Enigme Un zig zag qui n'est pas un z @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous,
Une petite énigme géométrique pas bien compliquée.
Dans le repère orthonormé Oxy, on place un pt A sur Ox.
1) Tracer le segment d1 qui passe par les pts A et (0,1)
2) Porter le pt A' sur Oy tel que OA'=OA
3) Porter le pt A'' sur Ox tel que A'A'' parallèle à d1.

Que représente OA'' par rapport à OA ?

Si on avait mis A'' en premier, est il possible de retrouver A ?

Bon amusement.

kossi_tg · #2

D'après Thalès OA/1=OA"/OA' or OA=OA' donc OA"=OA^2

Si on avait donné A" en premier, il aurait suffi de tracer un cercle de diamètre BA" où B(-1,0). Ce cercle couperait oy en A'. On place A sur ox tel que OA=OA'.

Voilà

nodgim · #3

Parfait kossi-tg, et ça n'a pas traîné !

pycool · #4

Bonjour,

Je pense que l'on fait appel à Thalès:
On a un triangle OA'A"
(d1) parallèle à (A'A") et OA' non nul

donc OA/OA" = Oj/OA' = jA/A'A"

OR Oj=1 ET OA=OA'

Donc OA"=OA²

Si on place A" en premier, on trace A' quelconque tel que OA' >1

puis on trace d1 passant par (0;1) coupant Ox en A

Pour Thalès la réciproque est vrai.
donc:

OA= racine²(OA")

enigmatus · #5

Bonjour,
D'après le théorème de Thalès
1 / OA' = OA / OA"
d'où OA" = OA ^ 2

Soit I le point de coordonnées (1,0). On trace le cercle de diamètre OI, et la perpendiculaire à Ox passant par A", qui coupe le cercle en J (et J'). Dans le triangle rectangle OIJ, on a la relation
OJ ^ 2 = OI * OA"
La distance cherchée OA est égale à OJ

nodgim · #6

Pycool, il faudrait revoir la construction à partir de A'', ça ne marche pas à mon avis.
Enigmatus, c'est bon, mais si 0A''>1 ?

enigmatus · #7

nodgim a écrit:
c'est bon, mais si 0A''>1 ?

Il y a une autre construction qui marche dans les deux cas. Soit K le point de coordonnées (-1,0). Le cercle de diamètre KA" coupe l'axe Oy en P (et P'). La distance OP est égale à OA.

nodgim · #8

Oui, c'est ça bravo Enigmatus !

NickoGecko · #9

Bonjour !

zoom zoom zen ... figures zoomables ...

Résolution algébrique (on suppose a différent de 0)

L'équation Y = (-1/a) X + 1 est représentative de (d1) dans le repère orthonormé (O,x,y)

La parallèle que l'on y mène passant par A' admet donc pour équation : Y = (-1/a) X + a

Cette droite coupe l'axe des abscisses en A" de coordonnées (a²;0)

La construction proposée permet donc d’élever la mesure OA au carré.

Je reviens pour la réciproque ....

Pour trouver la racine carrée par construction :

On cherche donc a à partir de a², c'est à dire le point A quand A" est fixé

On a OA" = a²
OB = 1, je place cette fois-ci le point B sur l'axe des abscisses

On trace le cercle de diamètre [BA"]
Démontrons que le point A', intersection de ce cercle et de l'axe des ordonnées est tel que OA'=a

On retrouve Pythagore trois fois sur la figure :

BA"² = BA'²+A'A"²
BA'² = BO²+OA'²
A'A"² = OA'²+OA"²

soit

(1+a²)² = BA'²+A'A"²
BA'² = 1+OA'²
A'A"² = OA'²+a^4

soit (1+a²)²=1+OA'²+OA'²+a²

soir 1+a^4+2a²=1+2OA'²+a^4

2OA'²=2a²

soit OA'=a c'est ce que l'on voulait trouver ....

Pour être complètement dans la réciproque de la première figure, je reporte OA' sur l'axe des abscisses

Merci beaucoup pour cette énigme "à ma portée" !

A+

morgu_07 · #10

OA'' représente le carré de OA!

Maintenant qu'on sait ça, placé OA par rapport à OA'' il nous suffit de prendre la racine carrée de OA''! (mais ça m'étonnerait que ce soit la réponse attendu à cette 2ème question)

nodgim · #11

NickoGecko c'est parfait, et très beau dessin en prime.

Morgu, c'est bien ça pour la 1ère question, bien qu'on ne trouve pas la démonstration. La seconde question nécessite une construction distincte.

Fito11235 · #12

Coucou,

OA'' est l'image de OA par l'homothétie de centre O et de rapport OA.

Par thalès OA''/OA = OA'/1 OA''/OA = OA/1 soit OA'' = OA^2

Pour retrouver A, on cherche à construire un segment de longueur racine de OA''

J'appelle B le point de coordonnées (-1;0).
Le cercle de diamètre BA'' coupe Oy au point A'.
Il ne reste qu'à reporter OA' sur Ox.

Merci .

nodgim · #13

Fito, c'est tout bon également, bravo.

Franky1103 · #14

On a: OA''=OA², mais pour la construction inverse je sèche encore. Affaire à suivre ...

nodgim · #15

Francky, oui c'est bon pour la 1ère question.

Franky1103 · #16

Bien vu: le triangle BA’A’’ est rectangle en A’
Donc: OA’²=BO.OA’’ => OA’²=x² => OA’=x

nodgim · #17

Bravo à tous, pas grand chose à ajouter. Par la voie algébrique, on ne sait pas calculer directement la racine carrée d'un nombre. Il faut utiliser un algorithme. Par la voie géométrique, c'est direct, mais moins précis. De la figure géométrique qui donne la racine carrée d'un réel positif x, on en déduit:

racx=sin(arc cos((x-1)/(x+1)))*(x+1)/2.

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

#1 - 30-03-2015 18:37:07

un zig eag qui n'est pas un z

#0 Pub

#2 - 30-03-2015 19:32:32

un zif zag qui n'est pas un z

#3 - 30-03-2015 20:07:35

Un zig zag qi n'est pas un z

#4 - 31-03-2015 00:36:26

un zig zag qui n'esy pas un z

#5 - 31-03-2015 08:35:17

Un zig zag qui n'est ppas un z

#6 - 31-03-2015 09:01:36

Un zig zaag qui n'est pas un z

#7 - 31-03-2015 09:14:37

un zig zag qyi n'est pas un z

nodgim a écrit:

#8 - 31-03-2015 10:29:05

n zig zag qui n'est pas un z

#9 - 31-03-2015 18:57:05

Un zig zag qui n'est pas un zz

#10 - 31-03-2015 20:01:41

Un zig zag qqui n'est pas un z

#11 - 01-04-2015 09:25:04

Un zig zag qui n'est pas u nz

#12 - 01-04-2015 17:28:47

Un zi zag qui n'est pas un z

#13 - 01-04-2015 18:18:44

Unn zig zag qui n'est pas un z

#14 - 02-04-2015 08:43:40

UUn zig zag qui n'est pas un z

#15 - 02-04-2015 09:07:59

un zig zag qui n'rst pas un z

#16 - 02-04-2015 21:48:17

un zig aag qui n'est pas un z

#17 - 03-04-2015 09:05:09

un zih zag qui n'est pas un z

Réponse rapide

Sujets similaires

Pied de page des forums