoir smile

Si p est impair p=2b+1 et en posant a=b+1 alors a²-b²=2b+1=p .

Si p=2 le résultat est faux en effet (a+b)(a-b)=2 est impossible le membre de gauche étant impair ou divisible par 4 .

Vasimolo

 #9 - 07-10-2010 20:48:34

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 949

Calcul prremier

Non, puisque ça ne marche pas pour 2 big_smile

À part ça, tout nombre impair (2k+1) vaut (k+1)²-k²...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #10 - 07-10-2010 20:58:03

Neil
Visiteur

Caclul premier

Mis à part 2, un nombre premier est impair. Ainsi l'ensemble des nombres impairs positifs contient en son sein l'ensemble des nombres premiers, or K=( (a+1)^2 - a^2 ), lorsque a appartient à l'ensemble des entiers positifs ou nul, représente justement l'ensemble des nombres impairs:
pour a=0, K=1
pour a=1, K=3
pour a=2, K=5
pour a=n, K=2n+1

 #11 - 07-10-2010 23:12:39

bluefox8
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 11

Calcul premieer

si P est premier alors a-b ou a+b vaut 1.
Ce ne peut être que a-b =1
donc a= b+1
et p= (a-b)(a+b) s'écrit:
p=2b+1
tout nombre premier étant impair, on aura toujours une valeur de b qui satisfait cette équation
ex: 13 = 2*6 +1 = 7²-6²
29= 2*14+1 = 15² - 14²
etc...

En fait, tout nombre impair peut s'écrire sous la forme a²-b²

 #12 - 08-10-2010 00:10:00

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Calcul pemier

Bonsoir, amusant, je m'y suis laissé prendre 2 minutes smile

L'énoncé ne précise PAS que les carrés sont entiers...
Si on impose que les carrés sont entiers, la propriété n'est PAS vrai pour tous les nombres premiers smile. Cela ne marche pas pour 2.

p=a^2-b^2. On peut supposer sans réduire la généralité du problème que a et b sont positifs.

(a-b)(a+b)=p
Comme p est premier et a+b > a-b (b positif), on a forcément a+b=p et a-b=1 que l'on résout simplement en a=(p+1)/2 et b=(p-1)/2.

Et on constate bien que cela ne marche pas pour p=2 si on cherche a et b entiers.

 #13 - 09-10-2010 19:12:38

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Calcul prmier

Je pense que c'est impossible.
Contre exemple: aucune difference de 2 carrés peut faire 2
sauf si on prend les nombres irreels. 1^2 - i^2 = 2...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #14 - 09-10-2010 22:38:42

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Calcu lpremier

Tout a était dit. Bravo à tous les participants qui se partagent le podium.


The proof of the pudding is in the eating.
 

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