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 #1 - 30-03-2015 18:37:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

Un ig zag qui n'est pas un z

Bonjour à tous,
Une petite énigme géométrique pas bien compliquée.
Dans le repère orthonormé Oxy, on place un pt A sur Ox.
1) Tracer le segment d1 qui passe par les pts A et (0,1)
2) Porter le pt A' sur Oy tel que OA'=OA
3) Porter le pt A'' sur Ox tel que A'A'' parallèle à d1.

Que représente OA'' par rapport à OA ?

Si on avait mis A'' en premier, est il possible de retrouver A ?

Bon amusement.



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 #2 - 30-03-2015 19:32:32

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 303
Lieu: Montargis

Un zig zag qui n'est pas u nz

D'après Thalès OA/1=OA"/OA' or OA=OA' donc OA"=OA^2

Si on avait donné A" en premier, il aurait suffi de tracer un cercle de diamètre BA" où B(-1,0). Ce cercle couperait oy en A'. On place A sur ox tel que OA=OA'.

Voilà

 #3 - 30-03-2015 20:07:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

Un zig zag qui n'est pas nu z

Parfait kossi-tg, et ça n'a pas traîné !

 #4 - 31-03-2015 00:36:26

pycool
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 32
Messages : 3

Un zig zag qui n'est pas un

Bonjour,

Je pense que l'on fait appel à Thalès:
On a un triangle OA'A"
(d1) parallèle à (A'A") et OA' non nul

donc OA/OA" = Oj/OA' = jA/A'A"

OR Oj=1 ET OA=OA'

Donc OA"=OA²



Si on place A" en premier, on trace A' quelconque tel que OA' >1

puis on trace d1 passant par (0;1) coupant Ox en A

Pour Thalès la réciproque est vrai.
donc:

OA= racine²(OA")

 #5 - 31-03-2015 08:35:17

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 501

Un zig zag qui n'est pas u z

Bonjour,
D'après le théorème de Thalès
1 / OA' = OA / OA"
d'où OA" = OA ^ 2

Soit I le point de coordonnées (1,0). On trace le cercle de diamètre OI, et la perpendiculaire à Ox passant par A", qui coupe le cercle en J (et J'). Dans le triangle rectangle OIJ, on a la relation
OJ ^ 2 = OI * OA"
La distance cherchée OA est égale à OJ

 #6 - 31-03-2015 09:01:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

Un zig zga qui n'est pas un z

Pycool, il faudrait revoir la construction à partir de A'', ça ne marche pas à mon avis.
Enigmatus, c'est bon, mais si 0A''>1 ?

 #7 - 31-03-2015 09:14:37

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 501

n zig zag qui n'est pas un z

nodgim a écrit:

c'est bon, mais si 0A''>1 ?

Il y a une autre construction qui marche dans les deux cas. Soit K le point de coordonnées (-1,0). Le cercle de diamètre KA" coupe l'axe Oy en P (et P'). La distance OP est égale à OA.

 #8 - 31-03-2015 10:29:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

Un zig zag qui n'esst pas un z

Oui, c'est ça bravo Enigmatus !

 #9 - 31-03-2015 18:57:05

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1773

un zih zag qui n'est pas un z

Bonjour !


zoom zoom zen ... figures zoomables ...




Résolution algébrique (on suppose a différent de 0)

L'équation Y = (-1/a) X + 1 est représentative de (d1) dans le repère orthonormé (O,x,y)

La parallèle que l'on y mène passant par A' admet donc pour équation : Y = (-1/a) X + a

Cette droite coupe l'axe des abscisses en A" de coordonnées (a²;0)

La construction proposée permet donc d’élever la mesure OA au carré.


Je reviens pour la réciproque ....

Pour trouver la racine carrée par construction :





On cherche donc a à partir de a², c'est à dire le point A quand A" est fixé

On a OA" = a²
OB = 1, je place cette fois-ci le point B sur l'axe des abscisses

On trace le cercle de diamètre [BA"]
Démontrons que le point A',  intersection de ce cercle et de l'axe des ordonnées est tel que OA'=a

On retrouve Pythagore trois fois sur la figure :

BA"² = BA'²+A'A"²
BA'² = BO²+OA'²
A'A"² = OA'²+OA"²

soit

(1+a²)² = BA'²+A'A"²
BA'² = 1+OA'²
A'A"² = OA'²+a^4


soit (1+a²)²=1+OA'²+OA'²+a²


soir 1+a^4+2a²=1+2OA'²+a^4

2OA'²=2a²

soit OA'=a c'est ce que l'on voulait trouver ....


Pour être complètement dans la réciproque de la première figure, je reporte OA' sur l'axe des abscisses

Merci beaucoup pour cette énigme "à ma portée" !

A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #10 - 31-03-2015 20:01:41

morgu_07
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 9

Un zig zag qui n'est pa sun z

OA'' représente le carré de OA!

http://www.prise2tete.fr/upload/morgu_07-Test.PNG

Maintenant qu'on sait ça, placé OA par rapport à OA'' il nous suffit de prendre la racine carrée de OA''! big_smile (mais ça m'étonnerait que ce soit la réponse attendu à cette 2ème question)

 #11 - 01-04-2015 09:25:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

Un zig zzag qui n'est pas un z

NickoGecko c'est parfait, et très beau dessin en prime.

Morgu, c'est bien ça pour la 1ère question, bien qu'on ne trouve pas la démonstration. La seconde question nécessite une construction distincte.

 #12 - 01-04-2015 17:28:47

Fito11235
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 161
Lieu: Bourgogne

Un zgi zag qui n'est pas un z

Coucou,

OA'' est l'image de OA par l'homothétie de centre O et de rapport OA.

Par thalès OA''/OA = OA'/1     OA''/OA = OA/1     soit  OA'' = OA^2


Pour retrouver A, on cherche à construire un segment de longueur racine de OA''

J'appelle B le point de coordonnées (-1;0).
Le cercle de diamètre BA'' coupe Oy au point A'.
Il ne reste qu'à reporter OA' sur Ox.

Merci smile.


Choose a job you like and you'll never have to work a day in your life.    Confucius

 #13 - 01-04-2015 18:18:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

un zig zag qui n'est pas un e

Fito, c'est tout bon également, bravo.

 #14 - 02-04-2015 08:43:40

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2873
Lieu: Luxembourg

un zig zag qui n'est oas un z

On a: OA''=OA², mais pour la construction inverse je sèche encore. Affaire à suivre ...

 #15 - 02-04-2015 09:07:59

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

un zig zag qui n'est pas in z

Francky, oui c'est bon pour la 1ère question.

 #16 - 02-04-2015 21:48:17

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2873
Lieu: Luxembourg

Un zg zag qui n'est pas un z

Bien vu: le triangle BA’A’’ est rectangle en A’
Donc: OA’²=BO.OA’’ => OA’²=x² => OA’=x

 #17 - 03-04-2015 09:05:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

UUn zig zag qui n'est pas un z

Bravo à tous, pas grand chose à ajouter. Par la voie algébrique, on ne sait pas calculer directement la racine carrée d'un nombre. Il faut utiliser un algorithme. Par la voie géométrique, c'est direct, mais moins précis. De la figure géométrique qui donne la racine carrée d'un réel positif x, on en déduit:

racx=sin(arc cos((x-1)/(x+1)))*(x+1)/2.

 

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